高阶常微分方程的微分算子法

摘自《大学数学解题法诠释》 .徐利治,.冯克勤,.方兆本,.徐森林,.1999

高阶方程的求解自然要比一阶方程更为困难，即使是对于线性微分方程。但是有一个例外：常系数线性微分方程。我们可以完整的求出它的通解来，所以常系数线性方程的求解，主要精力是集中在讨论对应的非齐

次方程的特解。本节主要讨论微分算子法。 1.求方程y2y3y0的通解. 解 记y(n)Dny，将方程写成

D3y2D2y3Dy0

或(D32D23D)y0 我们熟知，其实首先要解特征方程

D32D23D0

得D0,1,3故知方程有三特解1,ex,e3x，由于此三特解为线性无关，故立得通解

yC1Cex2Ce3x3

注：本题方程为齐次常系数三阶常微分方程，线性常微分方程的一般形状是

dnydn1 Ln(y)ydxna1(x)dxn1an1(x)dydx

an(x)yf(x)其中系数a1(x),,an(x)是某区间(a,b)上的连续

函数，上述方程又可写成

L(Dnan1n(y)1(x)Da(x))y

f(x)

可以把上面括号整体看作一种运算，常称为线性微分算子。本题中各ai(x)均为实常数，今后也仅对实常系数的情形来进一步发展线性微分算子方法。 2.求解 y6y11y6y0

解 写成 (D36D211D6)y0

从特征方程

0D36D211D6

(D1)(D2)(D3)

解得 D1,2,3共三实根，故可立即写成特解

yCx2x3x1eC2eC3e

3.求解 y3y9y13y0

解 写成 (D33D29D13)y0 或 (D1)(D24D13)y0

特征方程 (D1)(D24D13)0有根

D1,23i，故对应的特解是ex，e2xcos3x，

e2xsin3x 从而通解是

yCxC2xe2x1e2ecos3xC3sin3x

4.求y(4)4y5y4y4y0之通解.

解 写成

(D44D35D24D4)y 0 或 (D2)2(D21)y0

特征根是D2,2,i，对应的特解应是

e2x,xe2x,cosx,sinx，故写成通解

y(x)e2x(C1C2x)C3cosxC4sinx

5.求yy(cosx)1的通解

解 本题为非齐次方程，先求出对应的齐次方程

yy0的通解，写成(D21)y0，可知特征根为i，相应的通解为y1C1cosxC2sinx

设原方程有特解形为

y*C1(x)cosxC2(x)sinx

其中C1,C2为待定函数，常数变异告诉我们，应求解下面的方程组

 C1(x)cosxC2(x)sinx0CC1

1(x)(cosx)2(x)(sinx)(cosx) 或

 C1(x)cosxC2(x)sinx0C)sinxC1

1(x2(x)cosx(cosx) (方程组右端为原方程非齐次项(cosx)1)，解得

Csinx1(x)cosx，C2(x)1

或 C1(x)lncosx，C2(x)x

最后得通解为

y(x)y1(x)y*(x)

C1cosxC2sinxcosxlncosx　　xsinx

注 对常系数方程，在应用上，不常运用常数变异法，

对于特殊非齐次项的常系数方程，下文将提供更简捷的办法。

6.求解下列方程

(1)y(4)2y4y2y5y0 (2)4y8y5y0

解 (1)yCxx1eC2e

ex(C3cos2xC4sin2x)

(2)yex(Cx1cos2Csinx22) 7.求解下列cauchy问题

(1)y3y3yy0;

y(0)1,y(0)2,y(0)3

(2)yy0;y(0)1,y(0)0,y(0)1

解 (1) yex(1x)

(2) yxex

8.求解非齐次方程

y2xyy1x(x0) 解 本题不是常系数方程，为求通解需先知道齐次方程y2xyy0的两个线性无关的特解。现设用观察法得到两个特解 yx1sinx,ycosx2x 令

y(x)Csinx1(x)xCcosx2(x)x 考虑方程组

C1(x)sinxC2(x)cosx0 xx

C1(x)(sinxx)Ccosx12(x)(x)x最后解得

C1(x)sinx，C2(x)cosx 故原方程的通解为 y(x)Csinxcosx1xC12xx 注 我们说过，高阶方程中最重要、研究得最彻底的

是线性方程，因此我们就从它开始。因为有了常数变易法，所以重点似乎应放在齐次方程的求解，但是，齐次常系数线性方程的求解来的太容易(只需要解代数方程)，这就构成了这一单元的特点：我们着力于

