次函数与平行四边形综合

第十八讲二次函数与平行四边形综合

一、教学内容

1.二次函数的表示,二次函数图像与性质； 2.平行四边形的性质和判定；

3.函数图像与平行四边形的综合应用，典型应用、图像题； 二、例题细看

3【例1】 已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx6与x轴、y轴的交点分 别为A、B，

4将OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C. （1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

Q为线段BT上一点，直接写出QAQO的取值（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，范围.

【考点分析】二次函数综合题 y

B

H

1

C OA1

D T

【PEC分析】（1）点A的坐标是纵坐标为0，得横坐标为8，所以点A的坐标为（8，0）； 点B的坐标是横坐标为0，解得纵坐标为6，所以点B的坐标为（0，6）； 由题意得：BC是∠ABO的角平分线，所以OC=CH，BH=OB=6 ∵AB=10，∴AH=4，设OC=x，则AC=8-x由勾股定理得：x=3

∴点C的坐标为（3，0）将此三点代入二次函数一般式，列的方程组即可求得；

（2）求得直线BC的解析式，根据平行四边形的性质，对角相等，对边平行且相等，借助于三函数即可求

得；

x

（3）如图，由对称性可知QO=QH，|QA-QO|=|QA-QH|．当点Q与点B重合时，Q、H、A三点共线，

|QA-QO|取得最大值4（即为AH的长）；设线段OA的垂直平分线与直线BC的交点为K，当点Q与点K重

合时，|QA-QO|取得最小值0． 【跟踪练习】例1.(浙江义乌市) 如图，抛物线yx2x3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．

（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；

（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值； （3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由． A

【例2】 如图，点O是坐标原点，点A(n，0)是x轴上一动点(n0).以AO为一边作矩形AOBC，点C在

第二象限，且OB2OA．矩形AOBC绕点A逆时针旋转90得矩形AGDE．过点A的直线ykxm(k0)交y轴于点F，FBFA．抛物线yax2bxc过点E、F、G且和直线AF交于点H，过点H作HMx轴，垂足为点M． ⑴ 求k的值；

⑵ 点A位置改变时，AMH的面积和矩形AOBC 的面积的比值是否改变说明你的理由．

y

CB

GD

FM

OxA E

H

【PEC分析】（1）由题意知OB=2OA=2n，在直角三角形AEO中，OF=OB-BF=-2n-AF，因此可用勾股定理求出AF的表达式，也就求出了FB的长，由于F的坐标为（0，m）据此可求出m，n的关系式，可用n替换掉一次函数中m的值，然后将A点的坐标代入即可求出k的值．

（2）思路同（1）一样，先用n表示出E、F、G的坐标，然后代入抛物线的解析式中，得出a，b，c与n的函数关系式，然后用n表示出二次函数的解析式，进而可用n表示出H点的坐标，然后求出△AMH的面积和矩形AOBC的面积进行比较即可． y B(c，d) C

D(e，f) 【跟踪练习】（1）在图1，2，3中，给出平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标（如A(a，b) 2O 图4

x

图所示），写出图1，2，3中的顶点C的坐标，它们分别是(5，2)， ， ；

y y y B(c，d) B(1，2) B(c，d) C

C C A(a，b) D(e，b) xxx

O (A) O (A) O D(4，0) D(e，0) 图1

图2

图3

（2）在图4中，给出平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标（如图所示），求出顶点C的坐标（C点

坐标用含a，b，c，d，e，f的代数式表示）；

归纳与发现

（3）通过对图1，2，3，4的观察和顶点C的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为A(a，b)，B(c，d)，C(m，n)，D(e，f)（如图4）时，则四个顶

点的横坐标a，c，m，e之间的等量关系为 ；纵坐标b，d，n，f之间的等量关系为 运用与推广

1519c，c，Sc，c，2222H(2c，0)（其中c0）．问当c为何值时，该抛物线上存在点P，使得以G，S，H，P为顶点的四边形是平行四边形并求出所有符合条件的P点坐标．

（4）在同一直角坐标系中有抛物线yx(5c3)xc和三个点G2

【例3】 如图1，RtABC中，A90，tanB3，点P在线段AB上运动，点Q、R分别在线段BC、4AC上，且使得四边形APQR是矩形．设AP的长为x，矩形APQR的面积为y，已知y是x的函

36的抛物线的一部分（如图2所示）． 数，其图象是过点12，（1）求AB的长；

（2）当AP为何值时，矩形APQR的面积最大，并求出最大值．为了解决这个问题，孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论：

36在图1中表示什么呢 张明：图2中的抛物线过点12，36李明：因为抛物线上的点(x,y)是表示图1中AP的长与矩形APQR面积的对应关系，那么12，表示当AP12时，AP的长与矩形APQR面积的对应关系.

