一元一次方程的知识点和主要题型汇总.

01、一元一次方程的概念

1、等式：①定义：用

表示

关系的式子叫做等式。）

C、2x3x2②下列各组中是等式的是（ A、x7 2、方程

①定义：含有

B、23

1 xD、2a1b的等式叫做方程

）

C、2(x3)x

2②下列各组中是方程的是（ A、x7

B、2(3)6

D、

x11333、一元一次方程

①定义：整理后，只含有

未知数，并且未知数的次数是

）

C、2(x3)10

D、

的方程，叫做一

元一次方程。②下列各组中是一元一次方程的是（ A、xy7

B、2x96

213③下列各组中是一元一次方程的是（ ）x223 A、 B、2(3x1)6x0 x1 C、2(x3)1y ④已知关于x的方程(k2)xk1D、x(xx)32253k是一元一次方程，则k=（ ）

A、±2 B、 2 C、 －2 D、 ±1⑤已知(m4)x(m2)x60是关于x的一元一次方程，则m=

2202、方程的解

①定义：使方程左右两边的值 知数的方程的解又称为方程的根。

②若x1是方程ax3x2的解，则a的值是（ ）

的未知数的值叫做方程的解，只含有

未

A、－1 B、 5 C、1 D、－5③下列方程中根是y2的是（ A、y20

）

C、2(y2)0

D、2y20B、2y48

）

④以下判断正确的是（

A、x1 是方程2x13的解 C、t1是方程

B、y2是方程

1y13y2的解 2t10的解 3D、x4 是方程53x2(1x)的解

03、等式的性质

①等式的性质

等式两边加（或减）同一个数（或式子）结果仍相等。等式两边乘同一个数，或除以同一个 ②已知等式ax=ay,下列变形不正确的是（ ）.A、x=y

B、ax+1= ay+1 C、ay=ax

D、3-ax=3-ay的数，结果仍相等。

③列说法正确的是（ ）

A、等式两边都加上一个数或一个整式，所得结果仍是等式；B、等式两边都乘以一个数，所得结果仍是等式；C、等式两边都除以同一个数，所以结果仍是等式；

D、一个等式的左、右两边分别与另一个等式的左、右两边分别相加，所得结果仍是等式；

④在等式abac两边都除以a ,可得bc。这句话对吗？说出你的理由？

_________________________________________________________________⑤在等式ab两边都除以c1，可得

2ab。这句话对吗？说出你的理由。c21c21_________________________________________________________

04、移项

①定义：把等式一边的某项

后移到另一边，叫做移项。

②通常常数项要移到方程的右边，未知项要移到方程的左边。③移项时要变号：移正变

，移负变

。

④下列一项正确的是（ ）

B、若2x83x，则3x2x8 D、若3x152x，则3x2x51A、若2x13，则 x31 C、若2x32，则 2x32

05、系数化为1

①一元一次方程的最简形式：

axb，

②定义：当把方程化为最简形式axb后，方程两边都除以未知数的系数 得到方程的解

的过程叫做系数化为1.

③系数化为1时，未知数的系数做分母。④下列系数化为步骤正确的是（ A、由4x2，得到 x2 C、由

）

B、由3x5，得到 x2 D、由0.5x2，得到 x4

1x2，得到 x1 206、去分母

去分母时要注意三点：①确定各分母的最小公倍数； ②不含分母的项也要乘以最小公倍数；③去掉分母后对分子加括号。④解方程 23x12x1时，去分母，得( )22A、43x12x1 B、23x12x1C、23x12x1 D、43x12x1⑤方程23x7x17去分母得( )45　　A、2-5(3x-7)=-4(x+17) B、40-15x-35=-4x-68　　C、40-5(3x-7)=-4x+68 D、40-5(3x-7)=-4(x+17)⑥李明同学在解方程

