2012年北京市西城区高三一模文科数学含答案纯word版

北京市西城区2012年高三一模文科数学试卷

2012.4

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知集合A{x|x1}，B{x|x24}，那么AB（ ） （A）(2,2) （B）(1,2)

（C）(1,2)

（D）(1,4)

2．执行如图所示的程序框图，若输入x3，则输出y的 值为（ ） （A）5 （B）7 （C）15 （D）31

3．若alog123，blog32，clog43，则下列结论正确的是（ ） （A）acb （B）cab （C）bca （D）cba

4．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是

OA，OB，则复数z1z对应的点位于（ ）

2（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限

5．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm，其三视图 中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（ ） （A）43cm2 （B）23cm2

（C）8cm2

（D）4cm2

1

xy0,6．若实数x，y满足条件xy10, 则|x3y|的最大值为（ ）

0x1,（A）6 （B）5

（C）4

（D）3

7．设等比数列{an}的前n项和为Sn．则“a10”是“S3S2”的（ ） （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分又不必要条件

8．已知集合A{x|xa0a12a222a323}，其中ak{0,1}(k0,1,2,3)，且

a30.则A中所有元素之和是（ ）

（A）120 （B）112

（C）92

（D）84

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.

9. 已知向量a(1,2)，b(,2).若ab,a90，则实数_____.

10. 某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒

与18秒之间．将测试结果分成5组：[13,14)，[14,15)， [15,16)，[16,17)，[17,18]，得到如图所示的频率分

布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为

1:3:7:6:3，那么成绩在[16,18]的学生人数是_____．

11. 函数ysin2x3cos2x的最小正周期为_____．

12. 圆x2y24x30的圆心到直线x3y0的距离是_____.

1 已知函数f(x)x213.,0x9,x,2x0. 则f(x)的零点是_____；f(x)的值域是_____．

x2

2

14. 如图，已知抛物线y2x及两点A1(0,y1)和A2(0,y2)，其中y1y20.过A1，A2分别作

y轴的垂线，交抛物线于B1，B2两点，直线B1B2与y轴交于点A3(0,y3)，此时就称A1，

A2确定了A3.依此类推，可由A2，A3确定A4，.记An(0,yn)，n1,2,3,.

给出下列三个结论： ① 数列{yn}是递减数列； ② 对nN，yn0； ③ 若y14，y23，则y5*2. 3其中，所有正确结论的序号是_____．

三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）

在△ABC中，已知2sinBcosAsin(AC)． （Ⅰ）求角A；

（Ⅱ）若BC2，△ABC的面积是3，求AB．

16.（本小题满分13分）

某校高一年级开设研究性学习课程，（1）班和（2）班报名参加的人数分别是18和27．现用分层抽样的方法，从中抽取若干名学生组成研究性学习小组，已知从（2）班抽取了3名同学． （Ⅰ）求研究性学习小组的人数；

（Ⅱ）规划在研究性学习的中、后期各安排1次交流活动，每次随机抽取小组中1名同学发言．求2次发言的学生恰好来自不同班级的概率．

3

17．（本小题满分14分）

如图，矩形ABCD中，AB3，BC4．E，F分别在线段BC和AD上，EF∥AB，将矩形ABEF沿EF折起．记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF平面ECDF．

（Ⅰ）求证：NC∥平面MFD； （Ⅱ）若EC3，求证：NDFC； （Ⅲ）求四面体NFEC体积的最大值．

AFD

BEC

18.（本小题满分14分）

已知椭圆C:x2y26a2b21(ab0)的离心率为3，一个焦点为F(22,0)．

（Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设直线l:ykx52交椭圆C于A，B两点，若点A，B都在以点M(0,3)为圆心 的圆上，求k的值．

4

19.（本小题满分13分）

如图，抛物线yx29与x轴交于两点A,B，点C,D在抛物线上（点C在第一象限），CD∥AB．记

|CD|2x，梯形ABCD面积为S．

（Ⅰ）求面积S以x为自变量的函数式； （Ⅱ）若

20.（本小题满分13分）

对于数列A:a1,a2,a3(aiN,i1,2,3)，定义“T变换”：T将数列A变换成数列B:b1,b2,b3，其中，且b3|a3a1|.这种“T变换”记作BT(A).继续对数列B进行“T变换”，得到bi|aiai1|(i1,2)数列C:c1,c2,c3，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．

