八年级初二数学下学期二次根式单元检测

一、选择题

1．若a是最简二次根式，则a的值可能是（ ） A．2

B．2

C．

3 2D．8

2．对于所有实数a，b，下列等式总能成立的是（ ） A．

ab2ab B．(a2b2)2a2b2 D．(ab)2ab

C．a2b2ab 3．下列计算正确的是（ ） A．532 B．223212 D．423214

C．933

4．已知x1＝3＋2，x2＝3－2，则x₁²＋x₂²等于( ) A．8 5．已知A．4

B．5 B．9

C．10

D．11

，那么满足上述条件的整数的个数是（ ）.

C．6

﹣

D．7 +b的结果是

6．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简（ ）

A．1

B．b+1

C．2a

D．1﹣2a

7．下列运算正确的是（ ） A．235

8．在式子有（ ） A．2个

B．3个

C．4个

D．5个

9．下列运算一定正确的是( ) A．a2a

B．abB．22D．28

2C．1122221313

x(x0),2,y1(y2),2x(x0),33,x21,xy中，二次根式2ab

C．a2b2(ab)2 D．anmna0 m10．下列运算正确的是（ ） A．826 B．222 C．3515 D．2739

二、填空题

______3 ；（2）11．比较实数的大小:(1)5?151_______ 2412．设a﹣b=2+3，b﹣c=2﹣3，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc=_____． 13．设S11111111S1S12，设，，2322222122334SS1S2...Sn，则S=________________ (用含有n的代数式表示，其中n为

正整数)．

14．观察下列等式： 第1个等式：a1=第2个等式：a2=第3个等式：a3=第4个等式：a4=…

按上述规律,回答以下问题： (1)请写出第n个等式：an=__________. (2)a1+a2+a3+…+an=_________

15．已知m2m30，若整数a满足ma52，则a__________．

121， 12132， 231=2-3， 32152， 25x299x2116．已知x，y为实数，y=求5x+6y的值________.

x317．已知a18．若4，化简：(a3)2|2a|_____．

1有意义，则x的取值范围是____． 1+x4x中，自变量x的取值范围是____________． x219．函数y＝20．最简二次根式2m1与n1343m是同类二次根式，则mn＝________．

三、解答题

21．我国南宋时期有个著名的数学家秦九韶提出了一个利用三角形的三边求三角形的面积的公式，若三角形三边为a、b、c，则此三角形的面积为：

122a2b2c2S1ab 22同样古希腊有个几何学家海伦也提出了一个三角形面积公式：

2abc 2（1）在ABC中，若AB4，BC5，AC6，用其中一个公式求ABC的面积．

S2p(pa)(pb)(pc)其中p（2）请证明：S1【答案】（1）【分析】

S2

157；（2） 证明见解析 42a2b2c2122（1）将AB4，BC5，AC6代入S1中计算即可； ab2222（2）对S1和S2分别平方，再进行整理化简得出S1S2，即可得出S1S2．

【详解】

a2b2c2122解：（1）将AB4，BC5，AC6代入S1得： ab222122425262157 S45224122a2b2c22（2）S[ab()]

422121a2b2c2a2b2c2=(ab)(ab) 4221c2(ab)2(ab)2c2= 422=

1(cab)(cab)(abc)(abc) 16S22p(pa)(pb)(pc)

abc， 2abcabcabcabc2(a)(b)(c) ∴S22222∵pabcbcaacbabc 22221=(abc)(bca)(acb)(abc) 16=

22∴S1S2

∵S10，S20， ∴S1S2．

【点睛】

本题考查了二次根式的运算，解题的关键是理解题中给出的公式，灵活运用二次根式的运算性质进行运算．

22．先阅读材料，再回答问题： 因为

21211，所以121；因为2132321，所以

132；因为32（1）以此类推43431，所以143． 4311 ；  ，54n1n111的值． 213210099（2）请用你发现的规律计算式子【答案】（1）54，n1n；（2）9 【分析】 （1）仿照例子，由

54541可得11的值；由

54n1nn1n1可得n1n的值；

（2）根据（1）中的规律可将每个二次根式分母有理化，可转化为实数的加减法运算，再寻求规律可得答案． 【详解】 解：（1）因为

54541，所以1=54； 54因为

n1nn1n1，所以1n1n=n1n；

故答案为：54；n1n； （2）111 213210099213243999810099 1001

1019．

【点睛】

本题考查了分母有理化，分子分母都乘以分母这两个数的差进行分母有理化是解题关键．

23．阅读下列材料，然后回答问题：

在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如52、这样的式子，其实我们还可以将3+13其进一步化简：22(31)2(31)5535=31 . ==3；233+1(3+1)(31)(3)1333以上这种化简过程叫做分母有理化.

