三角函数与平面向量的综合应用

要点梳理

1． 三角恒等变换

(1)公式：同角三角函数基本关系式、诱导公式、和差公式．

(2)公式应用：注意公式的正用、逆用、变形使用的技巧，观察三角函数式中角之间的联系，式子之间以及式子和公式间的联系．

(3)注意公式应用的条件、三角函数的符号、角的范围． 2． 三角函数的性质

(1)研究三角函数的性质，一般要化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，其特征：一角、一次、一函数．

(2)在讨论y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质时，要重视两种思想的应用：整体思想和数形结合思想，一般地，可设t＝ωx＋φ，y＝Asin t，通过研究这两个函数的图象、性质达到目的． 3． 解三角形

解三角形问题主要有两种题型：一是与三角函数结合起来考查，通过三角变换化简，然后运用正、余弦定理求值；二是与平面向量结合(主要是数量积)，判断三角形形状或结合正、余弦定理求值．试题一般为中档题，客观题、解答题均有可能出现． 4． 平面向量

平面向量的线性运算，为证明两线平行提供了重要方法．平面向量数量积的运算解决了两向量的夹角、垂直等问题．特别是平面向量的坐标运算与三角函数的有机结合，体现了向量应用的广泛性．

基础自测

π

＋αsin－π－αcos2

1．已知角α终边上一点P(－4,3)，则的值为________．

11π9πcos2－αsin2＋α2．已知f(x)＝sin(x＋θ)＋3cos(x＋θ)的一条对称轴为y轴，且θ∈(0，π)，则θ＝________.

π

0，)图象 3．如图所示的是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|∈2的一部分，则f(x)的解析式为____________．

4． (2012·四川改编)如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至 E，使AE＝1，连接EC、ED，则sin∠CED＝________.

5. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD＝1，BC＝2，AB

→→

＝3，P是BC上的一个动点，当PD·PA取得最小值时，tan∠DPA的 值为________． 题型分类

题型一 三角恒等变换

1

π3sin α－cos 2α＋1π3π

α－＝，求例1 设<α<，sin的值． 4534tan α

π43α＋7π的值是 α－＋sin α＝变式训练1.已知cos，则sin( ) 665

232344A．－ B. C．－ D. 5555

题型二 三角函数的图象与性质

ππ

例2 (2011·浙江)已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)，x∈R，A>0,0<φ<，y＝f(x)的部分图象如图

32

所示，P、Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为(1，A)． (1)求f(x)的最小正周期及φ的值；

2π

(2)若点R的坐标为(1,0)，∠PRQ＝，求A的值．

3

变式训练2.已知函数f(x)＝Asin ωx＋Bcos ωx(A，B，ω是常数，ω>0)的最小正周期为2，

1

并且当x＝时，f(x)max＝2.

3

(1)求f(x)的解析式；

2123

(2)在闭区间4，4上是否存在f(x)的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由．

2

题型三 三角函数、平面向量、解三角形的综合应用

xxx3sin ，1，n＝cos ，cos2. 例3 已知向量m＝4442π

(1)若m·n＝1，求cos3－x的值； (2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cos B＝bcos C，求函数f(A)的取值范围．

变式训练3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且lg a－lg b＝ lg cos B－lg cos A≠0. (1)判断△ABC的形状；

(2)设向量m＝(2a，b)，n＝(a，－3b)，且m⊥n，(m＋n)·(n－m)＝14，求a，b，c的值． 专项训练

→→

1． (2012·大纲全国)△ABC中，AB边的高为CD，若CB＝a，CA＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|

→

＝2，则AD等于 ( ) 11223344A.a－b B.a－b C.a－b D.a－b 33335555

2

2． 已知向量a＝(2，sin x)，b＝(cosx,2cos x)，则函数f(x)＝a·b的最小正周期是( )

π

A. B．π C．2π D．4π 2

3． 已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(3，－1)，n＝(cos A，

sin A)．若m⊥n，且acos B＋bcos A＝csin C，则角A，B的大小分别为 ( ) ππ2ππππππA.， B.， C.， D.， 63363633

π1

x＋，若a＝f(lg 5)，b＝flg ，则 4． (2012·江西)已知f(x)＝sin2 ( ) 45

A．a＋b＝0 B．a－b＝0 C．a＋b＝1 D．a－b＝1

135． 已知a＝－，，b＝(1，3)，则|a＋tb| (t∈R)的最小值等于 ( )

22

312

A．1 B. C. D.