（Ⅰ）试问A:2,6,4经过不断的“T变换”能否结束？若能，请依次写出经过“T变换”得到的各数列；若不

能，说明理由；

（Ⅱ）设A:a1,a2,a3，BT(A)．若B:b,2,a(ab)，且B的各项之和为2012．

（ⅰ）求a，b；

（ⅱ）若数列B再经过k次“T变换”得到的数列各项之和最小，求k的最小值，并

说明理由．

|CD|k，其中k为常数，且0k1，求S的最大值． |AB|

5

北京市西城区2012年高三一模试卷

数学（文科）参考答案及评分标准

2012.4

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1. C； 2. D ； 3. D； 4. B； 5. A； 6. B； 7. C； 8. C .

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9. 9； 10. 54； 11. π； 12. 1； 13. 1和0，[14,3]； 14. ① ② ③. 注：13题第一问2分，第二问3分; 14题少选1个序号给2分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15.（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：由ABCπ，得sin(AC)sin(πB)sinB． „„„„„„3分

所以原式化为2sinBcosAsinB． „„„„„„4分 因为B(0,π)，所以 sinB0， 所以 cosA12． „„„„„„6分 因为A(0,π)， 所以 Aπ3． „„„„„„7分 （Ⅱ）解：由余弦定理，

得 BC2AB2AC22ABACcosAAB2AC2ABAC． „„„„„„9分 因为 BC2，

12ABACsinπ33， 所以 AB2AC28． „„„„„„11分

因为 ABAC4， 所以 AB2. „„„„„„13分

16.（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：设从（1）班抽取的人数为m，

依题意得

m18327，所以m2， 研究性学习小组的人数为m35． „„„„„„5分

（Ⅱ）设研究性学习小组中（1）班的2人为a1,a2，（2）班的3人为b1,b2,b3．

2次交流活动中，每次随机抽取1名同学发言的基本事件为：

(a1,a1)，(a1,a2)，(a1,b1)，(a1,b2)，(a1,b3)， (a2,a1)，(a2,a2)，(a2,b1)，(a2,b2)，(a2,b3)， (b1,a1)，(b1,a2)，(b1,b1)，(b1,b2)，(b1,b3)，

6

(b2,a1)，(b2,a2)，(b2,b1)，(b2,b2)，(b2,b3)，

(b3,a1)，(b3,a2)，(b3,b1)，(b3,b2)，(b3,b3)，共25种． „„„„„„9分

2次发言的学生恰好来自不同班级的基本事件为：

(a1,b1)，(a1,b2)，(a1,b3)，(a2,b1)，(a2,b2)，(a2,b3)，(b1,a1)，(b1,a2)，(b2,a1)，

(b2,a2)，(b3,a1)，(b3,a2)，共12种． „„„„„„12分

所以2次发言的学生恰好来自不同班级的概率为P1225． „„„„„„13分

17.（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：因为四边形MNEF，EFDC都是矩形， 所以 MN∥EF∥CD，MNEFCD． 所以 四边形MNCD是平行四边形，„„„„„2分 所以 NC∥MD， „„„„„„3分 因为 NC平面MFD，

所以 NC∥平面MFD． „„„„„„4分 （Ⅱ）证明：连接ED，设EDFCO．

因为平面MNEF平面ECDF，且NEEF，

所以 NE平面ECDF， „„„„„„5分

所以 FCNE． „„„„„„6分 又 ECCD， 所以四边形ECDF为正方形，所以 FCED． „„„„„„7分

所以 FC平面NED， „„„„„„8分 所以 NDFC． „„„„„„9分 （Ⅲ）解：设NEx，则EC4x，其中0x4．

由（Ⅰ）得NE平面FEC， 所以四面体NFEC的体积为VNFEC13S1EFCNE2x(4x)． „„„„„„11分 所以 V1NFEC2[x(4x)2]22． „„„„„„13分 当且仅当x4x，即x2时，四面体NFEC的体积最大． „„„„„„14分