2x1xa1去分母时，方程右边的－1没有乘3，因而求得方33程的解为x2，试求a的值，并正确地解方程。

07、分母由小数化为整数

x2x13的分母化为整数，方程变为 。0.20.5x0.170.2x1中的分母化为整数正确的是（ ②把）0.70.03x172x10x172x1 B、1　　　A、737310x1720x10x1720x10 D、1C、7373①将方程

③下列方程的解答过程是否有错误？若有错误，简要说明产生错误的原因，并改正.

x30.4x12.50.20.510x304x10解：原方程可化为：2525解方程：

去分母，得 5(10x30)2(4x10)250去括号、移项、合并同类项，得 42x420

∴x1008、一元一次方程的解法

1、解一元一次方程的一般步骤为：

①去分母, ②去括号, ③移项, ④合并同类项, ⑤ 系数化为1 特别说明：去分母前，应把分母化为整数2、解下列方程

①3（x-2）=2-5(x-2)

②

31x0.4x0.342③

1m33m1 24④

x1x330.20.01⑤[x1212(x1)](x1) 23⑥

x2x130.20.5⑦

43x(1)32x3322

⑧关于x的方程

xaax31的解是x1，对于同样的a，求另一个关于x的方46程

xaax31的解。6409、绝对值方程

①定义：方程中的未知数在绝对值内的方程叫做绝对值方程

②若x15，则x15或 ，解之得x=6或 ③若x1 =3 ，则x1 或　x1 ，解之得x＝ 。

④解方程：3x12x510、比例问题

1、建模：①设未知数的方法：已知各个量之间的比例时，按比例设未知数

②相等关系：各分量之和等于总数量

2、已知三个数的比是5:7:9，若这三个数的和是252，则设这三个数依次是__ ____，可列方程为 。

11、分配问题

1、建模：

①分A给B，设B表示A

②A的数量=需要量+剩余量=需要量-缺少量

③相等关系：第一种分法中表示的A的数量=第二种分法中表示的A的数量

2、某校七年级近期实行小班教学，若每间教室安排20名学生，则恰好缺少3间教室；若每间教室安排24名学生，则恰好空出1教室。问这所学校为七年级学生安排了多少间教室？

（提醒： 恰好缺少3间教室意思是剩余3×20名学生；

恰好空出1教室意思是缺少1×24名学生）

12、人员调配问题

1、建模： 设未知数的方法

①内部调配：甲队多x人，乙队就少x人

②外部支援a人：甲队增派x人，则乙队就增派（a－x）人相等关系：调配后的要求

2、甲队劳动的有43人，在乙处劳动的有22人，现要赶工期，总公司另调28人去支援，使甲处的人数为乙处的两倍，应分别调多少人往两处？

13、资源配套问题

1、建模：设未知数的方法

a个人分工生产A、B两种零件，设安排x人生产A零件，则安排(a-x)人生产B零件相等关系： A零件的总数：B零件的总数= 一套产品中A与B的比

2、一张方桌由一张桌面和4条桌腿组成，1立方米木料可制作桌面50个或桌腿300条，现有5立方米木料，问分别用多少木料制作桌面和桌腿，正好配成方桌多少张

14、数字问题

1、基础知识

①一个三位数可以表示为：百位上的数字×100+十位上的数字×10+个位上的数字②若x表示一个一位数，y表示一个两位数，则把x放在y的左边组成的三位数表示为：100x+y, 把x放在y的右边组成的三位数表示为：10y+ x。2、设未知数的方法：设某位数字为x,表示其他数位上的数字。

3、一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为13，交换这两个数字的位置所得新数比原来两位数大45，求这个两位数。 解：设这个两位数的十位上的数字为x,则个位上的数字为 为

。

，可列方程为 ，这个两位数表示为

，新两位数表示

15、工程问题

1、基础知识：

①甲单独完成某件工作的时间为a,则甲的工作效率为②工作量=工作效率×工作时间

2、设未知数的方法：设余下的工作需要x完成。（设时间）

3、相等关系：甲的工作量＋乙的工作量=总工作量（一般都看做单位1）

4、完成某项工程，甲单独做要20天，乙单独做需要15天，乙单独做5天后，两队合作，问合作几天后可以完成全部工程？解：设合作x天后可以完成全部工程一项工程，甲完成的工作量为 ，乙完成的工作量为 ， 可列方程为： 。

