不定积分求解方法及技巧

定义1 如果F（x）是区间I上的可导函数，并且对任意的xI，有 F’(x)=f(x)dx

则称F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数。

定理1（原函数存在定理）如果函数f(x)在区间I上连续，那么f(x)在区间I上一定有

原函数，即存在可导函数F（x），使得F（x）=f(x)（xI） 简单的说就是，连续函数一定有原函数

定理2 设F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数，则

（1） F（x）+C也是f(x)在区间I上的原函数，其中C是任意函数； （2） f(x)在I上的任意两个原函数之间只相差一个常数。

定义2 设F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数，那么f(x)的全体原函数F（x）+C称

为f(x)在区间I上的不定积分，记为其中记号

f(x)d(x),即

f(x)d(x)=F(x)+C

称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)d(x)称为被积表达式，x称为积分

变量，C称为积分常数。 性

质

1

设

函

数

f(x)

和

g(x)

存

在

原

函

数

，

则

[f(x)g(x)]dx=f(x)dxg(x)dx.

性质2 设函数f(x)存在原函数，k为非零常数，则kf(x)dx=kf(x)dx.

二．换元积分法的定理 如果不定积分

g(x)dx不容易直接求出，但被积函数可分解为g(x)=f[(x)] ’(x).

做变量代换u=(x),并注意到‘（x）dx=d(x),则可将变量x的积分转化成变量u的积分，于是有如果

g(x)dx=

f[(x)] ’(x)dx=

f(u)du.

f(u)du可以积出，则不定积分

g(x)dx的计算问题就解决了，这就是第一类换

元法。第一类换元法就是将复合函数的微分法反过来用来求不定积分。 定理1 设F(u)是f(u)的一个原函数，u=(x)可导，则有换元公式

f[(x)] ’(x)dx=f(u)du=F(u)+C=F[(x)]+C.

第一类换元法是通过变量代换u=(x),将积分

f[(x) ’(x)dx化为

f(u)du.但

有些积分需要用到形如x=(t)的变量代换，将积分在求出后一积分之后，再以x=(t)的反函数t=即

f(x)dx化为

f[(t)] ’(t).

1(X)带回去，这就是第二类换元法。

f(x)dx={

f[(t)] ’(t)dt}t1(X).

1为了保证上式成立，除被积函数应存在原函数之外，还应有原函数t=件，给出下面的定理。

（x）存在的条

定理2 设x=(t)是单调，可导的函数，并且‘（t）0.又设f[(t)] ’(t)具

有原函数F（t）,则 其中1f(x)dx=f[(t)] ’(t)dt=F(t)+C=F[1(x)]+C

（x）是x=（t）的反函数。

三．常用积分公式 1 基本积分公式

（1）

kdx=kx+C(k是常数)； （2）

xu1xdx=+C(u-1);

u1u（3）

dxdx=lnx+C； （4）=arctanx+C; x1x2dx1x2 (5)

=arcsinx+C; (6)

cosxdx=sinx+C;

(7) (9)

sinxdx=-cosx+C ; (8)

dx2=secxdx=tanx+C; 2cosxdx2=cscxdx=-cotx+C; (10) secxtanxdx=secx+C; 2sinxcscxcotxdx=-cscx+C; (12) adx= e+C; (14) chxdx=shx+C. (16) cotxdx=lnsinx+C; (18)

xx (11) (13) (15) (17)

edx= e+C; shxdx=chx+C; tanxdx=-lncosx+C; secxdx=lnsecxtanx+C;

xx (19)cscxdx=lncscxcotx+C; (20)

1xadx=+C; ln22axaxadxa2x2=ln(x+x2a2+C;

(21)

dxa2x2dxx2a2=arcsin

x+C; (22) a (23)

=lnxx2a2+C.

