一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑．每小题3分，共42分）
1．（3分）实数|﹣5|，﹣3，0，√4中，最小的数是（ ） A．|﹣5|
B．﹣3
C．0
D．√4
2．（3分）2020年6月23日9时43分，我国成功发射了北斗系统第55颗导航卫星，其授时精度为世界之最，不超过秒．数据“”用科学记数法表示为（ ） A．99×10
﹣10
B．×10
﹣10
C．×109
﹣D．×108
﹣
3．（3分）下列图形绕某一点旋转一定角度都能与原图形重合，其中旋转角度最小的是（ ）
A．等边三角形 B．平行四边形
C．正八边形 D．圆及其一条弦
4．（3分）学校朗诵比赛，共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数据特征是（ ） A．平均数
B．中位数
C．众数
D．方差
5．（3分）下列计算正确的是（ ） A．a2a3＝a5
B．3√2−2√2=1
C．（2）3＝5
D．m5÷m3＝m2
6．（3分）不等式组{𝑥+2＞0的解集在数轴上表示正确的是（ ）
−2𝑥+4≥0A．
B．
C．
D．
7．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C'，则四边形ABC'A'的面积是（ ）
A．15
B．18
C．20
D．22
8．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是（ ）
A．2
B．3
1C．4 D．5
9．（3分）估计（2√3+3√2）×√3的值应在（ ） A．4和5之间
B．5和6之间
C．6和7之间
D．7和8之间
10．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O．若OA＝3，则△ABC外接圆的面积为（ ）
A．3π
B．4π
C．6π
D．9π
11．（3分）如图，⊙A经过平面直角坐标系的原点O，交轴于点B（﹣4，0），交y轴于点C（0，3），点D为第二象限内圆上一点．则∠CDO的正弦值是（ ）
A． 53
B．−4
3
C． 4
3
D． 5
4
12．（3分）某几何体的三视图及相关数据（单位：cm）如图所示，则该几何体的侧面积是（ ）
A．
652
πcm2 B．60πcm2
6
C．65πcm2 D．130πcm2
2
13．（3分）如图，点B在反比例函数y=𝑥（＞0）的图象上，点C在反比例函数y=−𝑥（＞0）的图象上，且BC∥y轴，AC⊥BC，垂足为点C，交y轴于点A．则△ABC的面积为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
14．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2．动点
𝑚2−1𝑚−1−2÷，其中m满足：m2﹣m﹣1＝0．
𝑚𝑚+2𝑚+1
20．（10分）小琪同学和爸爸妈妈一起回老家给奶奶过生日，他们为奶奶准备了一个如图所示的正方形蛋糕，蛋糕的每条边上均匀镶嵌着4颗巧克力．爸爸要求小琪只切两刀把蛋糕平均分成4份，使每个人分得的蛋糕和巧克力数都相等．
（1）请你在图1中画出一种分法（无需尺规作图）；
（2）如图2，小琪同学过正方形的中心切了一刀，请你用尺规作图帮她作出第2刀所在的直线．（不写作法，保留作图痕迹）
21．（12分）如图1，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面，并分别标有1，2，3，4四个数字；如图2，等边三角形ABC的三个顶点处各有一个圆圈．丫丫和甲甲想玩跳圈游戏，游戏的规则为：游戏者从圈A起跳，每投掷一次骰子，骰子着地的一面点数是几，就沿着三角形的边逆时针方向连续跳跃几个边长．如：若第一次掷得点数为2，就逆时针连续跳2个边长，落到圈C；若第二次掷得点数为4，就从圈C继续逆时针连续跳4个边长，落到圈A．
（1）丫丫随机掷一次骰子，她跳跃后落回到圈A的概率为 ；