求解具有特殊右端(物理学中称此种项为强迫项)的任意高阶非齐次常系数线性方程。这样做既是为了避免使用繁复的常数变易法，也是为了让解题者掌握一种最实用的技巧——微分算子法

9.求解

y5y6yx2 解 写成 (D2)(D3)yx2

故对应齐次方程(D2)(D3)y0的通解为

yC2x3x1(x)1eC2e

今用下法求原方程的一个特解y*(x)，显然y*(x)满足

(D2)(D3)y*x2 今用下法求出y*(x)

y*(x)1(D2)(D3)x2

(1D21D3)x2112x2D3x2D11x211x221D31D231DD2(14)x22213(1D３D2　　９)x21DD222(124)x1DD2　　3(12３９)x1(x21(x2)14(x222))　　13(x213(x2)19(x2)) 1112x22(x2x2)3(x239)

16x2518x19108通解为

y(x)y1(x)y*(x)

C2x1eC3x12e6x2518x19 108注 本题所用的方法即微分算子法，此法核心内容是

将求导运算D同时当作数与运算来处理，上法中

1(D2)(D3)视为(D2)(D3)的逆运算，经分

层部分分式后，又将D作为数，将11D展开或读作

除数，最后，又将D,D2,恢复其运算功能。至此，

积分微分方程问题已变为求导问题。

上述方法有其严密的理论根据，但本法早在20世纪30~40年代已在工程师中间广为流传，理论工作于20世纪50年代初才完成。 10.给定一个微分算子

LnDnan11Dan1Dan

(ai,i1,2,n为常数,

则对任一有n次导数的函数g(x)，得到唯一的函数

f(x)

Ln(g(x))f(x) 今定义逆运算

1L(f(x))g(x) ng恰为微分方程Ln(g(x))f(x)的一个特解。

证明下列事实：

(1)给定f后，g不唯一

(2)对任一常数a,b及连续函数h(x),g(x)，有下式成立

1L(ah(x)bg(x))a1L(h(x))b1(g(x)) nnLn (3)

设

有

另

一

微

分

算

子

LmDma11Dmam，则

11L(g(x))11(g(x)) nLmLmLn (4)有下式成立

1L(g(x))1(DD(g(x)) n1)1(k)k证明 (1)设g1(x)是方程Ln(y)0的特解，则有 Ln(g(x)g1x())Lngx((f))x () 故

1L(f(x))g(x)1g (x)n (2)与(3)直接从定义推出；(4)从(3)以及定义推出

11.给定Ln如上题，证明下列性质： (1)设F(k)0，此处F()nan11an1an为多项式(与Ln对应)，则 1Lekx1ekx nF(k) 当k时 1Dekx1kekx (2)1Lekxf(x)ekx1f(x) n(D)Ln(Dk)特别 1kxkx1(D)mef(x)e(D)mf(x) (3)当F()为偶次多项式，F(ik)0，则 1Lsinkx1F(ik)sinkx，其中i1 n(D)对coskx也有类似公式 特别，对一般的Ln(D)，当F(ik)0时， 1LsinkxL1n(D)sinkx n(D)Ln(ik)Ln(ik)证明 (1)因(D)ekx(k)ekx，故有 ekx(k)1(D)ekx 于是 1ekx1L(Dekxn(D)1)(Dn) 　　　　　1(D1)(D)(kekx n1n)　　　　　1kxF(k)e(2)(D)ekxg(x) kekxg(x)ekgxx()egkxx() ekx[Dg(x)k(g)x()] ekx(Dk)gx()今令 g(x)1Dk(f(x ))则(Dk)(g(x))f(x)，代入上式得 (D)ekx1kxDk(f(x))ef (x)或ekx11(f(x))ekxf(x) Dk(D)一般公式可由此逐步推出 22(3)因D(sinkx)(ik)sinkx，故 22 (D)sinkx((ik))sinkx 从而 12x故最后可得 222x y(x)xe g(x)也可以直接安照文登考研书的解法即

sinkx((ik)2)当F()为偶多项式时 2 Ln(D)(D1)1sinkx 2D(D2k)， 故一般公式由上式逐步推出 注 (1)1还有另一性质，我们述而不论： Ln1(xmb1xm1nn1Da1Dan1Dan12x2eD24D412x 　　　 2e2(D2)12x2　　　2x2e2xxe2x14.解yye

