永清县民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

永清县民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 函数f（x）=

有且只有一个零点时，a的取值范围是（ ）

A．a≤0 B．0＜a＜ C．＜a＜1 D．a≤0或a＞1

2． 设全集U={1，3，5，7，9}，集合A={1，|a﹣5|，9}，∁UA={5，7}，则实数a的值是（ ） A．2

B．8

C．﹣2或8 D．2或8

3． 已知命题p：“∀∈[1，e]，a＞lnx”，命题q：“∃x∈R，x2﹣4x+a=0””若“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是（ ）

A．（1，4] B．（0，1] C．[﹣1，1] D．（4，+∞）

4． 已知双曲线A．（

，+∞） B．（1，

22

的渐近线与圆x+（y﹣2）=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）

） C．（2．+∞） D．（1，2）

5． 已知=（2，﹣3，1），=（4，2，x），且⊥，则实数x的值是（ ） A．﹣2

B．2

C．﹣

D．

6． 已知双曲线kx2﹣y2=1（k＞0）的一条渐近线与直线2x+y﹣3=0垂直，则双曲线的离心率是（ ） A．

B．

C．4

D．

+

，则x、y的值分

7． 已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若别为（ ）

A．x=1，y=1 B．x=1，y= C．x=，y=

D．x=，y=1

8． 在复平面上，复数z=a+bi（a，b∈R）与复数i（i﹣2）关于实轴对称，则a+b的值为（ ） A．1

B．﹣3 C．3

D．2

，函数

，其中b∈R，若函数y=f（x）

9． 已知函数

﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（ ） A．

B．

C．

D．

10．设集合M={x|x＞1}，P={x|x2﹣6x+9=0}，则下列关系中正确的是（ ） A．M=P B．P⊊M C．M⊊P D．M∪P=R

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11．设0＜a＜b且a+b=1，则下列四数中最大的是（ ） A．a2+b2 B．2ab C．a

D．

12．阅读下面的程序框图，则输出的S=（ ）

A．14

B．20

C．30

D．55

二、填空题

13．抽样调查表明，某校高三学生成绩（总分750分）X近似服从正态分布，平均成绩为500分．已知P（400＜X＜450）=0.3，则P（550＜X＜600）= ．

214．【泰州中学2018届高三10月月考】设二次函数fxaxbxc（a,b,c为常数）的导函数为fx，

b2对任意xR，不等式fxfx恒成立，则2的最大值为__________． 2ac15．定积分

sintcostdt= ．

16．已知函数，则__________；的最小值为__________．

17．设函数f（x）=

①若a=1，则f（x）的最小值为 ；

，

②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是 ．

18．一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 ．

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三、解答题

19．已知函数f（x）=x|x﹣m|，x∈R．且f（4）=0 （1）求实数m的值．

（2）作出函数f（x）的图象，并根据图象写出f（x）的单调区间 （3）若方程f（x）=k有三个实数解，求实数k的取值范围．

20．本小题满分12分如图，在边长为4的菱形ABCD中，BAD60，点E、F分别在边CD、CB上．点

E与点C、D不重合，EFAC，EF平面ABFED．

Ⅰ求证：BD平面POA；

ACO，沿EF将CEF翻折到PEF的位置，使平面PEFⅡ记三棱锥PABD的体积为V1，四棱锥PBDEF的体积为V2，且

DPV14，求此时线段PO的长． V23

EAOFBCDABFOEC第 3 页，共 16 页

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21．（本小题满分12分）

一个盒子里装有编号为1、2、3、4、5的五个大小相同的小球，第一次从盒子里随机抽取2个小球，记下球的编号，并将小球放回盒子，第二次再从盒子里随机抽取2个小球，记下球的编号． （Ⅰ）求第一次或第二次取到3号球的概率；

（Ⅱ）设为两次取球时取到相同编号的小球的个数，求的分布列与数学期望．

22．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，且AD=2CD=2，AA1=2，∠A1AD=为AD的中点，且CD⊥A1O （Ⅰ）求证：A1O⊥平面ABCD；