2231(3)212(3+1)(31)还可以用以下方法化简：=31. 3+13+13+13+13+1（1）请用其中一种方法化简

41511；

222+++（2）化简：3+15+37+5【答案】(1) 15＋11；(2) 311－1. 【分析】

+2.

99+97(1)运用了第二种方法求解，即将4转化为15－11；

（2）先把每一个加数进行分母有理化，再找出规律，即后面的第二项可以和前面的第一项抵消，然后即可得出答案. 【详解】 （1）原式=（2）原式===3

﹣1+﹣1

﹣

++

+﹣

+…

﹣

=

+…﹣1

=

；

【点睛】

本题主要考查了分母有理化，找准有理化的因式是解题的关键.

24．观察下列各式． ①111111111②23③34④45…… 233445566根据上述规律回答下列问题． （1）接着完成第⑤个等式： _____；

（2）请用含n(n1)的式子写出你发现的规律； （3）证明（2）中的结论． 【答案】（1）5【分析】

1111；（2）n；（3）见解析 6(n1)77n2n2（1）当n=5时，511； 67711； (n1)n2n2（2）观察不难发现，n（3）直接根据二次根式的化简即可证明． 【详解】 解：（1）5（2）n116 7711(n1) n2n2221n2n1(n1)1（3）证明：n (n1)n2n2n2n2【点睛】

此题主要考查探索数与式的规律，熟练发现规律是解题关键．

25．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如522，，一样的式子，其实我3313们还可以将其进一步化简：553532236，，3333333322(31)2(31)31；以上这种化简的步骤叫做分母有理2231(31)(31)(3)12化.还可以用以下方法化简：

31231313131231231313131

（1）请用不同的方法化简2；（2）化简：

531.

2n12n-1111315275【答案】（1）53；（2）【解析】

2n11. 2试题分析：（1）分式的分子和分母都乘以53，即可求出答案；把2看出5-3，根据平方差公式分解因式，最后进进约分即可．

（2）先每一个二次根式分母有理化，再分母不变，分子相加，最后合并即可．

试题解析：（1）①22(53)53 53(53)(53)②253(53)(53)53； 53535331537522n12n1（2）原式=

=

2n11. 2考点：分母有理化．

26．先化简，再求值：(【答案】【分析】

先把分式进行化简，得到最简分式，然后把a、b的值代入计算，即可得到答案． 【详解】 解：原式aba1ba

(ab)(ab)babba1b)，其中a2，b22． a2b2abba11，． ab2aba

b(ab)b(ab)b

b(ab)1， ab2，b22时，

11．

2222当a原式【点睛】

本题考查了二次根式的混合运算，分式的化简求值，分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．

+2xy+y²27．已知 x=2-3,y=2+3，求代数式x²的值. 【答案】16 【解析】

分析：（1）根据已知条件先计算出x+y=4，再利用完全平方公式得到x²+2xy+y²=（x+y）²，然后利用整体代入的方法计算． 本题解析：

∵x² +2xy+y² =(x+y)²， ∴当x=2−3，y=2+3时， ∴x²+2xy+y²=(x+y)²=(2−3+2+3)²=16.

28．计算：3(2)012(1)2020． 【答案】3 【分析】

本题根据零次幂，最简二次根式，整数次幂的运算规则求解即可． 【详解】

原式312313． 【点睛】

本题考查幂的运算与二次根式的综合，需牢记非零常数的零次幂为1，二次根式运算时需化为最简二次根式，其次注意计算仔细．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．B 解析：B 【分析】

直接利用最简二次根式的定义分析得出答案． 【详解】

解：∵a是最简二次根式，

∴a≥0，且a为整数，a中不含开的尽方的因数因式，

3，8都不合题意， 2∴a的值可能是2． 故选：B． 【点睛】

故选项中-2，

此题主要考查了最简二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．

2．B

解析：B 【详解】 解：A、错误，∵

ab2=a+b+2ab；

B、正确，因为a2+b2≥0，所以(a2b2)2=a2+b2； C、错误，a2b2是最简二次根式，无法化简；

D、错误，∵(a+b)2=|a+b|，其结果a+b的符号不能确定． 故选B．

3．B

解析：B 【分析】

根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题． 【详解】

解：∵53不能合并，故选项A不符合题意； ∵223212，故选项B符合题意； ∵933，故选项C不符合题意； ∵423272，故选项D不符合题意； 故选：B． 【点睛】

