波利亚的数学启发法与数学解题策略

２０１１年第３１期　ＳＣＩＥＮＣＥ＆ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ　ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ　０教学研究Ｏ　科技信息　波利亚的数学启发法与数学解题策略　赵才赵立辉　（伊通县第九中学吉林伊通１３０７０８）　【摘要】数学启发法是数学家波利亚围绕“怎样解题”提出的一种教学思想，波利亚的数学启发法对数学教育产生了很大的影响，尤其为　“怎样解题”提出了一些解题策略：主要有回到定义、问题的重新表述、分解与重组、特殊化、一般化与类比等方法。　【关键词】数学启发法；怎样解题；解题策略　１　波利亚的数学启发法　数学启发法是数学家波利亚提出的一种教学思想．它开创了对事　物理解的一条新的路子：既不对事物给出证明方法，也不给出发现方　法，它所给出的是具有启发与指导意义的思路，让学习者自己领会归纳　出证明方法或发现方法的方法。按照波利亚的解释，启发法是指关于　“发现和发明的方法和规律”的研究。也就是说　启发法的目的就是找　出一般方法或带有普遍意义的一般模式的研究　在这种思想指导下，　波利亚通过对数学问题的研究．围绕“怎样解题”开展自己的启发法研　究　１．１　我们对所面临的“问题”必须做广义的理解．在研究中，不应忽视　任何一类问题，并且应当找出处理各类问题所共有的特征来　我们的　根本目的是找出一般特征　１．２数学启发法的用途决不局限于某一题目　我们的问题可以是代　数的或几何的擞学的或非数学的理论的或实际的……并且提出了数　学启发法的“常识性”意义。　１．３对问题的启发．波利亚指出“从后向前推是一个非常一般和有用　的模式”　并成功地采用了归纳思想：由特殊到一般　即首先给出一些具　体的问题模式然后又通过“由特殊上升到一般”．从而达到更高的理　论高度。　１．４波利亚认为解决问题的关键在于如何去构思出一个成功的计划，　也即构思出一个有效的解题方法。为此坡利亚总结出怎样解题的四　大步骤：　１．４．１你必须弄清问题，本题的未知量是什么？已知数据是什么？条件　是什么？条件有可能满足吗？条件是否足以确定未知量？或者它不够　充分？或者多余？或者矛盾？　１．４．２拟定计划　找出已知量与未知量之间的联系　如果找不到直接　的联系．你也许不得不去考虑辅助题目　这里有一道题目和你的题目　有关而且以前解过　你能利用它吗？回到定义可以吗？你是否想到一　道更容易着手的相关题目？一道更为一般化的题目？一道更为特殊化　的题目？一道类似的题目？　Ｉ．４Ｉ３实行你的计划：　１．４．４回顾．验算所得到的解　１．５波利亚认为，只要问得、提示得是地方、是时候，这些问题和建议　就能起到“思想指导作用，即能给解题者以一定的启示，从而帮助他去　发现好的或正确的解题方法”　这些“定型的”问题与建议事实上就构　成了数学启发法的核心内容　它给出了一条主线：问题——思维启　发——解决　、　直线的交点　观察题意可见，眼下的情况就是“只知道概念的定义。别无其他”．　因此。我们不得不回到定义．考虑到抛物线的定义原问题就变化为：　在直线ｌ上求一点．使它和已知点Ｆ及已知直线ｄ等距离．这是第一次　变化．解析几何题变成了平面几何题．这道平面几何题本身也是一道有　意义的题　“你能不能用不同的方法重新叙述它？”　这道题目可以换个说法叙述为：在直线ｌ上求一点．以它为圆心作　圆与直线ｄ相切且通过点Ｆ．这是第二次变化．所作的圆要满足两个条　件。　“你能否解决这问题的一部分？”可以．先放弃一个条件．第三次变　化问题　显然．这时原先的问题就可重新表述为：“在已知直线上作点Ｐ．　使其与已知点Ｆ和已知直线ｄ的距离相等　”　由于后一说法“一点儿也没有那些不熟悉的专业述语了”．因此．　就如波利亚所指出的．这就使得问题变得更加明确就简洁了　般地说．这种利用圆维曲线的定义以变更问题和减少解题的计　算量．已成为当今教师指导中学生解圆维曲线问题的普遍策略。　２．２问题的重新表述　与上述的由“不那么熟悉的专业术语”向“比较满意的复述”的转　变相比．以下的问题显然有着更为普遍的意义：　“你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述　一它？”　这也就是说，“我们经常需要实验对问题作各种修改。我们必须一　再变化它．重新叙述它　变换它．直到最后成功地找到某些有用的东西　为止。”　特殊地．