中级宏观经济学
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发布时间：2022-04-22 06:33
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时间：2023-07-28 11:30
不知道你问题读懂没有。
假设生产函数时科布道格拉斯生产函数，f=K^aL^b。资本和劳动市场都是完全竞争的，那么工资就等于劳动的边际产出，资本租金就等于资本的边际产出。证明：a+b=1，则厂商是零利润的。如果a+b<1或a+b>1，那么厂商是否仍然获得零利润？
证明：
If： f=K^aL^b，the wage is MPL，that is w=MPL=df/dL=bK^aL^(b-1)
the rental price r is MPK，that is r=MPK=df/dK=aK^(a-1)L^b
the total wage is L*w=L*MPL=bK^aL^b=bf
the total rental price is K*r=K*MPK=af
then：L*w+K*r=bf+af=(a+b)f=f
在产出中，扣除总工资和总资本租金的支付后剩余为0，f-L*w-K*r=0，即利润为0
如果：a+b<1，即L*w+K*r=bf+af=(a+b)f<f，即总产出扣除总工资和总资本租金后还有剩余，此时厂商有利润；
如果：a+b>1，即L*w+K*r=bf+af=(a+b)f>f，此时谈不上什么利润了，因为产出都不够支付总工资和总租金。
事实上：这个题目的本质是从生产函数的性质讨论利润函数的问题。利润函数的存在性要有赖于生产函数规模报酬非递增的性质。如果规模报酬递减，则必然存在利润函数；如果，规模报酬不变，而又要利润函数存在，那么利润必然为0；如果规模报酬递增则不存在利润函数。在CD函数中，规模报酬的具体情况就是参数a+b与1的大小情况。
仅从数学规划上讲，利润函数是下列规划的最优解
max： π（p，u）=py-u*x
st：y>=0
xi>=0
f(x)>=y
其中，y=f(x)是生产函数，p是价格，x是投入品向量，u是投入品价格向量
这个规划最优解存在，那么生产函数f(x)必须拟凹，在CD函数中a+b<1，就可以满足这个条件。
