...x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,长轴的一个...

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热心网友 时间：8分钟前

已知椭圆:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F₁、F₂,长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形的三个顶点，直Ll经过点F₂，倾斜角为45°，与椭圆交于A,B两点。
（1）|F₁F₂|=2√2，求椭圆方程
（2）对（1）中椭圆，求三角形ABF ₁的面积；
（3）若M为椭圆上一点，若存在实数λ，μ使得向量OM=λOA+μOB试确定λ与 μ的关系式
解：(1)。2c=2√2，c=√2；2b=√(a²+b²)，4b²=a²+b²，故得3b²=a²=b²+c²=b²+2, 于是得`b²=1；a²=3
故椭圆方程为x²/3+y²=1；
(2).F₁(-√2，0)；直线L的方程为y=x-√2；代入椭圆方程得x²+3(x-√2)² -3=0；展开化简得：
4x²-6(√2)x+3=0；设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)；(y₁>0，y₂<0) 依维达定理：
x₁+x₂=(3/2)√2； x₁x₂=3/4； y₁+y₂=x₁+x₂-2√2=(3/2)√2-2√2=-(1/2)√2；
y₁y₂=(x₁-√2)(x₂-√2)=x₁x₂-(x₁+x₂)√2+2=3/4-3+2=-1/4；
∣y₁∣+∣y₂∣=y₁-y₂=√(y₁-y₂)²=√[(y₁+y₂)²-4y₁y₂]=√(1/2+1)=√(3/2)
故三角形ABF ₁的面积S=(1/2)(2c)(∣y₁∣+∣y₂∣)=(√2)√(3/2)=√3；
(3).设M的坐标为(x，y)，M在椭圆上，故其坐标满足椭圆方程； 由OM=λOA+μOB，得
x=λx₁+μx₂； y=λy₁+μy₂；代入椭圆方程得：
(1/3)(λx₁+μx₂)²+(λy₁+μy₂)²=1
展开得(1/3)(λ²x²₁+2λμx₁x₂+μ²x²₂)+(λ²y²₁+2λμy₁y₂+μ²y²₂)=1
即有λ²[(1/3)x²₁+y²₁]+2λμ(x₁x₂+y₁y₂)+μ²[(1/3)xx²₁+y²₁]=1
故得λ²+2λμ(3/4-1/4)+μ²=1
即得λ²+λμ+μ²=1，这就是所要求的λ与μ的关系式。

热心网友 时间：9分钟前

(1)
长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形, a=√3b
c=√2,c^2=a^2-b^2=3b^2-b^2=2b^2=2
b=1, a=√3
x^2/3+y^2=1
(2)
直线方程: x=y+√2
与椭圆方程联立: (y+√2)^2+3y^2-3=0,
4y^2+2√2y-1=0
y1+y2=-√2/2, y1y2=-1/4
|y1-y2|=√[(y1+y2)^2-4y1y2]=√(3/2)=√6/2
S=|F1F2|*|y1-y2|*(1/2)=2√2*√6/2*1/2=√3
(3)
直线方程: x=y+√2
椭圆方程: x^2/(3b^2)+y^2/b^2=1
联立得:(y+√2)^2+3y^2-3b^2=0
4y^2+2√2y+2-3b^2=0
y1+y2=-√2/2, y1y2=(2-3b^2)/4
OM=入OA+μOB=(入x1+μx2,入y1+μy2)
M在椭圆上: (入x1+μx2)^2/(3b^2)+(入y1+μy2)/b^2=1 一
A在椭圆上:x1^2/(3b^2)+y1^2/b^2=1 二
B在椭圆上:x2^2/(3b^2)+y2^2/b^2=1 三
(一)-入^2*(二)-μ^2*(三):
2入μx1x2/(3b^2)+2入μy1y2/b^2=1-入^2-μ^2
[2入μ/(3b^2)]*(x1x2+3y1y2)=1-入^2-μ^2
x1x2=(y1+√2)*(y2+√2)=y1y2+√2(y1+y2)+2=(2-3b^2)/4-1+2=(6-3b^2)/4
x1x2+3y1y2=(6-3b^2)/4+3*(2-3b^2)/4=3-3b^2
[2入μ/(3b^2)]*(3-3b^2)=1-入^2-μ^2
此为入μ的关系式.这里题目没说清楚,如果可以沿用前两问中的椭圆,则可以代入b=1: 入^2+μ^2=1