八年级（上）《等腰三角形》提高训练
班级：________________姓名：_______________________
一、选择题（共10小题）
1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（ ） A．15° ° C．20° °
第1题第2题
2．如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（ ） A．44° B．66° C．88° D．92° 3．如图，已知∠AOB=40°，在∠AOB的两边OA、OB上分别存在点Q、点P，过点Q作直线QR∥OB，当OP=QP时，∠PQR的度数是（ ） A．60° B．80° C．100° D．120°
第3题第4题
4．如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（ ） A．50° B．51° ° °
5．如图，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4…，若∠A=70°，则∠An﹣1AnBn﹣1的度数为（ ） A．
B．
C．
D．
第5题第6题
6．如图所示，在等边三角形ABC中，O是三个内角平分线的交点，OD∥AB，OE∥AC，则图中等腰三角形的个数是（ ） A．7 B．6 C．5 D．4 7．如图，在△ABC、△ADE中，C、D两点分别在AE、AB上，BC、DE交于点F，若BD=DC=CE，∠ADC+∠ACD=114°，则∠DFC为（ ） A．114° B．123° C．132° D．147°
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第7题第8题第9题
8．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB=3，AD=1，则△AED的周长为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．如图，△ABC中，BA=BC，BD是三角形的角平分线，DE∥BC交AB于E，下列结论：①∠1=∠3；②DE=AB；③S△ADE=S△ABC．正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．如图，△PBC的面积为10cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△ABC的面积为（ ） A．10cm2 B．12cm2 C．16cm2 D．20cm2
第10题 第12题
二、填空题（共10小题）
11．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为 ．
12．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若FG=2，ED=6，则EB+DC= ．
13．如图，在△ABC中，BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，DE过点I，且DE∥BC．BD=8cm，CE=5cm，则DE等于 ．
第13题第14题
14．如图，△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过O作EF∥BC交AB、AC于E、F，若△ABC的周长比△AEF的周长大12cm，O到AB的距离为3cm，△OBC的面积 cm2． 15．有一三角形纸片ABC，∠A=80°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是 ．
第15题第16题
16．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒，当t为 时，△ACP是等腰三角形．
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17．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC．给出下列结论：①∠BAD=∠C；②AE=AF；③∠EBC=∠C；④FG∥AC；⑤EF=FG．其中正确的结论是 ．
第17题第18题
18．如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）当点M、N运动 秒时，M、N两点重合；
（2）当点M、N运动 秒后，M、N与△ABC中的某个顶点可得到等腰三角形．
19．如图，在△ABC中，AC=BC＞AB，点P为△ABC所在平面内一点，且点P与△ABC的任意两个顶点构成的△PAB，△PBC，△PAC均为等腰三角形，则满足上述条件的所有点P有 个．（请在图形中表示点P的位置）
第19题第20题
20．如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点．若△AEM构成等腰三角形，则BE的长为 ．
三、解答题（共10小题）
21．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数．
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第21题
22．如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB=AC，AD∥BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD．
（1）求证：①AB=AD；②CD平分∠ACE．
（2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明．
第22题
