计算方法数值积分与微分习题

1. 什么是数值积分？为什么需要数值积分？它有什么特点？

2. 数值积分有哪些主要的方法？试举三例，并简述其主要特点以及其代数精度。 3. 用梯形公式计算积分x2dx。

014. 用辛普森公式计算积分21xdx。

5. 分别用复合梯形公式和复合辛普森公式计算下面积分，并与传统积分方法的计算结果作

对比。其中n为等分区的数目，如果n为奇数，复合辛普森公式的前3个区间用3/8辛普森公式，其余用1/3复合辛普森公式。

a) b) c)

x04x2dx，(n10)

1101x2dx，(n9)

121exdx，(n8)

6. 分别用4次、6次牛顿－柯特斯公式计算以下积分并与精确值作比较。

21(7x64x31)dx

7. 选择合适的点，结合柯特斯系数表，利用5次牛顿－柯特斯公式求解下面积分。（注：

积分下限为0，上限为1）

x 0 0.1 0.2 0.4 0.6 0.65 0.8 0.9 1.0 f(x) 0.0000 0.0316 0.0894 0.2530 0.4648 0.5240 0.7155 0.8538 1.0000 8. 对于定积分sinxdx，用复合梯形公式、复合辛普森公式作数值积分，要求结果误差

01小于105，问等分区间数n应当取多少？

9. 分别用变步长梯形公式和变步长辛普森公式计算下面积分，要求误差小于10-4。

2arctanxdx a) 1xb) c)

31xdx

xsinxdx

4x2y210. 用两种不同的数值积分方法计算椭圆1的面积，并与传统公式sab的计算

49值进行比较。

1411. 有时候可以用dx来近似。请分别用分区数n=8的复合梯形公式、复合辛

01x2普森公式求的近似值，并比较各种公式的精度。

12. 尝试使用辛普森公式推导二重积分

x2x0y2y0f(x,y)dxdy的数值积分公式。

13. 什么是数值微分？为什么需要数值微分？

14. 简述差商法求微分和插值法求微分有什么异同。 15. 分别用前差、后差和中点公式求

f(x)ln(x)

在x2处的一阶导数，步长h取0.1，0.05，0.01，0.005，0.001。比较计算结果与精确值之间的差别。

16. 用三点插值微分公式求各点的一阶和二阶导数，函数f(x)由下表给出

xi f(xi) 1.0 0.2500 1.1 0.2268 1.2 0.2066