赵明：对，我知道纵坐标36是什么意思了！

孔明：哦，这样就可以算出AB，这个问题就可以解决了. 请根据上述对话，帮他们解答这个问题.

C【考点点评】本题结合三角形、矩形的相

y关知识考查了二次函数的应用，用数形

结合的思路求得相应的函数关系式是解题的关键

(12,36) QR

xO BAP

【PEC分析】（1）由于y是x的函数且过（12，36）点，即AP=12时，矩形的面积为36，可求出PQ的长，进而在直角三角形BPQ中得出BP的值，根据AB=AP+BP即可求出AB的长．

（2）与（1）类似，可先用AP表示出BP的长，然后在直角三角形BPQ中，表示出PQ的长；根据矩形的面积计算方法即可得出关于y，x的函数关系式．然后可根据得出的函数的性质求出矩形的最大面积以及此时对应的x的值．

，0)和B(5，0)的抛物线l1的顶点为C(3，4)，抛物线l2与【跟踪练习】如图，已知与x轴交于点A(1l1关于x轴对称，顶点为C．

（1）求抛物线l2的函数关系式；

（2）已知原点O，定点D(0，4)，l2上的点P与l1上的点P始终关于x轴对称，则当点P运动到何处时，以点D，O，P，P为顶点的四边形是平行四边形

（3）在l2上是否存在点M，使△ABM是以AB为斜边且一个角为30o的直角三角形若存，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

y

5 4 3 2 1 El2O112345A1 2 3 4 5 xBCl1

【例4】 如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为A(4，、0)C(0，2)，D为OA的中点．设点P是AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）．

（1）试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等；

（2）当点P运动到与点B的距离最小时，试确 定过O、P、D三点的抛物线的解析式；

（3）设点E是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，PDE的周长最小求出此

时点P的坐标和PDE的周长；

（4）设点N是矩形OABC的对称中心，是否存在点P，使CPN90°若存在，请直接写出点

P的坐标．

。

yC(0,2)PODBA(4,0)x【PEC分析】本题综合考查了三角形全等、一次函数、二次函数，及线段最短和探索性的问题． （1）通过△POC≌△POD而证得PC=PD．

（2）首先要确定P点的位置，再求出P、F两点坐标，利用待定系数法求的抛物线解析式； （3）此问首先利用对称性确定出P点位置是EC与∠AOC的平分线的交点，再利用抛物线与直线CE的解析式求出交点P的坐标．进而求的△PED的周长；

（4）要使∠CPN=90°，则P点是以CN的中点为圆心以CN为直径的圆与角平分线的交点，由

此就易于写出P点的坐标．

【例5】 如图，已知抛物线l1：yx24的图象与x轴相交于A、C两点，B是抛物线l1上的动点(B不与

A、C重合)，抛物线l2与l1关于x轴对称，以AC为对角线的平行四边形ABCD的第四个顶点为D．

（1）求l2的解析式；

（2）求证：点D一定在l2上；

（3）平行四边形ABCD能否为矩形如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积（若只有一个矩

形符合条件，则求此矩形的面积）；如果不能为矩形，请说明理由．（注：计算结果不取近似值．）

yl1：y=x2-4

AC

Ox

l2

【PEC分析】（1）根据l1的解析式可求l1与x轴的交点为A（-2，0），C（2，0），顶点坐标是（0，-4），l2与l1关于x轴对称，实际上是l2与l1的顶点关于x轴对称，即l2的顶点为（0，4），设顶点式，可求抛物线l2的解析式；

（2）平行四边形是中心对称图形，A、C关于原点对称，则B、D也关于原点对称，设点B（m，n），则点D（-m，-n），由于B（m，n）点是y=x2-4上任意一点，则n=m2-4，∴-n=-（m2-4）=-m2+4=-（-m）2+4，可知点D（-m，-n）在l2y=-x2+4的图象上；