23．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=50°，点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=50°，DE交线段AC于E． （1）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
（2）若DC=2，求证：△ABD≌△DCE．
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第23题
24．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，DE∥AC交AB于E，过E作EF⊥AD，垂足为H，并交BC延长线于F． （1）求证：AE=ED；
（2）Q请猜想∠B与∠CAF的大小关系，并证明你的结论．
第24题
25．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E，EH⊥AB，垂足是H．在AB上取一点M，使BM=2DE，连接ME．求证：ME⊥BC．
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第25题
26．如图，BD和CD分别平分△ABC的内角∠EBA和外角∠ECA，BD交AC于F，连接AD． （1）求证：∠BDC=∠BAC；
（2）若AB=AC，请判断△ABD的形状，并证明你的结论； （3）在（2）的条件下，若AF=BF，求∠EBA的大小．
第26题
27．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．（如图1所示）
（1）请你在图2中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数； （2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值．
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第27题
28．如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M． （1）求证：△ABQ≌△CAP；
（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说理由；若不变，求出它的度数．
（3）如图2，若点P、Q在分别运动到点B和点C后，继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC= 度．（直接填写度数）
第28题
29．如图，已知△ABC中，AB=AC=12cm，BC=10cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段AC 上由点A向C点以4cm/s的速度运动．
（1）若点P、Q两点分别从B、A 两点同时出发，经过2秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； （2）若点P、Q两点分别从B、A 两点同时出发，△CPQ的周长为18cm，问：经过几秒后，△CPQ是等腰三角形？
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第29题
30．如图1，C是线段BE上一点，以BC、CE为边分别在BE的同侧作等边△ABC和等边△DCE，连结AE、BD． （1）求证：BD=AE；
（2）如图2，若M、N分别是线段AE、BD上的点，且AM=BN，请判断△CMN的形状，并说明理由．
第30题
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八年级（上）《等腰三角形》提高训练
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题） 1．（2016•枣庄）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（ ）
A．15° ° C．20° °
【解答】解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，
∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∵∠ACE=∠A+∠ABC， 即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A， ∴2∠1=2∠3+∠A， ∵∠1=∠3+∠D，
∴∠D=∠A=×30°=15°．
故选A． 2．（2016•泰安）如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（ ）
A．44° B．66° C．88° D．92° 【解答】解：∵PA=PB， ∴∠A=∠B，
在△AMK和△BKN中，
，
∴△AMK≌△BKN，
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∴∠AMK=∠BKN，
∵∠MKB=∠MKN+∠NKB=∠A+∠AMK， ∴∠A=∠MKN=44°， ∴∠P=180°﹣∠A﹣∠B=92°， 故选：D． 3．（2016•聊城模拟）如图，已知∠AOB=40°，在∠AOB的两边OA、OB上分别存在点Q、点P，过点Q作直线QR∥OB，当OP=QP时，∠PQR的度数是（ ）
A．60° B．80° C．100° D．120° 【解答】解：∵QR∥OB，∠AOB=40°， ∴∠AQR=∠AOB=40°， ∵OP=QP，
∴∠PQO=∠AOB=40°，
∵∠AQR+∠PQO+∠PQR=180°， ∴∠PQR=180°﹣2∠AQR=100°． 故选C 4．（2016•滨州）如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（ ）
A．50° B．51° ° °