1a16、销售问题

1、基本知识

①商品打x折出售：是按标价的

x出售。②商品利润=商品售价－商品成本价。10③商品的利润率=

商品利润100%。④商品的销售额=商品销售价×商品销售量。

商品成本价⑤商品的销售利润=（销售价－成本价）×销售量。

2、相等关系：销售价=定价×打折-让利=成本×（1+利润率）

3、某服装店出售一种优惠卡，花200元买这种卡后，可凭卡在这家商店按8折购物。小芳购卡后买了一件原价1200元的西装，小敏购卡后买了一件原价500元的毛衣。则小芳买卡购物

划算，则小芳买卡购物

划算，在购买超过

元情况下买卡

购物才划算。

17、方案选择问题

建模：

1、弄清两种方案收费表达式

2、求出消费多少时，两种方案收费一样（找出临界点）

3、得出在什么消费范围时方案一合算，在什么消费范围时方案二合算。练习：下表中有两种移动电话计费方式。

月租

方式一方式二

考虑下列问题。

（1）设一个月内用移动电话主叫t 分钟（t是正整数）。根据上表，列表说明:当t在不同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费。主叫时间t（分钟）

方式一计费（元）

方式二计费（元）

省钱方案

5888

主叫限定时间（分）主叫超时费（元／分）150350

0.250.19

被叫免费免费

t﹤150t=150150﹤t﹤350t=270t=350t﹥350

5858

58+0.25（t-150）58+0.25（270-150）

=88

58+0.25（t-150）=10858+0.25（t-150）

8888888888

88+0.19（t-350）

18、相遇问题

1、基础知识

时间路程速度，速度路程时间，路程速度时间2、相遇问题的相等关系是：甲的行程+乙的行程=甲乙出发前相距的总路程

3、小王从家门口的公交车站去火车站。如果坐公交车，他将会在火车开车后半小时到达车

站；如果坐出租车，可以在火车开车前15分到达火车站。已知公交车的速度是45千米／时。出租车的速度是公交车的2倍，问小王的家到火车站有多远？解法一：设出租车到火车站要x小时，则公交车到火车站要

列方程：

解法二:设小王的家到火车站的路程是xkm，根据时间等于路程÷速度，得他坐公交车到火车站要

小时，坐出租车到火车站要

小时，根据出租车到火车站所用的

小时。

时间比公交车要少__ ______小时，可列方程：___________ _ ______。

19、追及问题

①时间路程速度，速度路程时间，路程速度时间②追及问题的相等关系是：后面的行程=前面的行程＋甲乙出发前相距的路程

3、甲、乙两人相距100m，甲在前面以10m/s的速度匀速运动，乙在后面以12m/s的速度匀速运动，试问乙经多长时间追上甲？解：设乙经x秒追上甲，则甲的行程为 乙的行程为

，可列方程：___________ _ ______。

20、航行问题

1、速度关系：①v顺=v静＋v水 ②v逆=v静－v水 ③v顺-v逆=2v水2、相等关系：顺流路程=逆流路程

3、一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用

了

2.5小时。已知水流的速度是3千米/时，求船在静水中的平均速度。解：船在静水中的平均速度为x千米/时，则顺流速度为

千米/时，逆流速度为

千米/时。

可列方程为 。

21、一元一次方程的根的情况

1、关于方程 axb根的的讨论①当a0时，方程有唯一解 ③当a0,且b0时，方程无解2、关于x的方程(m2)xn3①当

时，方程有唯一解； ②若m2，且-3，则方程

。

②当a0,且b0时，方程有无数解

③使方程(m2)xn3有无数个解的条件是