数列基础知识点和方法归纳
1. 等差数列的定义与性质
定义： an 1 an
d （ d 为常数）， a
n
a
1
n 1 d
y
等差中项： x， A， y 成等差数列
a1
an n 2
2 A n n 1
2
x
前 n 项和 Sn
na1
d
性质： an 是等差数列
（ 1）若 m n p q ，则 am an ap aq；
（ 2）数列 a2 n 1 , a2n , a2n 1 仍为等差数列， Sn， S2n Sn， S3n S2n仍为等差数 列，公差为 n 2 d ；
（ 3）若三个成等差数列，可设为
a d，a，a d
（ 4）若 an， bn 是等差数列，且前 n 项和分别为 Sn， Tn ，则
amS
2m 1
（ 5）
为等差数列Sn an 2
bm
bn （ ，
T
2m 1
an a b
为常数，是关于 的常数项为
n 0 的二
次函数）
Sn 的最值可求二次函数 Sn an2 bn 的最值；也许求出
an 中的正、负分界
项，
即：当 a1 0， d
0 ，解不等式组
an 0 0
a
可得 Sn 达到最大值时的 n 值.
n 1
当 a1 0， d
0 ，由
an 0 0
，
可得 Sn 达到最小值时的 n 值.
a
n 1
(6)项数为偶数 2n 的等差数列 an
S2n
n(a1
a2 n ) n(a2 a2 n 1 ) nd ， 有
n(an an 1 )( an , an 1为中间两项 )
S偶 S奇
S奇
a
n
.
S偶 an 1
（7）项数为奇数 2n 1的等差数列 an ，有
1
S2n 1 (2n 1)an (an
) ，
S奇 S偶 an ，
S奇
n
.
S偶 n 1
2. 等比数列的定义与性质
定义： an 1
q （ q 为常数， q 0 ）， an a1qn 1
an
.
等比中项： x G y 成等比数列
2
G
xy ，或 Gxy .
na1 (q 1)
前 n 项和： Sn
a1 1 qn
( q
（要注意！）
1)
1 q
性质： an 是等比数列
（ 1）若
，则 a · a
a · a
m n p q
m
n
p
q
（ 2） Sn S2n Sn S3n
S2n仍为等比数列 ,公比为 q n .
注意：由 Sn 求 an 时应注意什么？
n 1 时， a1 S1 ；
n 2 时， an
Sn Sn 1 .
3．求数列通项公式的常用方法
（ 1）求差（商）法
如：数列 an ， 1 a1 1
2 a2
1n an 2n 5 ，求 an 2
解 n 1 时， 1
2 2 a1 2 1 5 ，∴ a1 14
n 2 时， 1
2
a1
a
1 a2 1
n 1
2n 1 5
2
1
22
2n 1
①—②得： an 2 ，∴ an 2n 1 ，∴ an
14 (n 1) 2n
2n 1 ( n
2)
［练习］数列 a 满足 S
S
5 a a 4 ，求 an
n
n
n 1
3S n 11
注意到 an 1
Sn 1 Sn ，代入得 n 1
4
又 S1 4 ，∴ Sn S
n
；
2
①
②
S 4n
是等比数列，
n 2 时， an Sn Sn 1 （ 2）叠乘法
3·4n 1
a如：数列 an 中， a1
n 1
3
n
，求 an
an
1 2
·
n 1 n 1 n
，∴
解
a2 a3
·
an an 1
又 a1
3 ，∴ an
3
（ 3）等差型递推公式 由 an an 1
a1 a2
an 1
2 3
a1 n
n .