222

3

33→→→→

6． 在△ABC中，AB·BC＝3，△ABC的面积S△ABC∈，，则AB与BC夹角的取值范围

22是 ( )

πππ，π C.π，π π，π ， A.B. D.43646332π

7． (2012·北京)在△ABC中，若a＝3，b＝3，∠A＝，则∠C的大小为________．

3

8． 在直角坐标系xOy中，已知点A(－1,2)，B(2cos x，－2cos 2x)，C(cos x,1)，其中x∈[0，

→→

π]，若AB⊥OC，则x的值为______．

π对x∈R恒成立，9． (2011·安徽)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数．f(x)≤f6

π且f2>f(π)，则f(x)的单调递增区间是__________．

ππββππ13

＋α＝，cos－＝，则cosα＋＝________. 10．若0<α<，－<β<0，cos43423222

11． (2012·山东)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初

始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向

→

滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP的坐标为________．

12．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2bsin A.

(1)求B的大小；

(2)求cos A＋sin C的取值范围．

xx

sin2－sin4(a>0且a≠1)，试讨论函数的奇偶性、单调性． 13．已知f(x)＝loga22

4

基础自测 1.解析

－sin α·sin α＝＝tan α.

11π9π－sin α·cos αcos2－αsin＋α

2

π

＋αsin－π－αcos2y33

根据三角函数的定义得tan α＝＝－.所以＝－.

x411π9π4

－αsin＋αcos22

π

＋αsin－π－αcos2

2. 解析 f(x)＝sin(x＋θ)＋3cos(x＋θ)

ππππx＋θ＋，由θ＋＝kπ＋ (k∈Z)及θ∈(0，π)，可得θ＝. ＝2sin3326

3. 解析 由于最大值和最小值之差等于4，故A＝2，B＝1.

ππ0，，得φ＝. 由于2＝2sin φ＋1，且|φ|∈26π

由图象知ω(－π)＋φ＝2kπ－ (k∈Z)，

2

22π2

得ω＝－2k＋(k∈Z)．又>2π，∴0<ω<1.∴ω＝. 3ω3

2π∴函数f(x)的解析式是f(x)＝2sin3x＋6＋1. 4. 解析 方法一 应用两角差的正弦公式求解．

由题意知，在Rt△ADE中，∠AED＝45°， 在Rt△BCE中，BE＝2，BC＝1，

12

∴CE＝5，则sin∠CEB＝，cos∠CEB＝.

55而∠CED＝45°－∠CEB， ∴sin∠CED＝sin(45°－∠CEB)

212210

＝(cos∠CEB－sin∠CEB)＝×－＝. 225510

方法二 利用余弦定理及同角三角函数基本关系式求解． 由题意得ED＝2，EC＝12＋22＝5. 在△EDC中，由余弦定理得

CE2＋DE2－DC23

cos∠CED＝＝10，又0<∠CED<π，

2CE·DE10

310102＝∴sin∠CED＝1－cos2∠CED＝1－1010. 5. 解析 如图，以A为原点，建立平面直角坐标系xAy，则A(0,0)，

B(3，0)，C(3,2)，D(0,1)，设∠CPD＝α，∠BPA＝β， P(3，y) (0≤y≤2)．

135→→→→2

y－2＋， ∴PD＝(－3,1－y)，PA＝(－3，－y)，∴PD·PA＝y－y＋9＝24

11→→

3，， ∴当y＝时，PD·PA取得最小值，此时P22

5

3→→

易知|DP|＝|AP|，α＝β.在△ABP中，tan β＝＝6，

12

2tan β12

tan∠DPA＝－tan(α＋β)＝2＝.

tanβ－135

π3π3ππππ

α－＝， 例1. 解 方法一 由<α<，得<α－<，又sin45341242

π4ππα－＝.所以cos α＝cos[(α－)＋] 所以cos4544ππππ2α－cos －sinα－sin ＝， ＝cos444104

sin α＋2sin2α14＋5272

所以sin α＝.故原式＝＝cos α(1＋2sin α)＝. 10sin α50

cos α

π332α－＝，得sin α－cos α＝方法二 由sin， 455

18

两边平方，得1－2sin αcos α＝，

25

7π3πππ

即2sin αcos α＝>0.由于<α<，故<α<. 253432

32

因为(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，

25

42722

故sin α＋cos α＝，解得sin α＝，cos α＝.下同方法一．

51010π433343α＋π＝4， α－＋sin α＝变式1解析 cos⇒sin α＋cos α＝⇒sin66552257ππ4α＋＝－sinα＋＝－. 所以sin665