由于所谓的“笛卡儿模式”正是对问题进行变形的一种有　效方法，因此，在《数学的发现》一书中波利亚专门对此进行了介绍。　具体地说．早在１６世纪法国著名哲学家笛卡儿就提出了如下的　解题模式：　第一．把任何问题转化为数学问题：　第二．把任何数学问题转化为代数问题：　第三．把任何代数问题归纳为解方程　笛卡儿并曾认为这一模式可以有效的用于解决一切问题　针对上述的模式．波利亚指出．虽然这不能被看成可以解决一切　问题的“万能方法”；但是他仍适用于非常多的场合，特别是，我们所熟　悉的通过“列方程、解方程”去解决问题的过程事实上就可以看成笛卡　儿模式的一个应用　显然．从更为一般的角度去分析．所说的“代数化、方程化”就可被　２数学解题策略　看成问题的重新表述．或者说，我们在此即是采取了一种新的、不同视　自波利亚于１９４５年发表他的著作《怎样解题》以来，他的数学启　角，而后者事实上也就是“对问题进行重新表述”　这一策略可能在解　发法研究得到了高度评价，对数学教育产生重大和深远的影响　下面　题过程中发挥重要的作用　我想就波利亚的数学启发法的思想谈谈数学的一些解题策略：　２－３分解与重新组合　２．１　回到定义去　“当我们的问题比较困难时．我们可能感到很有必要把问题再分　这是在解题过程中陷入困境时有助于我们摆脱困境的一个方法．　解成几部分”．然后．在“各个击破”的基础上．再通过重新组合以解决　因为麻烦很可能就是由于我们还没有充分理解问题中的那些基本词　原来的问题　这就是“分解与重新组合”的方法　句的意义　具体地说．这时就应考虑：　初中代数有因式分解这部分内容．有的题目就要进行分解和重新　“你对问题直接涉及的所有概念都　解了吗？”　组合，例如：把　一ｂ２＿２ａ＋１因式分解，这里就要把　一２ａ＋１组合到一起　这个提问可以提醒你返回到定义上去．从而得到一个比较满意的　再用平方差公式因式分解　复述或找到某些有用的新因素．因此我们可以通过“回到定义”。从而　当然．分解与重新组合的过程并不总是像上例那么简单．恰恰相　消除某些不熟悉的专业术语　反，“困难的问题需要有一种神奇的、不寻常的、崭新的组合。而解题者　波利亚《怎样解题》一书中有一典型例题：　的才能就在于组合的独创性　”　已知抛物线的焦点Ｆ准线ｄ和一条直线ｌ，求作此抛物线与已知　１３６　科技信息　０教学研究Ｏ　ＳＣＩＥＮＣＥ＆ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ　ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ　２０１１年第３ｌ期　２－４特殊化　一解法２设甲已坐在某车上．则乙有三个位置可以选择。但与甲同　特殊化是指：“从考虑一组给定的对象集合过渡到考虑该集合中　车的坐法只有一种，故甲、乙同车的概率为　１．　ｊ　个较小的集合．或仅仅一个对象”。例如，从一般多边形过渡到正ｎ　注：解法１可以使我们对古典概型的条件和结论有个清晰的认　边形，从正ｎ边形过渡到正三角形等，就都是特殊化的实例。由所说的　解法２看似简单．实际上比较抽象．我们将原命题一般化．如果有　实例我们并可看出．在特殊化的过程中我们不仅可以用特定的具体对　识．求其中特定两人同车的概率．对于一般化的命题．　象去代替原来的可变对象，也可通过引进新的限制（增加条件）由原来　２ｎ个人分乘两辆车．我们若要用解法１所示的方法求解．将相当的复杂．但是若用解法２．　的问题得出较为特殊的新问题　波利亚指出：“特殊化在解问题时常常用。”具体地说，“开始时，我　我们容易得出结论，即特定两人同车的概率为　．　Ｚｎ－ｌ　们可以审查任何简单的特例．即或多或少是随便选择的、任何容易试　个特殊问题的多种解法中．最有价值的解法是：当把特殊问题拓　验的对象　如果试验结果表明这个特例与普遍性命题不一致．则此命　它可以指导我们求解一般化命题．　题就得到反驳而我们的工作得以完成。但是．如果所审查的对象与命　广为包含这一问题的特殊命题时，在将特殊命题推广到一般化命题的情况下，判断特殊命题解题思　题一致．我们则有可能从它的审查中得到某种暗示。我们可能得到下　路的优劣，可以培养思维的广阔性、批判性和深刻性，因此在这个意义　述印象，即该命题最后可能为真；并且得到某个建议，即我们应当沿什　将已解决的特殊问题一般化更具有价值．因此，我们不能仅仅　么方向去寻找证明。或者，……我们得到某个建议，即沿什么方向找一　上来说，将一般化停留在构造新命题解决原命题的基础上．而应在解题之后，鼓　个反例。”　励学生进一步探索，将已解决的特殊命题推广得到一般化命题．