【解答】解：∵AC=CD=BD=BE，∠A=50°， ∴∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED， ∵∠B+∠DCB=∠CDA=50°， ∴∠B=25°，
∵∠B+∠EDB+∠DEB=180°， ∴∠BDE=∠BED=（180°﹣25°°，
∴∠CDE=180°﹣∠CDA﹣∠EDB=180°﹣50°﹣°°， 故选D． 5．（2016•六盘水）如图，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4…，若∠A=70°，则∠An﹣1AnBn﹣1的度数为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵在△ABA1中，∠A=70°，AB=A1B， ∴∠BA1A=70°，
∵A1A2=A1B1，∠BA1A是△A1A2B1的外角， ∴∠B1A2A1=同理可得，
∠B2A3A2°，∠B3A4A3=×°=∴∠An﹣1AnBn﹣1=故选：C．
．
，
=35°；
6．（2016春•蓝田县期末）如图所示，在等边三角形ABC中，O是三个内角平分线的交点，OD∥AB，OE∥AC，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【解答】解：①∵△ABC为等边三角形， ∴AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形；
②∵BO，CO，AO分别是三个角的角平分线，
∴∠ABO=∠CBO=∠BAO=∠CAO=∠ACO=∠BCO， ∴AO=BO，AO=CO，BO=CO， ∴△AOB为等腰三角形； ③△AOC为等腰三角形； ④△BOC为等腰三角形； ⑤∵OD∥AB，OE∥AC，
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∴∠B=∠ODE，∠C=∠OED， ∵∠B=∠C，
∴∠ODE=∠OED，
∴△DOE为等腰三角形； ⑥∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠BOD=∠ABO，∠COE=∠ACO， ∵∠DBO=∠ABO，∠ECO=∠ACO， ∴∠BOD=∠DBO，∠COE=∠ECO， ∴△BOD为等腰三角形； ⑦△COE为等腰三角形． 故答案是：7个．
7．（2016•慈溪市一模）如图，在△ABC、△ADE中，C、D两点分别在AE、AB上，BC、DE交于点F，若BD=DC=CE，∠ADC+∠ACD=114°，则∠DFC为（ ）
A．114° B．123° C．132° D．147° 【解答】解：∵BD=CD=CE， ∴∠B=∠DCB，∠E=∠CDE， ∵∠ADC+∠ACD=114°， ∴∠BDC+∠ECD=360°﹣114°=246°， ∴∠B+∠DCB+∠E+∠CDE=360°﹣246°=114°， ∴∠DCB+∠CDE=57°， ∴∠DFC=180°﹣57°=123°， 故选B． 8．（2016•阿坝州）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB=3，AD=1，则△AED的周长为（ ）
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A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD， ∵ED∥BC，
∴∠CBD=∠BDE， ∴∠ABD=∠BDE， ∴BE=DE，
△AED的周长=AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD， ∵AB=3，AD=1，
∴△AED的周长=3+1=4． 故选C． 9．（2016•海曙区一模）如图，△ABC中，BA=BC，BD是三角形的角平分线，DE∥BC交AB于E，下列结论：①∠1=∠3；②DE=AB；③S△ADE=S△ABC．正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解答】解：∵BA=BC，BD平分∠ABC， ∴∠1=∠2，BD⊥AC，且AD=CD， ∵DE∥BC，
∴∠2=∠3，△ADE∽△ACB， ∴∠1=∠3，故①正确； =
=
=，即DE=BC，故②正确；
由△ADE∽△ACB，且=可得=（）2=，
即S△ADE=S△ABC，故③正确；
故选：D． 10．（2016秋•江阴市期中）如图，△PBC的面积为10cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△ABC的面积为（ ）
A．10cm2
C．16cm2 D．20cm2
【解答】解：如图，延长AP交BC于点Q， ∵AP垂直∠ABC的平分线BP于P， ∴AP=QP，
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B．12cm2
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∴S△ABP=S△BQP，S△APC=S△PQC， ∴S△ABC=2S阴影=20cm2， 故选D．
二．填空题（共10小题） 11．（2016•通辽）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为 69°或21° ．
【解答】解：分两种情况讨论： ①若∠A＜90°，如图1所示： ∵BD⊥AC，
∴∠A+∠ABD=90°， ∵∠ABD=48°， ∴∠A=90°﹣48°=42°， ∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=（180°﹣42°）=69°； ②若∠A＞90°，如图2所示： 同①可得：∠DAB=90°﹣48°=42°， ∴∠BAC=180°﹣42°=138°， ∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=（180°﹣138°）=21°； 综上所述：等腰三角形底角的度数为69°或21°． 故答案为：69°或21°．