2ππ

例2. 解 (1)由题意得T＝＝6.因为P(1，A)在y＝Asin(x＋φ)的图象上，

π33

πππ

所以sin(＋φ)＝1.又因为0<φ<，所以φ＝. 326

(2)设点Q的坐标为(x0，－A)．

ππ3π

由题意可知x0＋＝，得x0＝4，所以Q(4，－A)．

362

2π

连接PQ，在△PRQ中，∠PRQ＝，由余弦定理得

3

2222

RP＋RQ－PQA＋9＋A2－9＋4A21

cos∠PRQ＝＝＝－，解得A2＝3.又A>0，所以A＝3. 22RP·RQ22A·9＋A

2π

变式2解 (1)因为f(x)＝A2＋B2sin(ωx＋φ)，由它的最小正周期为2，知＝2，ω＝π，

ω

11ππ

又因为当x＝时，f(x)max＝2，知π＋φ＝2kπ＋ (k∈Z)，φ＝2kπ＋ (k∈Z)，

3326

πππ

πx＋2kπ＋＝2sinπx＋.故f(x)的解析式为f(x)＝2sinπx＋. 所以f(x)＝2sin666

6

(2)当垂直于x轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称

ππ1211235965

轴，令πx＋＝kπ＋ (k∈Z)，解得x＝k＋，由≤k＋≤，解得≤k≤，又k∈Z，

6234341212

212316，上存在f(x)的对称轴，其方程为x＝. 知k＝5，由此可知在闭区间443

x

1＋cos

2xπ1xxx3x

例3解 (1)m·n＝3sin ·cos ＋cos2＝sin ＋＝sin2＋6＋2， 444222

xπ1

∵m·n＝1，∴sin2＋6＝2. πxπ12ππ1x＋＝1－2sin2＋＝，cos－x＝－cosx＋＝－. cos3262332(2)∵(2a－c)cos B＝bcos C，

由正弦定理得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，

∴2sin Acos B－sin Ccos B＝sin Bcos C.∴2sin Acos B＝sin(B＋C)． ∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sin A≠0.

Aπ11π2ππAππ

∴cos B＝，∵0xπ1Aπ1＋＋.∴f(A)＝sin＋＋. 又∵f(x)＝sin262262

31，. 故函数f(A)的取值范围是2变式3解 (1)因为lg a－lg b＝lg cos B－lg cos A≠0，

acos B所以＝≠1，所以sin 2A＝sin 2B且a≠b.

bcos A

π

因为A，B∈(0，π)且A≠B，所以2A＝π－2B，即A＋B＝且A≠B.

2

所以△ABC是非等腰的直角三角形． (2)由m⊥n，得m·n＝0.所以2a2－3b2＝0.① 由(m＋n)·(n－m)＝14，得n2－m2＝14，

所以a2＋9b2－4a2－b2＝14，即－3a2＋8b2＝14.② 联立①②，解得a＝6，b＝2.所以c＝a2＋b2＝10. 故所求的a，b，c的值分别为6，2，10.

专项训练

1.D 2.B 3.C 4.C 5.B 6.B

π2ππππ5

kπ＋，kπ＋(k∈Z) 10. 3 11. (2－sin 2,1－cos 2) 7. 8. 或 9. 632239

12. 解 (1)由a＝2bsin A，

根据正弦定理得sin A＝2sin Bsin A，

1π

所以sin B＝，由△ABC为锐角三角形可得B＝. 26

5π5π

(2)由(1)可知A＋C＝π－B＝，故C＝－A.

665π

－A 故cos A＋sin C＝cos A＋sin6

7

π13

＋A＝cos A＋cos A＋sin A ＝cos A＋sin622

3331

＝cos A＋sin A＝3cos A＋sin A 2222

πA＋， ＝3sin3

π5πππ5π

由△ABC为锐角三角形可得，026236

ππππ2ππ5π13A＋<， 又0π33A＋<， 所以<3sin322

33

即cos A＋sin C的取值范围为，.

22x1－cos 2xx

1－sin2＝loga13. 解 f(x)＝logasin22. 28

故定义域为cos 2x≠1，即{x|x≠kπ，k∈Z}，关于原点对称且满足f(－x)＝f(x)，所以此函数是偶函数．

π1

kπ，kπ＋(k∈Z)； 令t＝(1－cos 2x)，则t的递增区间为28

π

kπ－，kπ(k∈Z)． 递减区间为2

πkπ－π，kπ(k∈Z)．kπ，kπ＋(k∈Z)；所以，当a>1时，f(x)的递增区间为递减区间为 22

ππ

kπ－，kπ(k∈Z)；递减区间为kπ，kπ＋(k∈Z)． 当08