18.（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为c，则c22． „„„„„„1分 由eca63， 得 a23， 从而b2a2c24． „„„„„„4分 7

x2y21． „„„„„„5分 所以，椭圆C的方程为

124（Ⅱ）解：设A(x1,y1),B(x2,y2)．

将直线l的方程代入椭圆C的方程，

消去y得 4(13k2)x260kx270． „„„„„„7分 由3600k216(13k2)270，得k

设线段AB的中点为D，则xD2315k，且x1x2． „„„„9分 1613k215k55ykx，． „„„„„10分由点A，B都在以点DD2226k226k(0,3)为圆心的圆上，得kMDk1， „„„„„„11分

3即

526k2k1， 解得 k22，符合题意． „„„„„„13分 15k926k22． „„„„„„14分 3所以 k

19.（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：依题意，点C的横坐标为x，点C的纵坐标为yCx29． „„„„„„1分

2点B的横坐标xB满足方程xB90，解得xB3，舍去xB3． „„„„„2分

11(|CD||AB|)yC(2x23)(x29)(x3)(x29)． „„„4分 22由点C在第一象限，得0x3．

所以S所以S关于x的函数式为 S(x3)(x29)，0x3． „„„„„„5分

0x3,（Ⅱ）解：由 x 及0k1，得0x3k． „„„„„„6分

k,3记f(x)(x3)(x9),0x3k，

22则f(x)3x6x93(x1)(x3)． „„„„„„8分 令f(x)0，得x1． „„„„„„9分 ① 若13k，即

1k1时，f(x)与f(x)的变化情况如下： 3x (0,1)

1

(1,3k)

8

f(x) 

0



f(x)

↗

极大值

↘

所以，当x1时，f(x)取得最大值，且最大值为f(1)32． „„„„„„11分 ② 若13k，即0k13时，f(x)0恒成立， 所以，f(x)的最大值为f(3k)27(1k)(1k2)． „„„„„„13分 综上，

13k1时，S的最大值为32；0k13时，S的最大值为27(1k)(1k2)．

20.（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：数列A:2,6,4不能结束，各数列依次为4,2,2；2,0,2；2,2,0；0,2,2；2,0,2；„．以下重复出现，所以不会出现所有项均为0的情形． „„„„„„3分 （Ⅱ）解：（ⅰ）因为B的各项之和为2012，且ab， 所以a为B的最大项，

所以|a1a3|最大，即a1a2a3，或a3a2a1． „„„„„„5分

ba1a2, 当a1a2a3时，可得2a2a3,

aa1a3. 由ab22012，得2(a1a3)2012，即a1006，故b1004．„„„„„7分

当a3a2a1时，同理可得 a1006，b1004． „„„„„„8分 （ⅱ）方法一：由B:b,2,b2，则B经过6次“T变换”得到的数列分别为：b2,b,2；b4,2,b6；b6,b8,2；2,b10,b8；b12,2,b10．

由此可见，经过6次“T变换”后得到的数列也是形如“b,2,b2”的数列，与数列B “结构”完全相同，但最大项减少12．

因为1006128310，

所以，数列B经过683498次“T变换”后得到的数列为8,2,10．

接下来经过“T变换”后得到的数列分别为：6,8,2；2,6,4；4,2,2；2,0,2；2,2,0；

0,2,2；2,0,2，„„

从以上分析可知，以后重复出现，所以数列各项和不会更小．

所以经过4984502次“T变换”得到的数列各项和最小，k的最小值为502． „„„„„„13分

2,b2,b4；

9

方法二：若一个数列有三项，且最小项为2，较大两项相差2，则称此数列与数列B “结 构相同”．

若数列B的三项为x2,x,2(x2)，则无论其顺序如何，经过“T变换”得到的数列的 三项为x,x2,2(不考虑顺序) ．

所以与B结构相同的数列经过“T变换”得到的数列也与B结构相同，除2外其余各项 减少2，各项和减少4．

因此，数列B:1004,2,1006经过502次“T变换”一定得到各项为2,0,2 (不考虑顺序) 的数列．

通过列举，不难发现各项为0,2,2的数列，无论顺序如何，经过“T变换”得到的数列会 重复出现，各项和不再减少．

所以，至少通过502次“T变换”，得到的数列各项和最小，故k的最小值为502． „„„„„„13分

10