（2）丫丫和甲甲一起玩跳图游戏：丫丫随机投掷一次骰子，甲甲随机投掷两次骰子，都以最终落回到圈A为胜者．这个游戏规则公平吗请说明理由．
22．（12分）甲、乙两支工程队修建二级公路，已知甲队每天修路的长度是乙队的2倍，如果两队各自修建公路500m，甲队比乙队少用5天．
（1）求甲，乙两支工程队每天各修路多少米
（2）我市计划修建长度为3600m的二级公路，因工程需要，须由甲、乙两支工程队来完成．若甲队每天所需费用为万元，乙队每天所需费用为万元，求在总费用不超过40万元的情况下，至少安排乙队施工多少天
23．（12分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，点=3
4
2
=−𝑎=𝑎，
𝑏𝑐
y1），B（m1，y2），C（m3，y3）三个点均在反比例函数y=𝑥的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值．
25．（14分）如图，已知二次函数y＝a2bc（a≠0）的图象与轴交于A（1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，直线y=−2经过B，C两点．
（1）直接写出二次函数的解析式 ；
（2）平移直线BC，当直线BC与抛物线有唯一公共点Q时，求此时点Q的坐标；
（3）过（2）中的点Q作QE∥y轴，交轴于点E．若点M是抛物线上一个动点，点N是轴上一个动点，是否存在以E，M，N三点为顶点的直角三角形（其中M为直角顶点）与△BOC相似如果存在，请直接写出满足条件的点M的个数和其中一个符合条件的点M的坐标；如果不存在，请说明理由．
1
2
26
．
（
14
分
）
如
图
，
矩
形
ABCD
中
，
点
√3𝑃𝐸
𝐷𝑃
√4==3==
360°360°
===√2−√2=√25÷m3＝m2，正确． 28
360°
故选：D．
6．【解答】解：解不等式2＞0，得：＞﹣2， 解不等式﹣24≥0，得：≤2， 则不等式组的解集为﹣2＜≤2， 故选：C．
7．【解答】解：∵把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C'，
∴A′B′＝AB＝5，A′C′＝AC＝3，∠A′C′B′＝∠ACB＝90°，A′A＝CC′＝3， ∴B′C′=√52−32=4，AC∥A′C′，
∴四边形ACC′A′是矩形，
∴四边形ABC'A'的面积=（AA′BC′）•AC=故选：A．
8．【解答】解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∵BC＝14， ∴DE=2BC＝7， ∵∠AFB＝90°，AB＝8， ∴DF=2AB＝4，
∴EF＝DE﹣DF＝7﹣4＝3， 故选：B．
9．【解答】解：原式＝2+√6， ∵2＜√6＜3， ∴4＜2+√6＜5， 故选：A．
10．【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线， ∴BD＝CD，AD⊥BC， ∵EF是AC的垂直平分线， ∴点O是△ABC外接圆的圆心， ∵OA＝3，
∴△ABC外接圆的面积为9π． 故选：D．
11．【解答】解：连接BC，如图， ∵B（﹣4，0），C（0，3）， ∴OB＝4，OC＝3， ∴BC=√32+42=5， ∴sin∠OBC=𝐵𝐶=5， ∵∠ODC＝∠OBC， ∴sin∠CDO＝sin∠OBC=． 故选：A．
3
5𝑂𝐶
3
11
121
×（343）×3＝15， 2
12．【解答】解：观察图形可知： 圆锥母线长为：√52+122=13，
所以圆锥侧面积为：πrl＝5×13×π＝65π（cm2）． 答：该几何体的侧面积是65πcm2． 故选：C．
13．【解答】解：过B点作BH⊥y轴于H点，BC交轴于D，如图， ∵BC∥y轴，AC⊥BC，
∴四边形ACDO和四边形ODBH都是矩形， ∴S矩形OACD＝|﹣2|＝2， S矩形ODBH＝|6|＝6， ∴S矩形ACBD＝26＝8，
∴△ABC的面积=2S矩形ACBD＝4． 故选：B．
1
14．【解答】解：当0≤≤2时，如图1，过点Q作QH⊥AB于H，
由题意可得B=𝐴𝑄=2=2×2=−4+4
