高中数列知识点总结与讲解含习题

高中数列知识点总结

1. 等差数列的定义与性质

定义：an1and（d为常数），ana1n1d 等差中项：x，A，y成等差数列2Axy 前n项和：Sna1annna2nn1d 12性质： （1）若mnpq，则amanapaq；（2）an为等差数列

Snan2bn（a，b为常数，是关于n的常数项为0的二次函数）

2. 等比数列的定义与性质

an1q（q为常数，q0）定义：，ana1qn1. an等比中项：x、G、y成等比数列G2xy，或Gxy.

na1(q1)前n项和：Sna11qn（要注意公比q）

(q1)1q·anap·aq 性质：an是等比数列（1）若mnpq，则am

3．求数列通项公式的常用方法

一、公式法

例1 已知数列{an}满足an12an32n，a12，求数列{an}的通项公式。

二、累加法 anan1f(n)

例2 已知数列{an}满足an1an2n1，a11，求数列{an}的通项公式。

例3已知数列{an}满足an13an23n1，a13，求数列{an}的通项公式。

anf(n) 三、累乘法 an1例4 已知数列{an}满足an12(n1)5nan，a13，求数列{an}的通项公式。

例5 （2004年全国I第15题，原题是填空题）已知数列{an}满足

a11，ana12a23a3L(n1)an1(n2)，求{an}的通项公式。

四、待定系数法（重点）

例6 已知数列{an}满足an12an35n，a16，求数列an的通项公式。

例7 已知数列{an}满足an13an52n4，a11，求数列{an}的通项公式。

例8 已知数列{an}满足an12an3n24n5，a11，求数列{an}的通项公式。

五、对数变换法

5例9 已知数列{an}满足an123nan，a17，求数列{an}的通项公式。

六、换元法

例12 已知数列{an}满足an1公式。

4. 求数列前n项和的常用方法

一、公式法

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.

n(a1an)n(n1)1、 等差数列求和公式：Snna1d

221(14an124an)，a11，求数列{an}的通项16(q1)na12、等比数列求和公式：Sna1(1qn)a1anq

(q1)1q1qn113、 Snkn(n1) 4、Snk2n(n1)(2n1)

26k1k1n15、 Snk3[n(n1)]2

2k1n

[例1]求xx2x3xn的前n项和.

[例2] 设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求f(n)

二、错位相减法（等差乘等比）

[例3] 求和：Sn13x5x27x3(2n1)xn1

Sn的最大值.

(n32)Sn12462n[例4] 求数列,2,3,,n,前n项的和.

2222

三、倒序相加法

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1an).

012n3Cn5Cn(2n1)Cn(n1)2n [例5] 求证：Cn

[例6] 求sin21sin22sin23sin288sin289的值

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

111[例7] 求数列的前n项和：11,4,27,,n13n2，…

aaa

[例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.

、五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

sin1tan(n1)tann （1）anf(n1)f(n) （2）cosncos(n1)(2n)2111111an1() an（3） （4）

(2n1)(2n1)22n12n1n(n1)nn1（5）an(6)

an1111[]

n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)n212(n1)n1111nn,则S1 nn(n1)2n(n1)2n2n1(n1)2n(n1)2n[例9] 求数列

112,123,,1nn1,的前n项和.

[例10] 在数列{an}中，an的前n项的和.

111cos1[例11] 求证： 2cos0cos1cos1cos2cos88cos89sin1212n，又bn，求数列{bn}anan1n1n1n1

六、合并法求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.

[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.

[例13] 数列{an}：a11,a23,a32,an2an1an，求S2002. [例

14] 在各项均为正数的等比数列中，若

a5a69,求log3a1log3a2log3a10的值.

七、利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.

[例15] 求1111111111之和. n个1

8,求(n1)(anan1)的值. [例16] 已知数列{an}：an(n1)(n3)n1

数列练习

一、选择题

1.已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9=2a5，a2=1，则a1= A.

21 B. C.

2222 D.2

2.已知

为等差数列，，则等于

3

A. -1 B. 1 C. D.7

3.公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn .若a4是a3与a7的等比中项,

S832,则S10等于

A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 .

4设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a611，则S7等于

A．13 B．35 C．49 D． 63 5.已知an为等差数列，且a7－2a4＝－1, a3＝0,则公差d＝ （A）－2 （B）－2

6.等差数列｛an｝的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和

A. 90 B. 100 C. 145 D. 190

20，S2m138,则m 7.等差数列an的前n项和为Sn，已知am1am1am11 （C） （D）22（A）38 （B）20 （C）10 （D）9 .

8.设an是公差不为0的等差数列，a12且a1,a3,a6成等比数列，则an的前n项和Sn=

n27nn25nn23n2A． B． C． D．nn

4433249.等差数列｛an｝的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是

A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 . 二、填空题

1设等比数列{an}的公比q1S，前n项和为Sn，则4 ．

a422.设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4， ， ，

T16成等比数列． T123.在等差数列{an}中,a37,a5a26,则a6____________.

4.等比数列{an}的公比q0, 已知a2=1，an2an16an，则{an}的前4项和S4= .

三、大题

1.等比数列an的各项均为正数，且2a13a21,a329a2a6. 1）.求数列an的通项公式.

1blogaloga......loga,2）.设 n的前项和. 31323n求数列bn

2.已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=-10 （I）求数列{an}的通项公式；

ann12（II）求数列的前n项和．

2*.已知正项等差数列an的前n项和为Sn，若S312，且2a1,a2,a31成等比数列.

（Ⅰ）求aann的通项公式；（Ⅱ）记bn3n的前n项和为Tn，求Tn.

3. 已知数列{an}满足a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an（n∈N+） （1）证明：数列{an+1-an }是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式

4.已知数列an的各项满足：a113k(kR)，an1n43an1.

(1) 判断数列{a4nn7}是否成等比数列；（2）求数列an的通项公式

5.已知等差数列an和正项等比数列bn，a1b11，a3a710，（1）求数列an、bn的通项公式

b3＝a4

（2）若cnan•bn，求数列cn的前n项和Tn