一、填空题(每小题4分)
1. 设f(X)是有理数域上的不可约多项式 Ot的重数为1 2.
,Ot 为f(X)在复数域内的一个根，
n阶行列式
1 3
III
III
1
III
n
1 1
IIIII I
II
送 1]n!.
k4
1 =[1+k
n+1
3. 设a、P均为n维列向量：a'P =2,则A = E +aP '可逆,A\" = E-^aP '
3
4. 设向量组％,(/2,|||,%线性无关，
飞\"2 +5+川+5
h=^1 +口3 +)丨|+5
Pr =% Pr+=«1
+ t||+^r_1 +«2+H|+«r
X S,川，Pr, Pr十线性相关.
5.设A是n阶矩阵，秩A = r，非齐次线性方程组 Ax = P有解，则Ax = P的解向量组
的秩为n —r +1.
6.设a、b均为实数，二次型
f(X1,X2，小,Xn) =(ax1 +bx2)2 +(ax2 +bx3)2+'\" + (aXn4 + bXn)2 +(aXn +以)2
a、b满足条件a+(—1)^b H0时，f为正定二次型.
7.设V是由矩阵A的全体实系数多项式组成的线性空间
，其中
n
n
n
了1
0 ©
/
则V的一组基是E,A,A.
8.设V是数域P
2
2
维线性空间，写出V上的所有线性变换
取定V 的一个非零向量a ,则V = L(a)的全部线性变换形女口
fa : xa T a(xa),其中 a是 P中任一取定的数 ■
9.正交矩阵的实特征值为
±1.
10.设G为群，H、N分别是G的子群，H、N的阶分别是m、n,且m、n互素,
令a H c N ,则元素a的阶为_1：
二、(10分)设f(x),g(x)是数域P上的多项式，证明：在数域P上，若f则 f(x)|g(x).
参考解答：若 f (x), g(x)中有一个是零多项式或零次多项式 戲(X)AO, 0(X) AO,且
，则结论显然成立.下设
3
(x)|g(x).
3
g(x^a^ri(x)p2r2(x^|psrs(x)
是g(x)的标准分解式，其中pi(x), P2(X),IH, ps(x)是互不相同的最高次项系数为 约多项式，「1,「2,111,1都是正整数.任取f (x)的一个不可约因式 q(x),由于
1的不可
q(x)| f(x), f(x)| f3(x), f3(x)|g3(x)
3
利用多项式整除的传递性 ，得q(x)|g (x).由于q(x)是不可约多项式，故q(x)|g(x),进一 步可知,
q(x) =cpi(x),对某个1兰i兰s及c忘P.
于是我们可以设
f(X)= bp,1(X)pJWlll Psts(x),
其中t1,t2,HI,ts是非负整数.从f
3
3
3
(x) |g3(x)知，存在多项式h(x卢P[x],使得
g(X)= f (X) | h(x),即
a3 P13r1(x) P23r2(x) 111Ps3rs(x) =b3pi3t1(x) P23t2(x)HI Ps3ts(x)h(x).
由此推出 3ri >3ti ,即 ri >ti , ^1,2j|l,s.因此
g(x)
=bpi(x) P2(X)川ps(X)*7 p/ T (x) P2主(x)liI Ps」 (x)
b
= f(x) €口心&) PsH(X)
r
t1t2tsr2rss
b
由多项式整除的定义知，f(x)|g(x).
2
k
三、(15分)设A为n级矩阵,且秩A=秩A ,证明：对任意自然数k ,有秩A =秩A. 参考解答：对 k作数学归纳法.当k =1,2时结论显然成立.假设k -1时结论成立，即
k
rank A =rank A 丄.令
V ={X€
那么显然有Vi匸V2匸从rank A =rank A-知
.
k
=0}, i =1,2,m
k 1
dimV, = n-rankA = n — rank A =dimVk』
于是Vi=Vk」.