f ( n) a1 a0 ，求 an ，用迭加法
a2 a1 f (2)
n 2 时，
a3 a2
f (n)
f (3)
两边相加得 an a1
f (2) f (3)
an an 1 f ( n)
f (2)
f (3) f (n)
∴ an a0
n 1
an
1 3n 2
1
［练习］数列 an 中， a1 1， an 3 （ 4）等比型递推公式
a
n 1
n 2 ，求 an （
0 ）
）
an can 1 d （ c、d 为常数， c 0 c 1 d
可转变为等比数列，设 an x
令 (c 1)x
c an 1 x an can 1 c 1 x
d ，∴ x
，∴ an d
c 1
d c
1
d 是首项为 a1 d c 为公比的等比数列 c 1 c 1
a1
∴ an
d c
1
a1
· cn 1 ，∴ an
d
c 1
cn 1
d c
1
（ 5）倒数法
如： a1 1 an 1
2an ，求 an an 2 an 2 2an
1 1，∴1 2 an
由已知得：
1
1 1 2
1 n 1·
a
n 1
a
n 1
an
∴ 1 为等差数列， 1 1 ，公差为 1，∴ 1
an a1 an 2
3
1
2
1 n 1 ，
2
∴ an
2 n 1
(
附：
公 式 法 、 利 用 an
S (n 1)
SS( n 2)1
n n 1 、 累加 法 、 累 乘 法 . 构 造 等 差 或 等比
an 1 pan q 或 an 1 pan f (n) 、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、
换元法 )
4. 求数列前 n 项和的常用方法
(1) 裂项法
把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项
.
n
如： an 是公差为 d 的等差数列，求
1
akak 1
k 1
解：由
1
1
ak ak d
1 d ak
1
1 1
ak· ak 1
n
a
1
d 0
k 1
∴
1 aa
n
1 d ak
1 1 1 a2
1 a2
1 a3
k 1 k k 1
k 1
a
1 an
1
k 1
d a1
an 1
1 1
d a1
a1
n 1
［练习］乞降： 1 1
1
1
1 2 1 2 3
1
anSn 2
n 1
1 2 3 n
（ 2）错位相减法
若 an 为等差数列， bn 为等比数列，求数列
Sn qSn ，求 Sn ，此中 q 为 b 的公比 .
n
anbn （差比数列）前 n 项和，可由
如： Sn x·Sn
1 2x 3x2 4 x3 nx n 1
① ②
x 2x2 3x3 4x4n 1 xn 1 1 x x2 xn 1
4
nxn
nxn
①—② 1 x Sn
x 1 时， Sn
1 x n
2
n
nx ， x
1 时， Sn 1 2 3n
n n 1
2
1 x 1 x
（ 3）倒序相加法
把数列的各项序次倒写，再与本来序次的数列相加 . Sn a1 a2an 1 Sn an an 1a2
an a1
x2
相加 2Sn
a1 an
a2 an 1a1 an
［练习］已知 f ( x)
1 x2 ，则
f (3)
f (1)
f (2) f
1 2
f
1 3
f (4)
f
1 4
由 f ( x)
f
1 x
x
2
1 x 1
2
2
x2
1
1
1 x2
1 x
1 x2 1 x2
∴原式
f (1)
f (2) f 1
2
f (3)
f
1
f (4) f
1
3
4
1 2
1113
1
2
(附：
a.用倒序相加法求数列的前 n 项和
假如一个数列 {an } ，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采纳把正着写与倒着写的两个和式相加，就获得一个常数列的和，这一乞降方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不仅需知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源泉，也是
研究同一类知识的工具， 比方：等差数列前 n 项和公式的推导，用的就是 “倒序相加
法 ”。b.用公式法求数列的前 n 项和
同等差数列、等比数列，求前 n 项和 Sn 可直接用等差、等比数列的前 n 项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：第一要注意公式的应用范围，确立公式合用于这个数列以后，再计算。
c.用裂项相消法求数列的前 n 项和
裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项， 使得前后项相抵消， 留下有限项，从而求出数列的前 n 项和。
d.用错位相减法求数列的前 n 项和
错位相减法是一种常用的数列乞降方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列 {an·bn} 中， {an} 成等差数列， {b n} 成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前 n 项和。
e.用迭加法求数列的前 n 项和
迭加法主要应用于数列 {an } 满足 an+1=an+f(n) ，此中 f(n) 是等差数列或等比数列的条
5
件下，可把这个式子变为 an+1-an=f(n)，代入各项，获得一系列式子，把全部的式子加到一起，经过整理，可求出 an ，从而求出 Sn。 f.用分组乞降法求数列的前 n 项和
所谓分组乞降法就是对一类既不是等差数列， 也不是等比数列的数列， 若将这种数列合适打开，可分为几个等差、等比或常有的数列，而后分别乞降，再将其合并。
g.用构造法求数列的前 n 项和
所谓构造法就是先依据数列的构造及特色进行解析， 找出数列的通项的特色， 构造
出我们熟知的基本数列的通项的特色形式，从而求出数列的前 n 项和。 )
6
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