例谈数形结合思想在初中数学中的渗透性教学

例谈数形结合思想在初中数学中的渗透性教学

蒲结红 广州市第四十中学

摘 要：数形结合思想方法是初中数学中的一个重要的思想方法。笔者由课堂实践出发，从初中数学核心概念和数学原理的教学两方面入手，举例描述如何在初中数学课堂中进行数形结合思想的渗透性教学，达到提高教学的有效性的目的。 关键词：数形结合思想

一、数形结合思想方法概述

中学数学研究的对象是现实世界的数量关系(数)和空间形式(形)，数是数量关系的体现，而形则是空间形式的体现。“数”和“形”常依一定的条件相互联系，抽象的数量关系常有形象与直观的几何意义，而直观的图形性质也常用数量关系加以精确的描述。“数”和“形”是研究数学的两个侧面，利用数形结合能使“数”和“形”统一起来，可以使所要解决的问题化难为易，化繁为简，思维广阔。华罗庚教授对此有精辟概述:“数无形，少直观;形无数，难入微。”

二、在初中数学教学中渗透数形结合思想方法教学的必要性

1、在初中数学教学中进行数形结合思想方法的教学，有助于加深学生对数学问题本质的认识，有助于对具体数量关系和空间形式进行抽象与概括，拓展了人们思维的深度和广度，使数学思维更深刻，更具创造性。

2、在初中数学教学中进行数形结合思想方法的教学，有助于提高初中数学教学的有效性。数学教学中的重点，往往就是需要有意识运用和揭示数学思想方法之处，教学中的难点也需要运用数学思想方法来化解。通过数形结合思想的教学运用，尽可能地把知识内容先形象后抽象，通过“数”、“形”结合，有的放矢地帮助学生从多角度、多层次出发地思考问题，理解问题本质，从而提高教学的有效性。

三、在初中数学教学中渗透数学结合思想的若干途径

初中数学教材编排是以数学知识的发生、发展、运用为主，数学基本思想方法蕴含于其中，知识内容是显而易见的，但对于数学知识中所蕴含的数形结合思想，教材中并未明确指出。哪些重点知识要运用数形结合思想帮助理解、记忆，解哪些知识难点可用数形结合来化解，这些都需要老师要做个有心人，深入钻研教材。要从数学发展的全局着眼，从具体的教学过程着手，把数形结合思想的教学精心设计在教学的各个环节中。

下面，本人根据数学教学内容的分类，从数学核心概念的教学和数学原理的教学两个方面举例说说如何在数学教学中渗透数形结合思想的教学。

1、在核心概念的教学过程中渗透数形结合思想方法

概念学习是知识学习的最基本形式。中学数学中的每一个概念都经历着感性到理性的抽象概括过程。学生必须经历概念的形成，概念的理解、概念的应用三个阶段才能真正掌握概念，因此概念教学的过程是渗透数形结合思想方法的好时机和好途径。

（1）在概念的产生过程中体验 数轴是一种用“形”表示“数”、研究“数”的图形工具。数轴上的“点”就是“形”，对于每一个有理数，数轴上都有唯一确定的点与它对应。观察数轴上的点的特征，我们可以研究该点所表示的“数”的性质，以“形”学“数”。在初一初二年级，学生是通过数轴与有理

数和实数的教学，初步了解数形结合的方法。

<案例一>人教版本七年级上册的第一章《有理数》中的相反数”知识点教学 环节一、温旧知新:：复习数轴定义： 环节二、探究新知

师：观察数轴上点A、点B，它们表示的数分别是什么？（2和－2。）

师：观察图象，点A、B在数轴上的位置有什么特征？

生：它们分别在数轴原点的左边和右边的位置。距离原点都是两个单位长度。

师：请你们举出另外三对具有同样特征的点，并准确说出这些点所表示的数分别又是多少呢？

生：略。

师：我们观察这一对对特别的数，它们又有什么共同的性质特征呢？ 学生小结：它们每对数，象5和－5，只有符号不相同。

师：象5和－5，只有符号不相同，这样的数叫做互为相反数。 „„

这个问题情景的设置目的是通过观察数轴上表示互为相反数的点的位置特点，结合“数”和“形”的特征进行“相反数“概念的学习。教师没有单一的直接摆出“相反数”的定义，而是创设问题串，尤其是“表示互为相反数的点在数轴上的位置特征”的描述性设问。这样的课堂实施能有效地引导学生通过观察“形”的特征去思考、探求其对应的“数” 的本质。其效果是显著的，设计目的是深远的：既让学生在思维活动中深刻的理解了相反数概念的几何意义，也让学生初步体验到数形结合思想方法：从 “形”的角度来学习“数”的性质。这样，在概念的引入环节中完成了对数形结合思想的渗透性教学。 （2）在概念的理解过程中强化