12．（2016秋•玉环县期中）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若FG=2，ED=6，则EB+DC= 8 ．
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【解答】解：∵ED∥BC，
∴∠EGB=∠GBC，∠DFC=∠FCB， ∵∠GBC=∠GBE，∠FCB=∠FCD， ∴∠EGB=∠EBG，∠DCF=∠DFC， ∴BE=EG，CD=DF， ∵FG=2，ED=6，
∴EB+CD=EG+DF=EF+FG+FG+DG=ED+FG=8， 故答案为8．
13．（2016秋•雁塔区校级月考）如图，在△ABC中，BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，DE过点I，且DE∥BC．BD=8cm，CE=5cm，则DE等于 3cm ．
【解答】解：∵BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF， ∴∠ABI=∠CBI，∠ECI=∠ICF， ∵DE∥BC，
∴∠DIB=∠CBI，∠EIC=∠ICF， ∴∠ABI=∠DIB，∠ECI=∠EIC， ∴DI=BD=8cm，EI=CE=5cm， ∴DE=DI﹣EI=3（cm）． 故答案为：3cm． 14．（2016秋•东湖区月考）如图，△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过O作EF∥BC交AB、AC于E、F，若△ABC的周长比△AEF的周长大12cm，O到AB的距离为3cm，△OBC的面积 18 cm2．
【解答】解：∵∠B与∠C的平分线交于点O，
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∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB， ∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB， ∴∠EOB=∠EBO，∠FCO=∠FOC， ∴OE=BE，OF=FC， ∴EF=BE+CF，
∴AE+EF+AF=AB+AC，
∵△ABC的周长比△AEF的周长大12cm， ∴（AC+BC+AC）﹣（AE+EF+AF）=12， ∴BC=12cm，
∵O到AB的距离为3cm， ∴△OBC的面积是
cm×3cm=18cm2．，
故答案为：18．
15．（2016•江西模拟）有一三角形纸片ABC，∠A=80°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是 25°或40°或10° ．
【解答】解：由题意知△ABD与△DBC均为等腰三角形， 对于△ABD可能有①AB=BD，此时∠ADB=∠A=80°， ∴∠BDC=180°﹣∠ADB=180°﹣80°=100°， ∠C=（180°﹣100°）=40°，
②AB=AD，此时∠ADB=（180°﹣∠A）=（180°﹣80°）=50°， ∴∠BDC=180°﹣∠ADB=180°﹣50°=130°， ∠C=（180°﹣130°）=25°，
③AD=BD，此时，∠ADB=180°﹣2×80°=20°， ∴∠BDC=180°﹣∠ADB=180°﹣20°=160°， ∠C=（180°﹣160°）=10°，
综上所述，∠C度数可以为25°或40°或10°． 故答案为：25°或40°或10°． 16．（2016•河南模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒，当t为 3，6或6.5或5.4 时，△ACP是等腰三角形．
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【解答】解：由题意可得，
第一种情况：当AC=CP时，△ACP是等腰三角形，如右图1所示， ∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动， ∴CP=6cm， ∴t=6÷2=3秒；
第二种情况：当CP=PA时，△ACP是等腰三角形，如右图2所示， ∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，
∴AB=10cm，∠PAC=∠PCA， ∴∠PCB=∠PBC， ∴PA=PC=PB=5cm， ∴t=（CB+BP）÷2=（8+5）÷2=6.5秒；
第三种情况：当AC=AP时，△ACP是等腰三角形，如右图3所示， ∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动， ∴AP=6cm，AB=10cm， ∴t=（CB+BA﹣AP）÷2=（8+10﹣6）÷2=6秒；
第四种情况：当AC=CP时，△ACP是等腰三角形，如右图4所示， 作CD⊥AB于点D，
∵∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，tan∠A=∴
，AB=10cm，
=
，
设CD=4a，则AD=3a， ∴（4a）2+（3a）2=62， 解得，a=， ∴AD=3a=
，
∴AP=2AD=7.2cm， ∴t=
=5.4s，
故答案为：3，6或6.5或5.4．
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17．（2015春•重庆校级期中）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC．给出下列结论：①∠BAD=∠C；②AE=AF；③∠EBC=∠C；④FG∥AC；⑤EF=FG．其中正确的结论是 ①②④ ．