任取X。迂Vk
,即AX0
k
k
=0 ,亦即A」(
2
k
AX)= 0,那么AX0迂V_1= V.于是
A X0 -0.进一步有 A% 才(AX0) =0 ,这表明X。壬Vk_1,从而Vk匸Vk_1.因此，
V
k =k4.于是
V
k
rankA= n-dim^ = n-dimV^ = n-dimVk = rank A .
k
四、(15分) 证明：一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘积的 充分必要条件是，它的秩等于2和符号差等于0,或者秩等于1.
参考解答：充分性.若f(Xi,X2,lll,Xn)的秩为1,则可经非退化线性替换使
f(Xi,X2,||LXn) =kyi,其中 yi =耳为 +&2%2 +川 + a.Xn,故
f (X1,X2HHXn^k(a1X^ +a2X^\" + anXn).
若f (Xi,X2,|H,Xn)的秩为2,符号差为0,则可经非退化线性替换使
2
2
f(x1,x2,lli,Xn) = y2 — y； =(% +y2)(y1 — y2),
其中yi,y2均为Xi,X2,||l,Xn的一次多项式，即
y1 =a,X1 +a2X2 +11丨中anXn y2
+b2X2 + Hl + bnXn
故f(X1, X2,1 il, Xn)可表为两个两个实系数一次齐次多项式的乘积
必要性.
设实二次型f (^,x2^|, xn)可以分解成两个实系数一次齐次多项式的乘积
f (Xi,X2，屮 Xn) =(aiXi +a2X2 + + anXnXRXi +b2X2 + +bnXn)
若两个一次多项式的系数成比例
，即b =ka(i =i,2川I,n),不妨设a,工0,令
:yi =aiXi +a2X2 +iH + a/n y2 =X2
IIINI 』n =Xn
f (Xi,X2,||i,Xn) =ky,,即二次型 f(Xi,X2,lil,Xn)的秩为 1.
若两个一次多项式系数不成比例
，不妨设旦
2
H电，令 b, b2
1
\"yi =aiXi +a2X2 +i|| +anXn
y^ i i
bX+b2X2 +川 + bnXn
X
y3 —3
IIINI
:yn =Xn
f (Xi,X2,lll,Xn) =yiy2.再令
yi = 4 + 2
y2 = zi — Z2 “ Z3
z
Him
ijn = Zn
f (Xi,X2,lll,Xn) =yiy2 =Zi2 —z；,故二次型 f (Xi,X2,lil,人)的秩为 2,符号差为零.
五、(15分)设ei,lil,%是数域P上的n维线性空间V的一组基，W是V的非平凡子 空间，叫,川，％是W的一组基,证明：在习,111,%中可以找到n —r个向量气，川，會一，使
%,lli,%,气,Hi,仁为V的一组基.
参考解答：因为W是V的非平凡子空间，故WHV.于是r 口1,口2,川,5,知 线性无关.令 W = LSsllWr，%）， 则dimW =r +1 .由归纳假设，在£1,名2川|届 中可以找到n— (r +1)个向量客匚2, % ,| ||，客i 2 3 n r %,5,|||,%,%,寄川|,九丄 2 是V的一组基. 六、(10分)设3阶矩阵A满足A 有可能形式. 参考解答： 因为A 2 2 -3A + 2E=0,写出A的若当(Jorda n)标准型的所 -3A+2E = 0,故f(x) =x2 -3x + 2是A的一个零化多项式.设 m(x)是A的最小多项式 ,则 m(x) | f (x).由于 f(X)=(X -1)(x -2)没有重根，故 m(x)没有 重根.因此A可以对角化 .从A2 -3A + 2E =0知，A的特征根为1或2.于是A的Jordan标 准型的可能形式为 ◊ __ V _ v __ V __ V 七、(10分)设V是一个n维欧氏空间，％,H|,an是V的一个标准正交基,A是V的一 个线性变换,A Najn对是A关于这个基的矩阵，证明：码=(A( S ), otj), i,j=12l山n.(其中(,)表示内积) 参考解答：由所给条件知 (A%, A%,…，ActnT% ,口2,…，an)A.