111exex 解 y(x)2D1(D1)(D1)11x1x11ee1xex 2D12D2y(x)得通解为 y(x)bm1xbm)(iDi)(xmi0bm)bm)iDi(xmr0m 如不懂，可参看我在豆丁上上传的《陈文登考研数学一里面的微分算子法的推导》 1xxeC1exC2ex 215.求下面方程特解

2 y5y5x2x

(2)当F(ik)0时，此时宜用Euler公式 isink ecoskx x(3)以上两题旨在建立我们算子法的理论基础 由于我们仍然不能做到完全严格，所以对于只求解题技巧来说，可以不必追求细节。 12.求下面方程的特解

d2yy6e2x 2dx11(6e2x)62e2x2e2x 解 y(x)2D1212x13.求方程y4y4y2e的一个特解

12e2x 解 y(x)2D4D412x

2e(D2)2

1

2e2x1 2

(D22)1

2e2x21

D

12设21g(x)，则Dg(x)1，即可知 Dikx12(5x2x) 2D5D11(5x22x)DD5111()(5x22x)5D1D511DD()[1()2](5x22x)5D551112 ()[5x2x(10x2)

5D51　(10)]2511()[5x2]5D11x2x3D3x216.求y6y5y3e5x 解 显然y(x)y1(x)y2(x)

1(3ex) 其中y1(x)2D6D51(3ex)

(D1)(D5)解 y(x) y12(x)(D1)(D5)(5x2)

今有

y111(x)(3)D1D5ex(3)11D115ex

31x3x4D1e4e1D134xex y1112(x)(D1D5)(5x24)

1(111D5)(5x241D51)21(1DD21(1DD))(5x245525) 62125xx225最后得

y(x)34xex62122255xx 17.求yy6cos2x3sin2x的特解 解 y(x)y1(x)y2(x)

11D216cos2xD213sin2x 61(2i)21cos2x31(2i)21sin2x 2cos2xsin2x18.求下面方程的特解

yyy13sin 2x解y(x)1D2D1(13sin2x)

[(D)2D1]1(D)2D1　　1D2D1(13)sin2x[D2D1]1D4D21(13)sin2x(13)(D2D1)1(2i)4(2i)21sin2x(D2D1)sin2x3sin2x2cos2x19.求下面方程的特解

y4y4ycos2

x解 y(x)[(D2)2]

11(D2)2(D2)2cosx

(D2)21(D24)2cos2x (D2)2cosx((2i)24)218sin2x 20.求yy2sinx的特解

解 因(i)210，上法无效，今取

sinx1ix2i[eeix](*)

则特解

y(x)1D21(1i[eixeix]) 1([1ix1ixiD21eD21e])11ix1i[eix(Di)211e(Di)211]1[eix11112iD1eixiDD2iD1]1[eix1D2ixeix1iD2ix]2lm[eix1D2ix] lmz表示复数zi虚部，今

eix11D2ix2ieix11Dx 2i1 2ieix[1D112ix]2ieixx(i2)14cosxx12sinxi(xcosx2sinx) 故

y(x)xcosx12sinx21.求下面方程的特解

yyexcosxx 解 今有

exxcosx1(x(1ei)x(1i)2xe x) Re(xe(1i)x) (Rez表示复数z的实部)故可写成

y(x)Re(1e(1i)xD21x)

而

11(1i)x(1i)xexex D21(D1i)211e(1i)x2x D2(1i)D(2i1)红色部分是怎么来的，可以参看我在11豆丁网上传的《陈文登考研数学一里e(1i)xxD22i122i面的微分算子法的推导》 1D2i12i1122ie(1i)x[x] 2i12i111412ex(cosxisinx)[(x)i(2x)]555x故

( y(x)e[x1422)coxs(x525525) sxin]22.求解方程

yxe(x53y3y y )1xx1e(x5)e(x5)

(D1)3D313设g(x)3(x5)，则Dg(x)x5故知

Dx453x g(x)246解 y(x)最后得通解

x3xe(x20) y(x)C1eC2xeC3xe24xx2x注 这一批例题充分反映出算子方法的特点，简捷，灵巧，清楚。