【解答】解：①连接EG． ∵∠BAC=90°，AD⊥BC． ∴∠C+∠ABC=90°，∠C+∠DAC=90°，∠ABC+∠BAD=90°． ∴∠ABC=∠DAC，∠BAD=∠C，故①正确； ②∵BE、AG分别是∠ABC、∠DAC的平分线． ∴∠ABF=∠EBD．
∵∠AFE=∠FAB+∠FBA，∠AEB=∠C+∠EBD， ∴∠AFE=∠AEF， ∴AF=AE，故②正确；
③如果∠EBC=∠C，则∠C=∠ABC，
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∵∠BAC=90° 那么∠C=30°，但∠C≠30°，故③错误； ④∵AG是∠DAC的平分线， ∴AN⊥BE，FN=EN， 在△ABN与△GBN中，∵∴△ABN≌△GBN， ∴AN=GN，
∴四边形AFGE是平行四边形， ∴GF∥AE，
即GF∥AC．故④正确； ⑤∵AE=AF，AE=FG， 而△AEF不是等边三角形， ∴EF≠AE，
∴EF≠FG，故⑤错误． 故答案为：①②④．
18．（2015秋•江阴市校级期中）如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）当点M、N运动 12 秒时，M、N两点重合；
（2）当点M、N运动 4，8，16 秒后，M、N与△ABC中的某个顶点可得到等腰三角形．
【解答】解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合， x×1+12=2x， 解得：x=12，
故当点M、N运动12秒时，M、N两点重合； 故答案为：12；
（2）①当M在AC上，N在AB上时， 有AM=AN，△AMN为等边三角形， 符合题意，即t=12﹣2t， 解得t=4；
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②当M、N均在AC上时，
有BM=BN，△BMN为等腰三角形， 符合题意，则CM=AN， 即12﹣t=2t﹣12， 解得t=8；
③当M、N均在BC上时，N点已经追过M点， 有AM=AN，△AMN为等腰三角形， 符合题意，则CM=BN， 即t﹣12=36﹣2t， 解得t=16．
故答案为4，8，16． 19．（2014春•海盐县校级期末）如图，在△ABC中，AC=BC＞AB，点P为△ABC所在平面内一点，且点P与△ABC的任意两个顶点构成的△PAB，△PBC，△PAC均为等腰三角形，则满足上述条件的所有点P有 6 个．（请在图形中表示点P的位置）
【解答】解：如图所示，作AB的垂直平分线，①△ABC的外心P1为满足条件的一个点， ②以点C为圆心，以AC长为半径画圆，P2、P3为满足条件的点， ③分别以点A、B为圆心，以AC长为半径画圆，P4为满足条件的点， ④分别以点A、B为圆心，以AB长为半径画圆，P5、P6为满足条件的点， 综上所述，满足条件的所有点P的个数为6． 故答案为：6．
20．（2014•河南模拟）如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF
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与△ABC重合在一起，△ABC不动，点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点．若△AEM构成等腰三角形，则BE的长为 1或
．
【解答】解：∵AB=AC， ∴∠B=∠C，
∵△ABC≌△DEF， ∴∠AEF=∠B，
∴∠AEF=∠B=∠C， ∵∠AME＞∠C， ∴∠AME＞∠AEF， ∴AE≠AM；
当AE=EM时，则△ABE≌△ECM， ∴CE=AB=5，
∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1，
当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA， ∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM， 即∠CAB=∠CEA， 又∵∠C=∠C，
∴△CAE∽△CBA， ∴
=
， ==． ， ；
∴CE=∴BE=6﹣∴BE=1或
三．解答题（共10小题） 21．（2016秋•淮安期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，
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且BE=CF，BD=CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数．
【解答】证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， 在△DBE和△CEF中
，
∴△DBE≌△CEF， ∴DE=EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△DBE≌△CEF， ∴∠1=∠3，∠2=∠4， ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠B=（180°﹣40°）=70° ∴∠1+∠2=110° ∴∠3+∠2=110° ∴∠DEF=70°
22．（2016秋•宁城县期末）如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB=AC，AD∥BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD． （1）求证：①AB=AD；②CD平分∠ACE．
（2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明．