于是 a Aai=(ai，a2,…，叫) a 2i ini 丿 注意^1,02,…，叫为V的一组标准正交基，故 (AgZj) = (^8 +&202 +||)+&冋,％) = 1i^1^j a ) +82/5，%) +川+ ni^n^ j a) = aji (%,%) = ji a 八、(25分)设A是数域P上的n维线性空间V的一个线性变换,f(x)是A的最小多 项式，在P[x]中，f(X)= fi(x) f2(x), fi(x)、f2(X)均为首项系数为1的多项式，且fi(x)与 f2(x)互素，令 M ={a eV | f1(A)( Ct)=0}， V2 ={a 迂 V I f2(A)( a)= 0}. 证明： (1) (5 分)V和V2都是A的不变子空间; ⑵(10 分)^V^V2 ； 分)A |V的最小多项式是f1 (x), A V2的最小多项式是f2(x). ⑶(10 参考解答：(1)注意f1(A), f2(A)都是A的多项式，故 Af1(A>= f1(A)A Af2(A)= f2(A)A. 任取a壬V|,则f1(A)^ )=0.由于 f1(A»( A：a))=( f1(A)A)( a)=(Af1(A»)( a)= A：f1(A)(a))= A(0)=0. 故 ZU.由不变子空间的定义知，V1是A的不变子空间.类似地可证，V2也是A的不变 子空间. ⑵ 因为f1(x)与f2(x)互素，存在u(x),v(x)<^ P[x]使得 u(x)f1(x)+v(x) f2(x)=1. 将x=A代入上式，得 u(A) f1(A»+ v(A) f2(A)=s ( s 为恒等变换). (*) a =g(a) =u(A) f1(A)^)+ v(A) f2 (A)^ ). 由于f(X)是A的最小多项式，故f (A)= f1 (A) f2 (A)= 0 .于是类似地，fi(A)( v(A) f2(A)( a ))=0.因此 f2(A)( U(A» fi(A»( a))=( U(A» fi(A» f2(A))( a)=U(A)( f (A)( a ))= u(A)( 0 )= 0 U(A) fi(A)( a) €V2 , v(A) f2(A)( a H Vi. 于是从(**)知V匸Vi +V2.注意Vi,V2都是V的子空间，故 V 7 +V2. 设 P <^ViCV2,则 fi(A)( P )= 0 , f2(A>( P)=0.由(*)知 P Y(p) =( U(A) fi(A))( P)+( v(A) f2(A))( P)=0, 故 V^V2 ={0}.因此 V = V^ V2. ⑶ 由于对任a 叫有fi(A)(a)=0,故fi(A)作为Vi上的线性变换是零变换 ，f1 (A) |V =0,亦即f1(x)是的零化多项式.设g1(x)是A|V的最小多项式，则g1(x) | f, (x), 从而有 Cgi(x) 沁，由⑵知V =Vi©V2 ,可设Y =丫1 + 丫2, Y严Vi.于是 g(A)( Y)=gi(A» g2(A)( 丫小 gi(A)g2(A)( = g) gA) g0 2(Ai(A)( Yi)+ g(2(A»(食尸 +0=0 这表明g(x)是A的零化多项式，故f(x)|g(x).从而有 汙(x)＜^(x).于是 (X)=^(x) =£gi(x)+ 云g2(x). f (x) =cfi(x) +死(X), €gi(x)< gi(x) = fi(x). 九、(10分)设R是有1的交换环，P是R的素理想，Ii,l2,lil,ln是R的极大理想，如 即 果P包含Il,l2,|||,ln的交集，证明P必为极大理想. 参考解答：已知 P二hcjcHIcln.现在我们证明：存在某个i,1 从而有 a&lilan-liClzCHQln 匸 P. 从aia2|)|a^ P及P是R的素理想知，a,,a2,川，K中至少有一个属于 P,这与 ai 世 P, i =12 lil,n 矛盾.这就证明了 ：存在某个i , 1 Wi < n ,使得p li.而li是极大理想，故P = I但P是素理想，P HR,故P = Ij.因此P为极大理想. j或P = R. 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容