浅谈学生几何直观能力的培养

内容提要：本文通过对几何直观的概念与功能、几何直观能力的载体来探讨培养几何直观能力的途径。

关键词：几何直观能力、空间想像力、直观洞察能力、用图形语言来思考问题能力

1．问题的提出

自从新课程标准实施以来，有不少老师认为新教材的\"立体几何初步\"内容压缩了，授课时间也只有短短一个月，要较好地培养学生的空间想像能力难以实现，还是旧教材比较好，必需通过一个学期才能培养出来。

如何才能解决上述问题呢？2003年颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》指出：\"几何学是研究现实世界中物体的形状、大小和位置关系的数学学科。通常采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质。三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课程的基本要求。\"

笔者通过学习新课标和亲身体验新教材的教学。认识到只要与图形有关的知识都可以作为培养空间想像能力的载体，将教学视野从\"立体几何初步\"章节推广到整个高中数学，立体几何还可以培养比空

间想像能力更高一层的几何直观能力，而且能力的培养是长期的。 以下是笔者对培养学生几何直观能力的肤浅见解，抛砖引玉，希望得到同仁的指点。 2． 几何直观概念

徐利治先生提出，直观就是借助于经验、观察、测试或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识，而几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知。换言之，通过直观能够建立起人对自身体验与外物体验的对应关系。 几何直观是指利用图形描述几何或者其他数学问题、探索解决问题的思路、预测结果。几何直观能力主要包括空间想像力、直观洞察能力、用图形语言来思考问题能力。 3． 几何直观能力的功能。

我国著名的数学家华罗庚说：\"形缺数时难入微，数缺形时少直观\"。要更好地研究数学，离开了图形时不可想象的。

首先直观是在有背景的条件下进行，想象是没有背景的。类比的，几何直观是在几何图形（或几何体）为载体进行的；几何中的推理证明始终在利用几何直观，在想象图形。因此，几何直观可以培养学生的空间感。

其次直观的对象一定是可视的，直观与个人的经验、经历有关，直观有层次性，直观是从一个层次看到更深刻的层次或本质。因此，几何直观可以培养学生的直观洞察力。

几何直观能力的功能主要是较好地理解数学本质和促进学生

思维的发展。借助于几何直观、几何解释，能启迪思路，可以帮助我们理解和接受抽象的内容和方法；抽象观念、形式化语言的直观背景和几何形象，都为学生创造了一个自己主动思考的机会；揭示经验的策略，创设不同的数学情景，使学生从洞察和想象的内部源泉入手，通过自主探索、发现和再创造，经历反思性循环，体验和感受数学发现的过程，提高学生的数学思维能力。直观常常提供证明的思路和技巧,有时严格的逻辑证明无非是直观思考的严格化和数学加工。几何直观是认识的基础, 有助于学生对数学的理解。

借助于几何直观、几何解释，能启迪思路,可以帮助我们理解和接受抽象的内容和方法，抽象观念、形式化语言的直观背景和几何形象，都为学生创造了一个自己主动思考的机会，揭示经验的策略，创设不同的数学情景，使学生从洞察和想象的内部源泉入手，通过自主探索、发现和再创造，经历反思性循环，体验和感受数学发现的过程；使学生从非形式化的、算法的、直觉相互作用与矛盾中形成数学观。 最后，几何直观是揭示现代数学本质的有力工具，有助于形成科学正确的世界观和方法论。借助几何直观，揭示研究对象的性质和关系，使思维很容易转向更高级更抽象的空间形式，使学生体验数学创造性工作历程，能够开发学生的创造激情，形成良好的思维品质。 4． 中学数学新教材中培养几何直观能力的载体

我国新课程已经把几何直观看作是贯穿高中数学课程的线索之一。除立体几何与平面解析几何之外，从函数的图像教学、三角函数的单位圆与图像、到导数的图象判断；从不等式的直观解释到线性规

划的区域刻画。此外，还有数系扩充中复数、概率统计中的直观图以及向量的使用等等都体现几何直观的作用。所以培养学生的几何直观能力的载体主要有：\"立体几何初步\"、\"解析几何初步及圆锥曲线\"、\"空间向量\"、\"函数（包括三角函数）\"等等。

\"立体几何初步\"：主要是通过柱体（如三棱柱、长方体与正方体、圆柱等）、锥体（如正三棱锥，正四面体、四棱锥、正六棱锥、圆锥等）、球和台体等几何体的直观图、三视图，认识空间的基本几何图形，并以长方体为载体，认识点、线、面的基本关系和基本性质。其重点是定性地理解图形的性质、位置关系，帮助学生建立起空间想像能力、几何直观能力。

