第8讲线段和差问题的处理方法
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1．等量代换法；
2．截长补短法．
【板块一】等量代换
方法技巧
通过用图中相等的线段来代换另一条线段，将线段的和差问题转化为证两线段相等的问题，通过全等得到线段等，直接代换，将分散的线段转化到同一直线上解决问题．
【例1】如图，点D为BC上一点，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．
求证：BC＝CD＋CE．
【例2】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线DE过点A，BD⊥DE于D，
CE⊥DE于E．
（1）如图1，求证：DE＝CE＋BD；
（2）如图2，求证：DE＝CE－BD．
针对练习1
1．如图，在△ABC中，AB＝BC，点D为AB中点，∠ABC＝∠BAE＝90°，BE⊥CD交AC于
F．求证：CD＝BF＋DF．
【板块二】截长补短
方法技巧
和宜并之差宜贴，短则补之长则截．
截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；
补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段；或者将短线段直接延长至等于长线段。
无论截长还是补短都需要将几条线段的和差问题转化为证两条线段相等的问题，一般情况要通过两对全等实现。
模型一 角平分线与线段和差类
【例3】如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．
（1）若∠BAC＝90°，求证：BC＝AB＋AD；
（2）若∠BAC＝108°，求证：BC＝AB＋CD；
（3）若∠BAC＝100°，求证：BC＝BD＋AD．
【例4】如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC与∠ACB的平分线BD，CE交于点I．求证：BC＝BE＋CD．
模型二 倍半角与线段和差类
【例5】如图，在△ABC中，∠CAB＝2∠B．CD平分∠ACB．求证；BC＝AC＋AD．(请尝试用两种方法证明）
模型三 垂直与线段和差类
【例6】如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且AB＋BD＝DC，求∠C的度数．
模型四 等边三角形与线段和差类
【例7】如图，△ABC为等边三角形，∠ADC＝60°．求证：AD＝BD＋CD．（请用两种方法证明）
针对练习2
1．如图，在四边形ABCD中，AD//BC，点E为AB上一点，CE平分∠BCD，DE平分
∠ADC．求证：CD＝AD＋BC．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为AC中点，AE⊥BD于E，交BC
于F，连接DF．求证：BD－AF＝DF．
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