（Ⅱ）线段BC上是否存在一点P，使得二面角D﹣A1A﹣P为由．

？若存在，求出BP的长；不存在，说明理

．若O

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23．设函数f（x）=emx+x2﹣mx．

（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增； （2）若对于任意x1，x2∈，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．

24．在直角坐标系中，已知圆C的圆心坐标为（2，0），半径为轴建立极坐标系．，直线l的参数方程为：（1）求圆C和直线l的极坐标方程； （2）点P的极坐标为（1，

），直线l与圆C相交于A，B，求|PA|+|PB|的值．

（t为参数）．

，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极

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永清县民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】D

【解析】解：∵f（1）=lg1=0， ∴当x≤0时，函数f（x）没有零点，

xx

故﹣2+a＞0或﹣2+a＜0在（﹣∞，0]上恒成立， xx

即a＞2，或a＜2在（﹣∞，0]上恒成立，

故a＞1或a≤0； 故选D．

【点评】本题考查了分段函数的应用，函数零点与方程的关系应用及恒成立问题，属于基础题．

2． 【答案】D

【解析】解：由题意可得3∈A，|a﹣5|=3， ∴a=2，或a=8， 故选 D．

3． 【答案】A

【解析】解：若命题p：“∀∈[1，e]，a＞lnx，为真命题， 则a＞lne=1，

若命题q：“∃x∈R，x﹣4x+a=0”为真命题，

2

则△=16﹣4a≥0，解得a≤4， 若命题“p∧q”为真命题， 则p，q都是真命题， 则

，

解得：1＜a≤4．

故实数a的取值范围为（1，4]． 故选：A．

【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键．

4． 【答案】C

22

【解析】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆x+（y﹣2）=1相交

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∴圆心到渐近线的距离小于半径，即

22∴3a＜b， 2222∴c=a+b＞4a，

＜1

∴e=＞2 故选：C．

【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式等．考查了学生数形结合的思想的运用．

5． 【答案】A

【解析】解：∵ =（2，﹣3，1），=（4，2，x），且⊥， ∴

=0，

∴8﹣6+x=0； ∴x=﹣2； 故选A．

【点评】本题考查向量的数量积判断向量的共线与垂直，解题的关键是将垂直关系转化为两向量的内积为0，建立关于x的方程求出x的值．

6． 【答案】A

22

【解析】解：由题意双曲线kx﹣y=1的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，可得渐近线的斜率为，

又由于双曲线的渐近线方程为y=±故

=，∴k=，

x

∴可得a=2，b=1，c=故选：A．

，由此得双曲线的离心率为，

【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，解题的关键是理解一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，由此关系求k，熟练掌握双曲线的性质是求解本题的知识保证．

7． 【答案】C 【解析】解：如图，+故选C．

+（

）．

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8． 【答案】A

【解析】解：∵z=a+bi（a，b∈R）与复数i（i﹣2）=﹣1﹣2i关于实轴对称， ∴

，∴a+b=2﹣1=1，

故选：A．

【点评】本题考查复数的运算，注意解题方法的积累，属于基础题．

9． 【答案】 D 【解析】解：∵g（x）=﹣f（2﹣x），

∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣+f（2﹣x）， 由f（x）﹣+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=， 设h（x）=f（x）+f（2﹣x）， 若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，

2则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x，

若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，

则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2， 若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0， 作出函数h（x）的图象如图：