2.凑微分基本类型

四．解不定积分的基本方法

四．求不定积分的方法及技巧小汇总~

1.利用基本公式。（这就不多说了~） 2.第一类换元法。（凑微分）

设f(μ)具有原函数F(μ)。则

f[(x)]'(x)dxf[(x)]d(x)F[(x)]C

其中(x)可微。

用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2： 例1：ln(x1)lnxdx

x(x1)111 x1xx(x1)【解】(ln(x1)lnx)'ln(x1)lnx12dx(ln(x1)lnx)d(ln(x1)lnx)(ln(x1)lnx)Cx(x1)2例2：1lnxdx

(xlnx)2【解】(xlnx)'1lnx

1lnxdxlnx1dxx(x1)2(xlnx)2xlnxC

3.第二类换元法：

设x(t)是单调、可导的函数，并且'(t)0.又设f[(t)]'(t)具有原函数，则有换元公式

f(x)dxf[(t)]'(t)dt

第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种：

(1)a2x2：xasint；xacost(2)x2a2：xatant；xacott；xasht (3)x2a2：xasect；xacsct；xachtn(4)naxb：axbt(5)naxbnaxb：tcxdcxd

1(6)当被积函数含有xmax2bxc，有时倒代换x也奏效。t4.分部积分法.

公式：dd

分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。具体选取、时，通常基于以下两点考虑：

（1）降低多项式部分的系数 （2）简化被积函数的类型 举两个例子吧~！ 例3：x3arccosx1x2dx

【解】观察被积函数，选取变换tarccosx,则

x3arccosx1x2cos3tdxt(sint)dttcos3tdt

sint132t(sint1)dsinttd(3sintsint)11tsin3tsint(sin3tsint)dt3311 tsin3tsint(sin2t1)dcost33121tsin3tsintcostcos3tC339121x3x(x22)1x2arccosxC933例4：arcsin2xdx 【解】

22arcsinxdxxsinxx2arcsinx11x2dx

xarcsinx2arcsinxd1x2xarcsinx21x2arcsinx1x2xarcsinx21x2arcsinx2xC21x2dx

上面的例3，降低了多项式系数；例4，简化了被积函数的类型。

有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。 在dd中，、的选取有下面简单的规律：

(1)Pm(x)，eax,sinax,cosax(2)lnx,arctanx,arcsinx，Pm(x)(3)e，cosx,sinx将以上规律化成一个图就是： （lnarcsinx） Pm(x（a^x sinxax

(3)会出现循环，注意，选取的函数不能改变。μ 但是，当lnx，arcsinx时，是无法求解的。

ν 对于（3）情况，有两个通用公式：

eaxI1esinbxdx2(asinbxbcosbx)C2ab eaxaxI2ecosbxdx2(acosbxbsinbx)Cab2ax

5.几种特殊类型函数的积分。

（1）有理函数的积分 有理函数

P(x)P*(x)P*(x)先化为多项式和真分式之和，再把分解为若干Q(x)Q(x)Q(x)dx(a2x2)n个部分分式之和。（对各部分分式的处理可能会比较复杂。出现In时，记得用递推公式：Inx2n3In1） 2a2(n1)(x2a2)n12a2(n1)x6x44x22dx 例5：322x(x1)x6x44x22x6x44x22x4x2232【解】

x3(x21)2x(x1)2x3(x21)2x21x3(x21)2

x12dxx212ln(x1)C

4x224x222x2122dxxdxdxxx3(x21)2x4(x21)2x4(x21)221(1)222(1)2d2(1)2d

11111()dCC2(1)21x2(x21)故不定积分求得。

（2）三角函数有理式的积分

x2tan2sinxx1tan22 万能公式：x1tan22cosx2x1tan2P(sinx,cosx)xdx可用变换ttan化为有理函数的积分，但由于计算较烦，Q(sinx,cosx)2应尽量避免。

对于只含有tanx（或cotx）的分式，必化成

A(acosxbsinx)B(acos'xbsin'x)来做。

acosxbsinxsinxcosx。再用待定系数 或cosxsinx

（3）简单无理函数的积分

一般用第二类换元法中的那些变换形式。

像一些简单的，应灵活运用。如：同时出现x和1x时，可令xtan2t；同时出现x和1x时，可令xsin2t；同时出现1x2和arcsinx时，可令x=sint；同时出现1x2和arccosx时，可令x=cost等等。

学习完不定积分，觉得这部分内容对我们思维的灵活性要求很大，应该加大习题量，达到见多识广的效果，做完习题注意总结，以及类似题目的整理。熟记三角函数公式，不定积分基本公式，掌握各种求积分的方法。