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【解答】解：（1）①∵AD∥BE， ∴∠ADB=∠DBC， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC， ∴∠ABD=∠ADB， ∴AB=AD； ②∵AD∥BE， ∴∠ADC=∠DCE， 由①知AB=AD， 又∵AB=AC， ∴AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC， ∴∠ACD=∠DCE， ∴CD平分∠ACE；
（2）∠BDC=∠BAC，
∵BD、CD分别平分∠ABE，∠ACE， ∴∠DBC=∠ABC，∠DCE=∠ACE， ∵∠BDC+∠DBC=∠DCE， ∴∠BDC+∠ABC=∠ACE， ∵∠BAC+∠ABC=∠ACE，
∴∠BDC+∠ABC=∠ABC+∠BAC， ∴∠BDC=∠BAC．
23．（2016秋•义乌市期末）如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=50°，点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=50°，DE交线段AC于E． （1）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
（2）若DC=2，求证：△ABD≌△DCE．
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【解答】解：（1）∵∠B=∠C=50°，∠ADE=50°， ∴∠BDA+∠EDC=∠CED+∠EDC=130°， ∴∠BDA=∠CED，
∵点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合）， ∴AD≠AE，
ⅰ）如图所示，当EA=ED时，∠EAD=∠ADE=50°，
∴∠BDA=∠CED=50°+50°=100°；
ⅱ）如图所示，当DA=DE时，∠EAD=∠AED=65°，
∴∠BDA=∠CED=65°+50°=115°；
（2）由（1）可得∠BDA=∠CED， 又∵∠B=∠C=50°，AB=DC=2， ∴在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS）． 24．（2016秋•黄埔区期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，DE∥AC交AB于E，过E作EF⊥AD，垂足为H，并交BC延长线于F． （1）求证：AE=ED；
（2）Q请猜想∠B与∠CAF的大小关系，并证明你的结论．
【解答】证明：（1）∵DE∥AC，
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∴∠EDA=∠DAC， ∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD=∠DAC，
∴∠EAD=∠EDA∴AE=ED；
（2）∵AE=ED，EF⊥AD，AD平分∠BAC， ∴EF是AD的垂直平分线， ∴FA=FD，
∴∠FAD=∠FDA， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD，
∵∠FDA=∠B+∠BAD，∠FAD=∠FAC+∠CAD， ∴∠B=∠CA． 25．（2015春•威海期末）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E，EH⊥AB，垂足是H．在AB上取一点M，使BM=2DE，连接ME．求证：ME⊥BC．
【解答】解：∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠B=∠C=45°， ∵EH⊥AB于H，
∴△BEH是等腰直角三角形， ∴HE=BH，∠BEH=45°，
∵AE平分∠BAD，AD⊥BC， ∴DE=HE， ∴DE=BH=HE， ∵BM=2DE， ∴HE=HM，
∴△HEM是等腰直角三角形， ∴∠MEH=45°， ∴∠BEM=45°+45°=90°， ∴ME⊥BC． 26．（2015秋•宜城市期末）如图，BD和CD分别平分△ABC的内角∠EBA和外角∠ECA，BD交AC于F，连接AD． （1）求证：∠BDC=∠BAC；
（2）若AB=AC，请判断△ABD的形状，并证明你的结论； （3）在（2）的条件下，若AF=BF，求∠EBA的大小．
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【解答】解：（1）∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，BD交AC于F， ∴∠BDC+∠ABC=∠ACE，∠BAC+∠ABC=∠ACE， ∴∠BDC+∠ABC=∠BAC+∠ABC， ∴∠BDC=∠BAC．
（2）△ABD为等腰三角形，证明如下：
作DM⊥BG于M，DN⊥AC于N，DH⊥BE于H ∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA， ∴DM=DH，DN=DH， ∴DM=DN，
∴AD平分∠CAG，即∠GAD=∠CAD， ∵∠GAD+∠CAD+∠BAC=180°，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°， ∴∠GAD+∠CAD=∠ABC+∠ACB， ∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB， ∴∠GAD=∠ABC， ∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC， 又∵∠ABD=∠DBC， ∴∠ABD=∠ADB， ∴AB=AD，
∴△ABD为等腰三角形；
（3）∵AF=BF，
∴∠BAF=∠ABF=∠ABC，
∵∠BAF+∠ABC+∠ACB=180°，∠ABC=∠ACB， ∴∠ABC=180°， ∴∠ABC=72°．