并尝试　以下是波利亚在《数学与猜想》中所各给出的一个例子。　用特殊命题的求解思路来解决一般化命题．这样。不仅可以帮助我们认　例１：两个人在一张圆桌上相继轮流平方一枚同样大小的硬币，　清原问题，还可以帮助我们逐步养成良好的思维品质．　游戏规定：硬币不能重叠放置，在桌上放下最后一枚硬币者为游戏的　２．６类比　胜利者．设两人都是能手．试问是先放者取胜。还是后放者取胜？　所谓“类比”．在此即是指通过联想起一个相似的问题来求解原来　特殊化方法使这一古老而有名的难题得到巧妙解决。假如桌子小　的问题。　到只能放下一枚硬币．那么当然先放者取胜：我们可从这一极端的特　波利亚指出：“在求解所提出的问题的过程中．我们经常可以利用　例得到以下的启示：先放的人可以把第一枚硬币占据桌子中心：由于　我们可能利用它的方法或者可能利用它　桌面呈中心对称．因此．如果以后不论对方把硬币放于何处。先放者总　个简单的类比问题的解答：的结果……”从而。利用类比求解问题的过程可以大致地表述为：“选　把硬币放在对手所放位置的对称点，这样，先放者就一定取胜。　出一个类似的、较易的问题，去解决它，改造它的解法．以便它可以用　２．５一般化　作一个模式。然后，利用刚刚建立的模式，以达到原来问题的解决。”波　般化指“从考虑一个对象过度到考虑包含该对象的一个集合：　利亚并强调指出：这种方法在外人看来。似乎是迂回绕圈子．但在数学　或者从考虑一个较小的集合过渡到考虑一个包含该较小集合的更大　集合。”显然，按照这样的理解．一般化方法就是与特殊化方法直接相　上或数学以外的科学研究中是常用的　对立的。另外，从现实的情况看，一般化方法在解题中的应用似乎也远　例３：已知ｘ＋ｙ＋ｚ＝ｘｙｚ，求证：　＋　＋　远少于特殊化方法：但是，由以下简单实例可以看出，一般化方法同样　２ｖ　。　。　ｒ　应被看成一种重要的解题策略　例如．在求解具体的数字题的过程中．我们经常可以用字母去代　证：当把ｘ看作是ｔａｎＡ时　与二倍角的正切公式ｔａｎ２Ａ＝　替其中的常数．而又正如波利亚所指出的：“这样的普遍化可能非常有　用　从‘数字’题过渡到‘字母’题可以得到一个新程序：我们可以变化　的右端类似，所以可类比三角函数恒等式的证明方法去证．　Ａ　已知数据　”（特殊地．就如以上所指出的，在这样做了以后．我们并可　１－ｔａｎ＇用各种方法去对所得出的结果进行检验。）　另外．更为一般地说．一般化方法之所以能在数学解题中发挥重　２ｔａｎＢ．２ｔａｎＣ　要的作用．其主要原因就在于：由特殊向一般的过渡常常为问题的分　’１－ｔａｎＺＢ。１－ｔａｎ２Ｃ　析提供了新的着眼点．从而也就为问题的成功解决开拓了新的可能　一一一设…ａｉｒＡ　ｔａｎＢ　ｔａｎＣ贿备＋　＋　＝　．性。　＝ｔａｎ２Ａ＋ｔａｎ２Ｂ＋ｔａｎ２Ｃ　＝ｔａｎ２Ａ？ｔａｎ２Ｂ？ｔａｎ２Ｃ　２　‘　例２：甲、乙、丙、丁四个人分乘两辆车，每辆车两人，求甲、乙同车　的概率．　解法１从坐车情况来看，有以下六个基本事件：　甲、乙同在１号车，丙、丁在２号车；　甲、乙同在２号车，丙、丁在１号车；　甲、丙在ｌ号车，乙、丁在２号车；　２ｖ　。　ｒ　所以恒等式成立。Ｑ　【参考文献】　［１］Ｇ・波利亚．怎样解题［Ｍ］．上海：上海科技教育出版社，２００２．　甲、丁在１号车　乙、丙在２号车；　［２］Ｇ・波利亚．数学与猜想【Ｍ】．北京：科学出版社，１９８２．　甲、丙在２号车，乙、丁在１号车；　［３］郑毓信，等．数学思维与数学方法论［Ｍ］戚都：四川教育出版社，２００１　甲、丁在２号车，乙、丙在１号车；　而甲、乙同车所包含的事件有２个，由古典概型知：甲、乙同车的概　［责任编辑：常鹏飞］　率为　ｊ　革新传统教学的理论基础【Ａ］．１９９８（３）．　（上接第１０４页）情境下来应用所学习的知识，充分运用现代教育技术　［１］何克抗建构主义：在计算机课程教学中开展项目教学法的研究．电化教育研究，２００３　的手段给学生提供多种学习的资源，学生在独立完成项目前，教师要　［２］肖胜阳．　进行适当的引导　引导主要包括对新知识的讲锯和对项目具体实施的　（１０）．［３］赵建华，李克东．协作学习及协作学习模式［Ｊ］．中国电化教育，２０００（１０）．　解释　对新知识的讲解要抓重点．避免重复。　当然，开展项目教学，无论是任课教师还是学生，还存在一定的难　作者简介：王艳丽（１９７３～），女，汉族，江苏徐州人，学士，铜山中等专业学　度，还需要一相较长的时期进行适应，同时还需要一定的时间去磨合、　校，讲师，研究方向为职业教育学。　认同、完善和发展。　【参考文献】　［责任编辑：王爽］　１３７