22

则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）+2﹣|2﹣x|=x﹣5x+8．

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22

当x≤0时，h（x）=2+x+x=（x+）+≥， 22

当x＞2时，h（x）=x﹣5x+8=（x﹣）+≥，

故当=时，h（x）=，有两个交点， 当=2时，h（x）=，有无数个交点，

由图象知要使函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点， 即h（x）=恰有4个根，

则满足＜＜2，解得：b∈（，4）， 故选：D．

【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．

10．【答案】B

【解析】解：P={x|x=3}，M={x|x＞1}； ∴P⊊M．

故选B．

11．【答案】A

【解析】解：∵0＜a＜b且a+b=1 ∴∴2b＞1

∴2ab﹣a=a（2b﹣1）＞0，即2ab＞a

222

又a+b﹣2ab=（a﹣b）＞0

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22

∴a+b＞2ab

22

∴最大的一个数为a+b

故选A

12．【答案】C

【解析】解：∵S1=0，i1=1； S2=1，i2=2； S3=5，i3=3； S4=14，i4=4； S5=30，i=5＞4 退出循环， 故答案为C．

【点评】本题考查程序框图的运算，通过对框图的分析，得出运算过程，按照运算结果进行判断结果，属于基础题．

二、填空题

13．【答案】 0.3 ．

【解析】离散型随机变量的期望与方差． 【专题】计算题；概率与统计．

【分析】确定正态分布曲线的对称轴为x=500，根据对称性，可得P（550＜ξ＜600）． ∴正态分布曲线的对称轴为x=500， ∵P（400＜ξ＜450）=0.3， 故答案为：0.3．

【解答】解：∵某校高三学生成绩（总分750分）ξ近似服从正态分布，平均成绩为500分，

∴根据对称性，可得P（550＜ξ＜600）=0.3．

【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，正确运用正态分布曲线的对称性是关键． 14．【答案】222

【解析】试题分析：根据题意易得：f'x2axb，由fxf'x得：axb2axcb0在R

2c4122a0b4ac4aa上恒成立，等价于：{ ，可解得：b24ac4a24aca，则：22222，

0acacc1a第 10 页，共 16 页

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c4t令t1,(t0)，y2at2t2b244的最大值为222． 222，故222act2222t考点：1.函数与导数的运用;2.恒成立问题;3.基本不等式的运用 15．【答案】

【解析】解： 0sintcostdt=

0sin2td（2t）=

．

（﹣cos2t）|=×（1+1）=．

故答案为：

16．【答案】

【解析】【知识点】分段函数，抽象函数与复合函数 【试题解析】

当时，

当时，

故

的最小值为

故答案为：

17．【答案】 ≤a＜1或a≥2 ．

【解析】解：①当a=1时，f（x）=

，

当x＜1时，f（x）=2x

﹣1为增函数，f（x）＞﹣1，

当x＞1时，f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x2

﹣3x+2）=4（x﹣）2

﹣1，

当1＜x＜时，函数单调递减，当x＞时，函数单调递增， 故当x=时，f（x）min=f（）=﹣1，

②设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a） 若在x＜1时，h（x）=与x轴有一个交点，

所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，

而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1， 所以≤a＜1，

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若函数h（x）=2﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，

x

则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，

当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），

当h（1）=2﹣a≤0时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的， 综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2．

18．【答案】

【解析】解：由题意可得，2a，2b，2c成等差数列 ∴2b=a+c

222

∴4b=a+2ac+c①

222

∵b=a﹣c②

．

①②联立可得，5c2+2ac﹣3a2=0 ∵

2

∴5e+2e﹣3=0

∵0＜e＜1 ∴

故答案为：

【点评】本题主要考查了椭圆的性质的应用，解题中要椭圆离心率的取值范围的应用，属于中档试题

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）∵f（4）=0， ∴4|4﹣m|=0 ∴m=4，

（2）f（x）=x|x﹣4|=

图象如图所示：

由图象可知，函数在（﹣∞，2），（4，+∞）上单调递增，在（2，4）上单调递减． （3）方程f（x）=k的解的个数等价于函数y=f（x）与函数y=k的图象交点的个数， 由图可知k∈（0，4）．

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20．【答案】

【解析】Ⅰ证明：在菱形ABCD中， ∵BDAC，∴BDAO． ∵EFAC，∴POEF， ∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∴PO平面ABFED，