本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．

4．C

解析：C 【详解】

x1x2323223，x1x222所以x1x2x1x22x1x2=2323232321，

22112210，

故选：C． 【点睛】

22对于形如x1x2的式子，改变其中两个字母的位置后，并不改变代数式的值，通常将具有

这个特点的代数式称为轮换对称式，如

xx11，12，x1x2等，轮换对称式都可x1x2x2x1以用x1x2，x1x2来表示，所以求轮换对称式的值，一般是先将式子用x1x2，x1x2来表示，然后再整体代入计算．

5．C

解析：C 【解析】 【分析】

利用分母有理化进行计算即可. 【详解】

由原式得： 所以所以故选：C 【点睛】

.

，因为

，

,

此题考查解一元一次不等式的整数解，解题关键在于分母有理化.

6．A

解析：A 【解析】

﹣

+b=a1abb1aabb1 ，故选A.

7．B

解析：B 【分析】

根据二次根式的性质及运算法则依次计算各项后即可解答． 【详解】

选项A，23无法计算，选项A错误； 选项B，22选项C，选项D，2428，选项B正确；

121122，选项C错误； 2222413231，选项D错误．

综上，符合题意的只有选项B． 故选B． 【点睛】

本题考查了二次根式的性质及运算法则，熟练运用二次根式的性质及运算法则是解决问题的关键．

8．B

解析：B 【解析】

解：当y=﹣2时，y+1=﹣2+1=﹣1，∴义；所以二次根式有y2（y=－2）无意义；当x＞0时，2x无意

x21共3个．故选B．

x（x＞0），2 ，29．C

解析：C 【分析】

直接利用二次根式的性质与化简以及积的乘方运算法则分别计算即可得出答案．

【详解】

A．a2=|a|，故此选项错误；

B．若ab=ab成立，则a，b均为非负数，故此选项错误； C．a2•b2=（a•b）2，正确；

D．nam=n（a≥0），故此选项错误． a故选C． 【点睛】

本题主要考查了二次根式的性质与化简以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．

m10．C

解析：C 【分析】

根据二次根式的减法法则对A进行判断；根据二次根式的加法法则对B进行判断；根据二次根式的乘法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断． 【详解】 解：A、822，所以A选项错误；

B、2222，所以B选项错误； C、3515，所以C选项正确； D、2733，所以D选项错误． 故选：C． 【点睛】

本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．

二、填空题

11．【分析】

(1)根据两个负数比较大小、绝对值大的反而小比较即可；(2)先求出两数的差，再根据差的正负比较即可． 【详解】 (1) (2) ∵ ∴ ∴

故答案为： ，．

解析：  【分析】

(1)根据两个负数比较大小、绝对值大的反而小比较即可；(2)先求出两数的差，再根据差的正负比较即可． 【详解】 (1)53 (2) ∵3 ∴51153 4249

530 4511

24故答案为： ，．

∴【点睛】

本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则的内容是解此题的关键．

12．15 【解析】

根据题意，由a﹣b=2+，b﹣c=2﹣，两式相加得，得到a﹣c=4，然后根据配方法，把式子各项变为：a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=====15. 故答案为：15.

解析：15 【解析】

根据题意，由a﹣b=2+3，b﹣c=2﹣3，两式相加得，得到a﹣c=4，然后根据配方法，把式子各项变为：a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣

2a22b22c2﹣2ab﹣2ac﹣2bca2﹣2abb2b2﹣2bcc2a2﹣2acc2ac===

22(ab)2(bc)2(ac)2(23)2(23)242==15.

22故答案为：15.

13．【分析】

先根据题目中提供的三个式子，分别计算的值，用含n的式子表示其规律，再计算S的值即可． 【详解】 解：∵，∴； ∵，∴；

∵，∴； …… ∵， ∴； ∴ ．

故答案为： 【点睛】 本题

n22n 解析：

n1【分析】

先根据题目中提供的三个式子，分别计算S1,S2,S3的值，用含n的式子表示其规律，再计算S的值即可． 【详解】 解：∵S11∵S21∵S31…… ∵Sn1119931=，∴； S111122244221149497111，∴S11； 22232363666231116916913111，∴S11； 33242144144121234nn1， 112n2n12n2n122∴Sn∴Sn2n122n2n1n2n1111；