\"解析几何初步及圆锥曲线\"：利用坐标法研究直线、圆和圆锥曲线的性质，直线与圆、直线与圆锥曲线及圆锥曲线之间位置关系与性质以及它们在实际生活中的应用。通过方程与曲线之间的联系，除了用代数的方法讨论几何的问题，也可以用几何图形表示代数的性质，这就是训练学生用图形语言来思考问题好载体。基本思想是--数形结合的思想。

\"空间向量\"：空间向量为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。学生在运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题时，可以到体会向量方法在研究几何图形中的巨大作用，可以减少繁琐的推理过程，直接通过公式计算解决问题，在空间几何图形中建立直角坐标系及寻找点的坐标时，可以进一步发展空间想象能力与几何直观能力。

\"函数（包括三角函数）\"：运用函数图形可以比较形象理解函数的性质，尤其是单调性与周期性；直观形象地解决函数问题，特别是抽象函数的问题；在导数这一章节知识中可以借助几何图形了解函数单调性与导数的关系、体会定积分的基本思想。

除此之外，\"数列\"、\"集合\"、\"流程图\"、 \"概率统计\"、\"不等式\"、\"简易逻辑\"等等也是可以培养学生的几何直观能力的载体。 5． 培养几何直观能力的尝试 5.1学生\"空间想象能力\"的培养

笔者在以往的教学中在培养学生\"空间想象能力\"做了诸多尝试，从模型的制作、画图的能力、三种语言的互译等方面来培养取得了较好的效果。

5.1.1注重模型的作用，让学生参与模型制作

新课标在几何数学中强调几何学习的直观性，强调实物、模型对几何学习的作用。课外让学生亲手制作立体几何模型，动手做一做，可以更直接的感受空间几何图形的特征。

如要求学生用纸板或游戏棒或细铁丝（作骨架）做出正方体、长方体、三棱锥、四棱锥、三棱台等等几何体的模型。学生通过动手做，亲身体验柱、锥、台的结构特征，帮助学生逐步形成空间想像能力。利用自己所做的模型做为今后学习立体几何的工具。如利用模型训练自己从不同的角度观察点面、线面、线线及面面的位置关系，提高观察能力。

5.1.2严抓学生的画图能力

首先让学生掌握一些基本图形的画法，如几何体的三视图；平面、异面直线的位置关系、直线与平面的位置关系（平行与垂直）、空间四边形、三棱锥、长方体（或正方体）等直观图的画法，要求每一个学生都要画出图形的空间感。要求学生画出标准常见函数图像：二次函数、指数对数函数、幂函数、三角函数和圆锥曲线（椭圆、双曲线抛物线）。其次是要求学生每学一个立体几何的定义、定理、公理，都要求学生不仅要画出其图形，而且要有较强的立体感，再次是在练习中通过审清题意后，先画图然后组织解题思路。在立体几何的课堂教学中，我曾进行了每天用半节课时间来训练学生画图的实验，结果在立体几何单元测试中的所教班的平均分高出平行班7~8分，空间感明显比较好。

5.1.3多进行文字语言、符号语言和图形语言等三种语言的互译 在立体几何的教学中，训练学生用三种语言来表示所学的定理、公理、定义等；如在教学中，我经常给出如下图表供学生练习。 定理 文字语言 符号语言 图形语言

线面平行的判定定理 线面平行的性质定理

学生通过这样的训练后，无论是空间想像能力，还是定理的理解与记忆都得到较大的提高。

在解决用文字语言表达的数学练习题中，首先就必须将文字语言翻译成符号语言，有的还得借助于图形才能正确理解题意。在这种情境中，有意识地点拨学生，进一步提高学生的空间想像能力。 5.1.4利用信息技术工具，除了给学生展现丰富多彩的图形世界外，也多了一条解决问题的途径。同时，也给学生展示其不易想像的图形，扩大其空间视野。

在讲解圆锥曲线中的椭圆概念时，通过几何画板直观演示动点P到两定点F1，F2的距离的轨迹，学生一看就明白是个椭圆，同时通过几何画板的演示，理解要使点P的轨迹是个椭圆的条件是|PF1|+|PF2|>|F1F2|；双曲线亦然。

对于某些不常见的函数或者是抽象函数，学生比较难以把握其性质，利用几何画板画出其图形，就可以非常直观理解其性质。 如求函数的最值。

学生一眼就看出，下意识地用基本不等式公式 可解得最小值为，忽略了利用基本不等式公

式解题三条件之一有相等的可能。由于对这个函数比较陌生，要学生弄清为什么这样做不行，比较难以说清。当利用几何画板，画出其图形（如上图），不用解释，一目了然，尽在不言中。 5.2学生\"直观洞察能力\"的培养。