√3
√3
𝐻𝑄√31√3√3√3
=𝐶𝑄=2=2=2×2=
1
𝑁𝑄√3√31√3
2
3×=333+3=333＝m1，最后代入求值便可． √√√√√√√√20192019432222222
111111
【解答】解：原式＝m−＝m−𝑚+1 =
𝑚2
， 𝑚+1𝑚
(𝑚+1)(𝑚−1)(𝑚+1)
2⋅
𝑚
𝑚−1∵m2﹣m﹣1＝0， ∴m2＝m1， ∴原式=
𝑚+1
=1． 𝑚+120．【分析】（1）作正方形的对角线即可．
（2）连接AC交直线EF于O，过点O作直线c⊥EF即可． 【解答】解：（1）如图，直线a，直线b即为所求． （2）如图，直线c即为所求．
21．【分析】（1）直接利用概率公式计算；
（2）画树状图展示所有16种等可能的结果，找出甲甲随机投掷两次骰子，最终落回到圈A的结果数，则可计算出甲甲随机投掷两次骰子，最终落回到圈A的概率，然后通过比较她们回到圈A的概率的大小可判断游戏是否公平．
【解答】解：（1）丫丫随机掷一次骰子，她跳跃后落回到圈A的概率=4； （2）这个游戏规则不公平． 理由如下： 画树状图为：
1
共有16种等可能的结果，其中甲甲随机投掷两次骰子，最终落回到圈A的结果数为5， 所以甲甲随机投掷两次骰子，最终落回到圈A的概率=16， 因为＜41
516
5
，
所以这个游戏规则不公平．
22．【分析】（1）设乙工程队每天修路米，则甲工程队每天修路2米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合两队各自修建公路500m时甲队比乙队少用5天，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设安排乙工程队施工m天，则安排甲工程队施工（36﹣）天，根据总费用不超过40万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设乙工程队每天修路米，则甲工程队每天修路2米， 依题意，得：
500𝑥
−
5002𝑥
=5，
解得：＝50，
经检验，＝50是原方程的解，且符合题意， ∴2＝100．
答：甲工程队每天修路100米，乙工程队每天修路50米． （2）设安排乙工程队施工m天，则安排甲工程队施工依题意，得：（36﹣）≤40， 解得：m≥32．
答：至少安排乙工程队施工32天．
3600−50𝑚
100
=（36﹣）天，
23．【分析】（1）连接=2
1
=2=𝐴𝐻=3=3×=2𝑥+𝑥=−𝑐𝑥=−𝑐表
123
12
13
15
1𝑃𝐻221311𝑏1𝑏
示出y1，y2，y3，进而表示出它们的倒数，再根据“和谐三数组”分三种情况，建立方程求解即可得出结论． 【解答】解：（1）根据题意得，能构成“和谐三数组”的实数有，，，； 理由：的倒数为2，的倒数为3，的倒数为5，而23＝5，
2
3
5
1
1
1
∴，，能过程“和谐三数组”，
2
3
5
111
故答案为：如∴，，；
2
3
5
111
（2）证明：∵1，2是关于的方程a2bc＝0（a，b，c均不为0）的两根， ∴12=−，1•2=， ∴
1𝑥1
𝑏𝑎𝑐𝑎+
1𝑥2𝑐
=
𝑥1+𝑥2𝑥1𝑥2
=−，
𝑐
𝑏
∵3是关于的方程bc＝0（b，c均不为0）的解， ∴3=−𝑏， ∴∴
1𝑥31𝑥1
=−，
𝑐
𝑏
+
1𝑥2
=
1𝑥3
，
∴1，2，3可以构成“和谐三数组”；
（3）A（m，y1），B（m1，y2），C（m3，y3）三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”， ∵A（m，y1），B（m1，y2），C（m3，y3）三个点均在反比例函数y=的图象上， ∴y1=∴
1𝑦1
444
，y2=，y3=， 𝑚𝑚+1𝑚+3𝑚4
4
𝑥=，1
𝑦2
=
𝑚+14
，
1𝑦3
=
𝑚+34
，
∵A（m，y1），B（m1，y2），C（m3，y3）三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”， ∴①∴
𝑚41𝑦1
+
1𝑦2
==
1𝑦3
， ，
+
𝑚+14
𝑚+34
∴m＝2， ②∴
1𝑦24
+
1𝑦3
=
1𝑦1