11nn1nn1nn1S1S2...Sn 11111111…+1

223nn1n11． n1n22n n1n22n故答案为：

n1【点睛】

本题为规律探究问题，难度较大，根据提供的式子发现规律，并表示规律是解题的关键，

111同时要注意对于式子的理解．

nn1nn114．【分析】

（1）由题意，找出规律，即可得到答案；

（2）由题意，通过拆项合并，然后进行计算，即可得到答案． 【详解】

解：∵第1个等式：a1=， 第2个等式：a2=， 第3个等式：

解析：1nn1n1n n11

【分析】

（1）由题意，找出规律，即可得到答案；

（2）由题意，通过拆项合并，然后进行计算，即可得到答案． 【详解】

解：∵第1个等式：a1=第2个等式：a2=第3个等式：a3=第4个等式：a4=…… ∴第n个等式：121， 12132， 231=2-3， 32152， 251nn11n1n；

故答案为：nn1n1n；

（2）a1a2a3an(21)(32)(23)n1n (n1n)

=213223=n11； 故答案为：n11． 【点睛】

本题考查了二次根式的加减混合运算，以及数字规律问题，解题的关键是掌握题目中的规律，从而进行解题

15．【分析】

先根据确定m的取值范围，再根据，推出，最后利用来确定a的取值范围． 【详解】 解： 为整数 为

故答案为：5． 【点睛】

本题考查的知识点是二次根式以及估算无理数的大小，利用 解析：5

【分析】

先根据m2m30确定m的取值范围，再根据ma52，推出523a522，最后利用7528来确定a的取值范围． 【详解】

解：

m2m30

2m3

ma52 a52m

523a522 7528

4a6 a为整数

a为5

故答案为：5． 【点睛】

本题考查的知识点是二次根式以及估算无理数的大小，利用“逼近法”得出52的取值范围是解此题的关键．

16．-16 【解析】

试题分析：根据分式的有意义和二次根式有意义的条件，可知x2-9=0，且x-3≠0，解得x=-3，然后可代入得y=-，因此可得5x+6y=5×（-3）+6×（-）=-15-1=-16

解析：-16 【解析】

试题分析：根据分式的有意义和二次根式有意义的条件，可知x2-9=0，且x-3≠0，解得x=-3，然后可代入得y=-故答案为：-16.

点睛：此题主要考查了分式的有意义和二次根式有意义，解题关键是利用二次根式的被开方数为非负数和分式的分母不为0，可列式求解.

11，因此可得5x+6y=5×（-3）+6×（-）=-15-1=-16. 6617．-5 【分析】

根据a的取值范围化简二次根式及绝对值，再根据整式的加减法计算法则计算得到答案. 【详解】 ∵,

∴a+3<0,2-a>0, ∴-a-3-2+a=-5， 故答案为：-5. 【点睛】 此

解析：-5 【分析】

根据a的取值范围化简二次根式及绝对值，再根据整式的加减法计算法则计算得到答案. 【详解】 ∵a4,

∴a+3<0,2-a>0,

∴(a3)2|2a|-a-3-2+a=-5， 故答案为：-5.

【点睛】

此题考查二次根式的化简，绝对值的化简，整式的加减法计算法则，正确化简代数式是解题的关键.

18．x≥0． 【分析】

直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案． 【详解】

∵有意义，∴x≥0， 故答案为x≥0． 【点睛】

此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．

解析：x≥0． 【分析】

直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案． 【详解】 ∵1有意义，∴x≥0， 1+x故答案为x≥0． 【点睛】

此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．

19．x≤4且x≠2 【分析】

根据被开方数是非负数、分母不能为零，可得答案． 【详解】

解：由y=，得4-x≥0且x-2≠0． 解得x≤4且x≠2． 【点睛】

本题考查了函数自变量的取值范围，利用被开方

解析：x≤4且x≠2 【分析】

根据被开方数是非负数、分母不能为零，可得答案． 【详解】 解：由y=

4x，得4-x≥0且x-2≠0． x2解得x≤4且x≠2． 【点睛】

本题考查了函数自变量的取值范围，利用被开方数是非负数、分母不能为零得出4-x≥0且

x-2≠0是解题关键．

20．21 【分析】

根据二次根式及同类二次根式的定义列出方程组即可求出答案. 【详解】

∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴ ， 解得，， ∴

故答案为21.

解析：21 【分析】

根据二次根式及同类二次根式的定义列出方程组即可求出答案. 【详解】

∵最简二次根式2m1与n1343m是同类二次根式，

n12 ， ∴2m1343m解得，m7， n3∴mn7321. 故答案为21.

三、解答题 21．无 22．无 23．无 24．无 25．无 26．无 27．无

28．无