5.2.1打扎实学生的知识基础尤其是图形知识这一块。

扎实的基础是产生直觉的源泉，若没有深厚的功底，是不会迸发出直觉思维的火花，也就提高不了学生的直观洞察能力。

因此，必须严格要求学生熟练掌握立体几何的各种几何体的性质；几种函数的图像特征与性质，如一次函数、二次函数、指数对数函数、幂函数和三角函数中的正余弦函数等；直线与圆锥曲线图形的性质、向量的性质等。

有了扎实的基础，就可以利用图形的对称、平移变换等特性，找到解决问题的突破口，顺利解决问题。

5.2.2创设培养学生\"直观洞察力\"的意境。在立体几何教学中，可以让学生在几何图形中，让学生\"跟着感觉走\"，大胆地说出自己的直觉，在复杂图形中找到所需的点线、线线、线面的关系，找到做辅助线的合理位置等；在函数的学习中，一定要突出函数图形的地位，利用图形的特征解决有关问题。

5.2.3重视解题教学。教学中选择适当的题目类型，有利于培养、考察学生的直观洞察力。例如选择题，由于只要求从四个选择支中挑选出来，省略解题过程，容许合理的猜想，有利于直观思维的发展，实施开放性问题教学，也是培养直观洞察力的有效方法。

例（98年全国理）向高为H的水瓶内注水注满为止，如果注水量V与水澡h的函数关系如右图所示，那么水瓶的形状是（ ）

从题中所给的函数图象可以观察出水的高度与体积的关系是先是水的高度增长的慢而体积增长的快，而后相反，因此，可断定是B中的瓶子。

5.2.4提高直观洞察力的另一条途径就是要克服粗心大意、走马观花，

不求甚解的不良习气，心要细，要把观察与思考结合起来。 \"静心体察\"必然有助于洞察力的提高。

5.3学生\"用图形语言来思考问题能力\"的培养。 5.3.1利用图形来记忆基础知识

立体几何的很多定理、公理、定义等学生很难记清楚，通过指导学生利用图形来记忆就比较容易解决问题，同时也培养了学生用图形的意识。

函数中指数函数与对数函数的性质对于学生来说，也相当难以记住，而且也相当容易混淆它们之间的关系。利用指数函数与对数函数的图象比较形象直观理解与记忆了它们的性质。 5.3.2利用图形来加强对概念、定理等的理解。

在思考数学问题的时，能画图尽量画图，目的是把抽象的东西直观的表示出来，把本质的东西显现出来。在数学学习时，应该帮助学生养成一种用直观的图形语言，刻画、思考问题习惯。利用图形来加强对概念、定理等的理解，实际上就是几何直观在发挥优势，也是培养数形结合思想。

如利用集合的wenn图，来刻画充分必要条件加强学生对充分必要条件的理解（如下图），并能运用集合的wenn图解决相关的问题。 特别是学生在做有关不等式的充分必要条件题目时，容易搞混淆充分条件和必要条件。当利用下图时，这个难点就迎刃而解。

再如在学习条件概率时，学生比较难理解事件B|A，常与事件AB

相混淆，同样利用集合的wenn图就比较顺利解决上述问题。

事件B|A学生都能从字面意思上理解是事件A发生的条件下，事件B发生，但真正面对具体问题时，往往束手无策。我们若是利用wenn图，从图2中就可以直观形象理解事件B|A是在阴影部分A考虑事件B（图3）的发生，而事件AB则是在图1中阴影部分AB，从而使难点得以突破。

又如一元二次不等式的解法对大部分学生来说是一个难点，常见错误是搞错符号方向，如利用数轴（即穿针引线法）来解决就可以大大提高学生的解题正确率。 例，求函数 的定义域。 解： 令

解得x1=-1,x2=3 画图:

从图中可以得到-1≤x≤3.所以原函数的定义域为{x|-1≤x≤3}.在教学中，利用穿针引线法解不等式，大大减小了失误率。 在教学中，多用图形来辅助教学，既能加深学生对知识的理解，也可以培养学生的用图形语言思考问题的能力，还可以让学生较好掌握数形结合思想。

总之，学生\"空间想像能力\"、\"把握图形\"能力和\"用图形语言思

考问题\"能力的培养是一个有机的统一体，其中一个能力得到提高，必定会带动另两个能力的提高，培养其中一种能力也必须考虑其他两个的影响。它们之间是相辅相成、相互影响、相互促进，。 \"用图形说话\"，用图形描述问题，用图形讨论问题，这是一种基本的数学素质。几何直观能力是利用图形生动形象地描述数学问题，直观地反映和揭示思考、讨论问题的思路，揭示丰富多彩的数学思想。培养学生几何直观能力，是新教材的要求，也是提高学生数学素质的要求。

参考资料：

1．季素月主编 给数学教师的101条建议 南京师范大学出版社 2．秦德生 关于几何直观的思考 中学数学教学参考 2005年第10期

3．数学课程标准研制组，普通高中数学课程标准（实验稿）解读[M].江苏教育出版社，2004