利用数形结合去揭示概念的本质，既能使学生完整地理解概念，又能进一步强化数形结合思想。

<案例二>人教版本八年级上册第十四章《一次》中的“函数”定义知识点教学 环节一：复习变量的定义

环节二：对课本上几个存在函数关系的实际情景问题进行小组讨论、分析，要求学生根据问题情景写出变量之间的关系式。在引导学生分析过程中，教师主动使用映射图表表示每个情景中自变量和因变量具体值的变化情况，并用方向箭头重点标识出对应关系：一个x的确定值与一个y值对应。如下图所示。

环节三：引导学生根据上一环节得出的几个关系式，结合每个问题情景中具体的映射图表，总结、归纳出函数的概念，包括自变量和因变量的定义。

环节四：针对函数概念的学习，进行课堂练习（包括给出几个关系式和相关的曲线判断是否存在函数关系）

„„

函数，对于初中阶段的学生，是个很抽象的概念。学生要真正理解，难度比较大，尤其在理解函数关系中“x的每个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应”这一一对应关系上。教师在教学中创新的使用了数形结合思想的图形工具——映射图表：在黑板中着重排列出几个问题情景的映射图，引导学生进行对比、归纳。映射图表工具的使用，使函数的本质特征直观化、表征化。学生对这一函数的性质特征乃至对函数概念的本质有了共性、深刻的理解。这样的处理，令教学难点迎刃而解，也令学生再次感受到“以形助数”的优越性。这样，在概念的理解过程中利用数形结合思想的工具完成了对数形结合思想的渗透性教学。

（3）在概念的应用过程中深化

学生真正意义上的获取概念，应该是能正确运用概念作出判断和推理，并能解决有关问题。然而学生往往会把概念倒背如流，但真正应用时却无从下手，这时教师就应该抓住时机点拨思路，着重揭示“数形结合”思想的应用。这样学生既掌握了概念的应用，又加深了数形结合的应用意识。

<案例三>人教版本七年级上册的第一章《有理数》中的“绝对值”复习课 环节一：复习“绝对值”定义 环节二、巩固新知，出示例题： （重庆市）如果a，b两数在数轴上的对应点，如图所示：化简：|a+b|+|a-b|=＿＿＿＿＿

师：很多学生在做这道题目时，都会有不知从何下手的感觉。对吧？ 生：嗯。我想直接去掉那个绝对值符号。但好像又不能直接去掉。 师：去掉绝对值符号，要保证这个式子的值要不变哦。大家想想。

生：我不知道绝对值符号里面的那两个式子“a+b”和“ a-b”是正数还是负数，题目又没有直接给出。那怎么能去掉绝对值符号啊？

师：那有没有留意到题目给出了一个图，图上表示出这两个数的点在数轴上的位置呢？ 生：有留意啊。表示数a的点在原点的左边，表示数b的点在原点的右边，这只能告诉我数a是负数，数b是正数，这我懂啊，可这有用吗？

师：很好，你能观察到数a、b的正负了，那除了这个之外，你能看出这两个点与原点的远近关系如何？

生：表示数a的点离原点近些，表示数b的点离原点远些。

师：那想问问你们了，表示数的点与原点的距离的大小是我们这一章学习到的什么概念？ 生：哦，记起来了，是绝对值。

师：嗯。对了。我们在学习绝对值时，是这样说的，“数轴上表示数a的点与原点的距离就是数a的绝对值”。那根据这个定义，我们看见表示数a的点离原点近些，表示数b的点离原点远些，那可以得出它们两个数的绝对值的大小关系是？

生：∣a∣<｜b｜

师：很好，我们从数轴上的点的位置特征就得出了两个关于数a、b的关系式：

a <0，b>0，∣a∣<｜b｜。接下来，我们就一起根据这两个关系式，尝试把题目中的式子进行化简吧。（板书解题过程：）

解：由a，b在数轴上的位置可知：a <0，b>0，∣a∣<｜b｜ ∴ a + b＞0 ， a – b ＜0 ，

∴｜a+b｜+｜a－b｜＝（a＋b）－（a－b）＝2b

师：最后，让我们一起来总结下。我们在一开始为什么觉得不知从何入手？那是因为我们没有从数轴上表示数的点的位置特征中得出足够的有用信息。为什么不会化简绝对值符号？其根本原因是大家在学习“绝对值”定义时只记住了化简法则，对其本质没有理解透。绝对值概念是通过数轴上相应的点与原点的位置特征来得出的，其本质是从“位置特征”到“绝对值”。而这道题的解题思想：通过观察数轴上表示数的点的位置特征，得出该点对应的数的特征，就是“数形结合思想方法”。我们以后在学习数学知识、解决数学问题会经常使用。

这样，在概念的应用过程中通过教师的提问点拨、小结环节完成了对数形结合思想的渗透性教学。

2、在数学原理的教学过程中渗透数形结合思想方法

数学原理的学习，主要是公式、法则、定理的学习。其中，公式的理解和定理的应用是数学原理教学的重点所在。

（1）在数学公式的教学过程中，运用数形结合思想，促进学生理解数学原理本质的同时，让学生体会“数”、“形”结合。

<案例四>：完全平方公式的纠错教学片段

案例背景：学生在学习完全平方公式后，都会不约而同的出现这个常见的错误：(ab)2a2b2；(ab)2a2b2。

这种错误的发生，不能单单以为是学生没有很好的理解公式的本质，其部分原因是出自一种惯性，人的心理潜意识。他的潜意识是希望“平方运算是可以随意的移进或移出括号”。这样意识的结果虽然很美，却是错误的。那老师应该如何纠正学生这个“美丽的误会”呢？笔者就在课堂上使用了以下方法：