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27．（2015秋•台州期中）定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．（如图1所示） （1）请你在图2中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数； （2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值．
【解答】解：（1）如图2作图，
（2）如图3 ①、②作△ABC．
①当AD=AE时， ∵2x+x=30+30， ∴x=20．
②当AD=DE时， ∵30+30+2x+x=180， ∴x=40．
所以∠C的度数是20°或40°． 28．（2016秋•盂县期末）如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），
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点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M． （1）求证：△ABQ≌△CAP；
（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说理由；若不变，求出它的度数．
（3）如图2，若点P、Q在分别运动到点B和点C后，继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC= 120 度．（直接填写度数）
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形 ∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA， 又∵点P、Q运动速度相同， ∴AP=BQ，
在△ABQ与△CAP中，
，
∴△ABQ≌△CAP（SAS）；
（2）解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变． 理由：∵△ABQ≌△CAP， ∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠ACP+∠MAC，
∴∠QMC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°；
（3）解：∵△ABQ≌△CAP， ∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠BAQ+∠APM， ∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°﹣∠PAC=180°﹣60°=120°． 故答案为：120°． 29．（2016秋•天津期末）如图，已知△ABC中，AB=AC=12cm，BC=10cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段AC 上由点A向C点以4cm/s的速度运动．
（1）若点P、Q两点分别从B、A 两点同时出发，经过2秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； （2）若点P、Q两点分别从B、A 两点同时出发，△CPQ的周长为18cm，问：经过几秒后，△CPQ是等腰三角形？
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【解答】解：（1），△BPD与△CQP是全等．理由如下： 当P，Q两点分别从B，A两点同时出发运动2秒时 有BP=2×2=4cm，AQ=4×2=8cm 则CP=BC﹣BP=10﹣4=6cm CQ=AC﹣AQ=12﹣8=4cm ∵D是AB的中点 ∴BD=AB=×12=6cm
∴BP=CQ，BD=CP 又∵△ABC中，AB=AC ∴∠B=∠C 在△BPD和△CQP中 BP=CQ ∠B=∠C BD=CP
∴△BPD≌△CQP（SAS）
（2）设当P，Q两点同时出发运动t秒时， 有BP=2t，AQ=4t
∴t的取值范围为0＜t≤3 则CP=10﹣2t，CQ=12﹣4t ∵△CPQ的周长为18cm，
∴PQ=18﹣（10﹣2t）﹣（ 12﹣4t）=6t﹣4
要使△CPQ是等腰三角形，则可分为三种情况讨论： ①当CP=CQ时，则有10﹣2t=12﹣4t 解得：t=1 …（9分）
②当PQ=PC时，则有6t﹣4=10﹣2t 解得：t=…（10分）
③当QP=QC时，则有6t﹣4=12﹣4t 解得：t=…（11分） 三种情况均符合t的取值范围．
综上所述，经过1秒或秒或秒时，△CPQ是等腰三角形
30．（2016秋•顺庆区期末）如图1，C是线段BE上一点，以BC、CE为边分别在BE的同侧作等边△ABC和等边△DCE，连结AE、BD． （1）求证：BD=AE；
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（2）如图2，若M、N分别是线段AE、BD上的点，且AM=BN，请判断△CMN的形状，并说明理由．
【解答】证明：（1）∵△ABC、△DCE均是等边三角形， ∴AC=BC，DC=DE，∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD， 即∠BCD=∠ACE， 在△DCB和△ACE中，
，
∴△DCB≌△ACE（SAS）， ∴BD=AE；
（2）△CMN为等边三角形，理由如下： 由（1）可知：△ACE≌△DCB，
∴∠CAE=∠CDB，即∠CAM=∠CBN， ∵AC=BC，AM=BN， 在△ACM和△BCN中，
，
∴△ACM≌△BCN（SAS）， ∴CM=CN，∠ACM=∠BCN， ∵∠ACB=60°即∠BCN+∠ACN=60°， ∴∠ACM+∠ACN=60°即∠MCN=60°， ∴△CMN为等边三角形．
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