，
𝑚4
𝑚+1
+
𝑚+34
=，
∴m＝﹣4， ③∴
1𝑦34
+
1𝑦1
=
1𝑦2
，
，
𝑚+3
+
𝑚4
=
𝑚+14
∴m＝﹣2，
即满足条件的实数m的值为2或﹣4或﹣2．
25．【分析】（1）先求出点C坐标，利用待定系数法可求解析式； （2）先求出直线BC平移后的解析式，联立方程组可求解； （3）分两种情况，构造出两三角形相似，得出
1
𝐸𝐻𝑀𝐻
=
𝑂𝐵𝑂𝐶
或𝐸𝐻
𝑀𝐻
=
𝑂𝐶𝑂𝐵
，进而建立绝对值方程求解即可得出结论．
【解答】解：（1）∵直线y=−22经过B，C两点． ∴点C（0，2），
∵二次函数y＝a2bc（a≠0）的图象经过A（1，0），B（4，0），点C（0，2）， 0=𝑎+𝑏+𝑐
∴{0=16𝑎+4𝑏+𝑐， 𝑐=2 𝑎=2解得：5，
𝑏=−2{𝑐=2
∴抛物线解析式为y=22−22， 故答案为：y=22−22；
（2）∵B（4，0），点C（0，2）， ∴直线BC解析式为：y=−2， ∴设平移后的解析式为：y=−22m， ∵平移后直线BC与抛物线有唯一公共点Q ∴2−22=−22m， 2
∴△＝4﹣4×2×（﹣m）＝0， ∴m＝﹣2，
∴设平移后的解析式为：y=−2， 𝑦=−𝑥
2联立方程组得：{， 152𝑦=𝑥−𝑥+2
221
1
1
1
5
1
11
21
51
5
1
𝑥=2∴{， 𝑦=−1∴点Q（2，﹣1）；
（3）设点M的坐标为（m，m2−2m2），
21
5
∵以E，M，N三点为顶点的直角三角形（其中M为直角顶点）与△BOC相似， ∴①当△MEN∽△OBC时， ∴∠MEN＝∠OBC， 过点M作MH⊥轴于H， ∴∠EHM＝90°＝∠BOC， ∴△EHM∽△BOC， ∴
𝐸𝐻𝑀𝐻
=
𝑂𝐵𝑂𝐶12
，
5
∴MH＝|m2−2m2|，EH＝|m﹣2|， ∵OB＝4，OC＝2．
∴12|𝑚−2|
52|𝑚2−𝑚+2|=2，
∴m＝3±√3或m＝2±√2， 当m＝3+√3时，m2−m2=
21
52√3+12，
∴M（3+√3，
√3+1）， 212
5
1−√3， 2当m＝3−√3时，m2−2m2=∴M（3−√3，
1−√3）， 21
5
当m＝2+√2时，m2−2m2=−2，
2∴M（2+√2，−2）， 当m＝2−√2时，m2−m2=
21
5
2√2√2√22，
∴M（2−√2，
√2）， 2
②当△NEM∽△OBC时， 同①的方法得，12
|𝑚−2|
52
|𝑚2−𝑚+2|
=，
2
1
∴m=当m=
9±√331±√17或m=， 221259+√33时，m−2m2＝5+√33， 229+√33，5+√33）， 2
19−√335
时，m2−m2＝5−√33， 2229−√33，5−√33）， 2
1251+√17时，m−2m2＝3−√17， 221+√172
∴M（当m=∴M（当m=∴M（当m=∴M（
，3−√17），
11−√175
时，m2−m2＝3+√17， 2221−√172
，3+√17），
1−√3√3+1√2）或（3−√3，）或（2+√2，−2）或（2−√2，22
即满足条件的点M共有8个，其点的坐标为（3+√3，9+√339−√331+√171−√17√2）或（，5+√33）或（，5−√33）或（，3−√17）或（，3+√17）． 22222
26．【分析】（1）①利用等角的余角相等证明即可．
②证明∠CAB＝30°，推出∠，利用勾股定理求出∴NM⊥CD，
⊥AB，
∵DD＝∠∠D∠E＝∠E=𝐴𝐵=3𝑃𝐷==3𝑃𝐸=√3
1𝑡𝑎𝑛30°
𝐵𝐶√3𝑃𝐸√3𝑃𝐷
𝐷𝑃𝑃𝐸
=
=
√3＝，MN＝4﹣，
∵∠＝∠E
𝐷𝑀𝑃𝑁
=
𝑃𝑀𝐸𝑁
=
𝑃𝐷𝑃𝐸
=
，EN=√34−𝑥=𝐸𝑁=√3=√3（4﹣）
𝐷𝑀𝑥
√33，
∴PD=√𝐷𝑀2+𝑃𝑀2=√[√3(4−𝑥)]2+𝑥2=2√𝑥2−6𝑥+12， PE=3PD=3•√𝑥2−6𝑥+12，
∴y＝PD•PE=3（2﹣612）=32﹣8√316√3（＞0）， ∵y=3（﹣3）24√3， ∵
4√3＞0， 3
4√34√34√3√32√3∴当＝3时，y有最小值，最小值为4√3．
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