师：老师发现，同学们经常在运用完全平方公式时出现了这样

222222(ab)ab(ab)ab的错误：；，那老师今天就从另外一

个角度来告诉同学们应该怎样去理解这个公式。观察右图，给出了四个四边形的边长，你能得出它们与最大的正方形之间的面积关系吗？

生：可以，两个矩形加两个正方形的面积就等于最大的正方形的面积。

师：很好，那请同学们列出相应的关系式。

222(ab)ababab生：

222(ab)a2abb师：嗯。很好，那老师把这个式子右边的各项整理下，得到了这个：，

它们好眼熟哦。

生：是啊，好像我们刚学到的完全平方公式。

师：对哦，那我们再利用这个图形分析下，假如我们在运用这个公式时出现了刚才提到的

222(ab)ab错误：，那会怎样啊？

生：那就是漏算了图形中两个矩形的面积。

师：嗯。很好。出现漏算的话，是不能使等式两边成立的。以后假若同学们再出现这样的错误做法时，不妨回忆下这个图形，提醒自己不用再“漏算”了两个矩形的面积。

„„

教师安排在这个教学难点的解决上使用图形的面积解释法，直观、易懂，很自然的引起了学生的认知冲突，令人自觉接受。同时，也让学生对公式的本质有另一个层面——“形”的理解。这样对公式几何意义的押后处理达到了较好的教学效果，出现得很必要而不突兀，体现“数”

“形”结合的相得益彰。这样，在解决定理教学难点的过程完成了对数形结合思想的渗透性教学。

（2）在定理应用问题的教学过程中渗透数学结合思想方法。 <案例五>勾股定理的作图题教学片段

案例背景：进入勾股定理的应用教学后，有一作图例题：“在数轴上作出表示无理数13的点”。相信很多老师也有体会：大部分学生是能够掌握如何在数轴上作出表示形如2、13等无理数的点，但当出现形如3、7时，他们就不知道如何构造出一个适当的直角三角形。这种状况出现的根本原因是教师在首次教学中没能把握好内含的数学思想——数形结合思想：“数”是指能构造出直角三角形的三边的长度，“形”是构造出来的直角三角形。解答题目的关键是以“数”造“形”。笔者在教学中作此点拨：

师：我们知道要在数轴上表示出无理数的点，那就要构造出一个含有已知无理数的直角三角形。现在我们来一起解决“13”： 1349，那还可以等于哪两个正整数相加减呢？

生：13112，13310，13163，等等。

222222222132313(3)(10)134(3)师：嗯。很好，那就变形为，，等等。那

你会挑哪个算式中的数来构造直角三角形？

生：第一个。 师：为什么？

生： 因为由第一个算式可以知道，只需要构造一个直角边为2，3的直角三角形就可以得出长为13的边了。这样是最简单的，2和3都是正整数。

师：哦，很不错哦。那下面我们就模仿上面的算式演变来解决“5”吧。 生：532，541，561，583„„

222222222532521583师：哦。那相应的就有：，，„„

那你们打算挑选哪个算式中的数来构造直角三角形呢？ 生：第一个。第二个都可以。

师：哦。都会挑选最简单的数了。那根据第一个算式，怎样构造出直角三角形呢？ 生：斜边为3，直角边为2的直角三角形。

师：好。目标明确了。那就在数轴上画出这个直角三角形咯„„

只要老师在课堂教学中把这种从“形”到“数”的表现形式逐步呈现出来，让学生去思考、探索，他们是会选择最好最简单的算式来构造直角三角形。这样的教学操作，学生能清楚地明白到为什么要这样构造直角三角形，同时也学会如何根据无理数值选择适当的算式构造直角三角形。这样的处理，学生在理解问题的盲点从本质上得到了解决。同时，也让学生在学习、探究过程中体会到“”数“形”结合思想方法在解答问题中的妙用。这样，在解决定理教学难点的过程完成了对数形结合思想的渗透性教学。

数形结合，是“使抽象思维和形象思维相互作用，实现数量关系与图形性质的相互转化，将抽象的数量关系和直观的图形结合起来研究数学问题的一种数学思想方法”。在实际教学中，不能仅仅把它看成是解题的一种手段，需要把数形结合思想方法的教学落实到确定目标、钻研教材、准备教学方案、实施教学过程、小结等各个环节中，在数学知识的教学过程中合理布点、由浅入深，有计划性、系统性、有序性、层次性，使数形结合思想方法的教学成为一种有意识的教学活动。

参考文献：

[1]《数学课程标准》（实验稿） 北京师范大学出版社 [2]《新课程下我们怎样当老师》 华语教学出版社 [3]《什么是有效教学》 华南师范大学教科院 刘良华