（3）构造∠ABC=90°是关键，连接OB，只要证明OB=OC即可，为求OB长，过点B作BH⊥x轴于H，用B的坐标为（x0，x02-4），可求OB，用OB=OC求x0，再计算面积．

0，B2，0，E0，8． 【跟踪练习】如图，已知抛物线C1与坐标轴的交点依次是A4，（1）求抛物线C1关于原点对称的抛物线C2的解析式；

（2）设抛物线C1的顶点为M，抛物线C2与x轴分别交于C，D两点(点C在点D的左侧)，顶点为N，四边形MDNA的面积为S．若点A，点D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M，点N同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止．求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；

（3）当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值；

（4）在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形若能，求出此时t的值；若不能，说明理由．

y8E7654321NAB-6-5-4-3-2-1O-1M-2DCH12345x

三、课堂一试

121，点A的坐标为0，x在第一象限内的图象上的任一点，

41且与x轴平行，直线l过B0，过P作y轴的平行线分别交x轴、直线l于C、Q，连结AQ交x轴于H，1.如图，在直角坐标系xOy中，点P为函数y直线PH交y轴于R．

⑴ 求证：H点为线段AQ的中点； ⑵ 求证：四边形APQR为菱形；

⑶ 除P点外，直线PH与抛物线y请说明理由．

yPAOBRHQCl12求出其它公共点的坐标；若没有，x有无其它公共点若有，

4x

2.如图，在平面直角坐标系内，以y轴为对称轴的抛物线经过直线y

3x2与y轴的交点A和点33． M02，（1）求这条抛物线所对应的二次函数的关系式； （2）将（1）中所求抛物线沿x轴平移．

①在题目所给的图中画出沿x轴平移后经过原点的抛物线大致图象；

②设沿x轴平移后经过原点的抛物线对称轴与直线AB相交于C点．判断以O为圆心，OC为半径的圆与直线AB的位置关系，并说明理由；

（3）P点是沿x轴平移后经过原点的抛物线对称轴上的点。求P点的坐标，使得以O、A、C、P

四点为顶点的四边形是平行四边形．

y A B M O x

3.如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，

且AB1，OB3，矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转60o后得到矩形EFOD．点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D，抛物线yax2bxc过点A，E，D．

（1）判断点E是否在y轴上，并说明理由； （2）求抛物线的函数表达式；

（3）在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点O，B，P，Q为顶点的平行四边形的面积是矩

形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

y E A B

F C D O x

4.如图10，已知抛物线P：y=ax2+bx+c(a≠0) 与x轴交于A、B两点(点A在x轴的正半轴上)，与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下： x … -3 -2 1 2 … y … - 52-4 - 520 … (1) 求A、B、C三点的坐标；

(2) 若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；

(3) 当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM=k·DF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围.

图10

5.如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（－8，0），点N的坐标为（－6，－4）．

（1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A， 点N的对应点为B， 点H的对应点为C）；

（2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式；

（3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；

（4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．

6. 如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点P是OA边上的动点(与点O、A不重合)．现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD、PF重合．

(1)设P(x，0)，E(0，y)，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；

(2)如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；

(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．

yCEOFBDP图1 AxCyDBEFOP图2 Ax

四、课后有练

1.如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将矩形ABCD沿对角线A平移，平移后的矩形为EFGH（A、E、C、G始终在同一条直线上），当点E与C重时停止移动．平移中EF与BC交于点N，GH与BC的延长线交于点M，EH与DC交于点P，FG与DC的延长线交于点Q．设S表示矩形PCMH的面积，S表示矩形NFQC的面积． （1） S与S相等吗请说明理由．

（2）设AE＝x，写出S和x之间的函数关系式，并求出x取何值时S有最大值，最大值是多少 （3）如图11，连结BE，当AE为何值时，ABE是等腰三角形． DADA

Px HEPE CBM BNCNHM

FQGFQG图

图

2.如图12， 四边形OABC为直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）． 点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP垂直x轴于点P，连结AC交NP于Q，连结MQ．

（1）点 （填M或N）能到达终点；

（2）求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大；

（3）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由．

y

CNB Q

MPAxO

图12

3..已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点

C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）求此抛物线的表达式；

（3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．