∵BD平面ABFED，∴POBD． ∵AOⅡ设AOPOO，∴BD平面POA．

BDH．由Ⅰ知，PO平面ABFED，

平面ABFEDEF，且PO平面PEF，

∴PO为三棱锥PABD及四棱锥PBDEF的高，

V411∴V1SABDPO,V2S梯形BFEDPO，∵1，

33V23331∴S梯形BFEDSABDSCBD，∴SCEFSCBD，

444∵BDAC,EFAC，

CO2SCEF1)， ∴EF//BD，∴CEF∽CBD． ∴(CHSCBD4111∴COCHAH233， ∴POOC3．

22221．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）事件“第一次或第二次取到3号球的概率”的对立事件为“二次取球都没有取到3号球”，

22C4C416∴所求概率为P122（6分）

C5C525第 13 页，共 16 页

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112C323C2C3C231（Ⅱ）0,1,2, P(0)2，P(1)，，（9分） P(2)22C510C55C510故的分布列为：

 P 0 1 2 3 103 51 10 （10分）

∴E0331412 （12分） 10510522．【答案】

【解析】满分（13分）． （Ⅰ）证明：∵∠A1AD=∴A1O=∴

+AD2=AA12，

，且AA1=2，AO=1，

=

，…（2分）

∴A1O⊥AD．…（3分） 又A1O⊥CD，且CD∩AD=D， ∴A1O⊥平面ABCD．…（5分）

（Ⅱ）解：过O作Ox∥AB，以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz（如图）， 则A（0，﹣1，0），A1（0，0，∵且取z=1，得

=

=

，

．…（8分）

），…（6分）

=（x，y，z），

设P（1，m，0）m∈[﹣1，1]，平面A1AP的法向量为

=（1，m+1，0），

又A1O⊥平面ABCD，A1O⊂平面A1ADD1 ∴平面A1ADD1⊥平面ABCD．

又CD⊥AD，且平面A1ADD1∩平面ABCD=AD， ∴CD⊥平面A1ADD1． 不妨设平面A1ADD1的法向量为由题意得

=

=（1，0，0）．…（10分） =

，…（12分）

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解得m=1或m=﹣3（舍去）．

∴当BP的长为2时，二面角D﹣A1A﹣P的值为

．…（13分）

【点评】本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想．

23．【答案】

【解析】解：（1）证明：f′（x）=m（e﹣1）+2x．

mx

mxmx

若m≥0，则当x∈（﹣∞，0）时，e﹣1≤0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e﹣1≥0，f′（x）＞0．mxmx

若m＜0，则当x∈（﹣∞，0）时，e﹣1＞0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e﹣1＜0，f′（x）＞0．

所以，f（x）在（﹣∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．

（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在单调递减，在单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值． 所以对于任意x1，x2∈，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1的充要条件是

即

t

t

设函数g（t）=e﹣t﹣e+1，则g′（t）=e﹣1．

当t＜0时，g′（t）＜0；当t＞0时，g′（t）＞0．故g（t）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．

1

又g（1）=0，g（﹣1）=e﹣+2﹣e＜0，故当t∈时，g（t）≤0．

当m∈时，g（m）≤0，g（﹣m）≤0，即合式成立；

当m＞1时，由g（t）的单调性，g（m）＞0，即e﹣m＞e﹣1．

m

m

当m＜﹣1时，g（﹣m）＞0，即e﹣+m＞e﹣1．

综上，m的取值范围是

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24．【答案】

22

【解析】解：（1）圆C的直角坐标方程为（x﹣2）+y=2，

222

代入圆C得：（ρcosθ﹣2）+ρsinθ=2

2

化简得圆C的极坐标方程：ρ﹣4ρcosθ+2=0…

由（2）由

得x+y=1，∴l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1…

得点P的直角坐标为P（0，1），

∴直线l的参数的标准方程可写成…

代入圆C得：化简得：∴∴

，

，∴t1＜0，t2＜0…

…

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