一.填空题（本大题12题，每题3分，共36分） 1．方程组{
2𝑥+𝑦−1=0
对应的增广矩阵为 ．
3𝑥−2𝑦=0
3𝑎5
2．若在行列式|0−41|中，元素a的代数余子式的值是 ．
−213
3．在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，则△ABC的面积S＝ ． 4．函数f（x）＝2cos（x+3）﹣1的对称轴为 ，最小值为 ． 5．方程3sinx＝1+cos2x在区间[0，2π]上的解为 ． 6．函数f（x）＝arcsin（cosx），𝑥∈[4，𝜋
5𝜋6
𝜋
]的值域为 ．
7．用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n•1•3…（2n﹣1）（n∈N*）时，从“n＝k”到“n＝k+1”的证明，左边需增添的代数式是 ． 8．若无穷等比数列{an}的各项和等于a12，则a1的取值范围是 ．
𝑛
9．已知数列{an}中，a1＝2，当n≥2时，an＝2an+1+3•2n+1，数列{2𝑛}的前n项和
𝑎
为 ．
10．把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{an}，若an＝2011，则n＝ ．
11．对于数列{an}，定义Hn=
𝑎1+2𝑎2+⋯+2𝑛−1𝑎𝑛
𝑛
为{an}的“优值”，现在已知某数列
{an}的“优值”Hn＝2n+1，记数列{an﹣kn}的前n项和为Sn，若Sn≤S5对任意的n（n∈N*）恒成立，则实数k的取值范围为 ．
12．数列{an}满足an+1+（﹣1）nan＝2n﹣1，则{an}的前60项和为 ． 二、选择题（本大题共4题，每题3分，共12分）
13．将函数y＝sin（x−3）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标
𝜋
不变），再将所得的图象向左平移3个单位，得到的图象对应的解析式是（ ） A．𝑦=𝑠𝑖𝑛2𝑥 C．𝑦=𝑠𝑖𝑛(𝑥−)
2
6
1
𝜋
1
𝜋
B．𝑦=𝑠𝑖𝑛(2𝑥−2) D．𝑦=𝑠𝑖𝑛(2𝑥−)
6𝜋
1𝜋
14．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A．1盏
𝜋
B．3盏
2𝜋
𝑛𝜋
C．5盏 D．9盏
15．若Sn＝sin7+sin7+⋯+sin7（n∈N*），则在S1，S2，…，S100中，正数的个数是（ ） A．16
B．72
C．86
D．100
16．设等比数列{}的公比为q，其前n项的积为Tn，并且满足条件a1＞1，a99a100
﹣1＞0，𝑎99−1＜0．给出下列结论：
100
𝑎−1
①0＜q＜1； ②a99•a101﹣1＞0；
③T100的值是Tn中最大的；
④使Tn＞1成立的最大自然数n等于198 其中正确的结论是（ ） A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
三、解答题（本大题共5题，共52分＝10分+10分+10分+10分+12分） 17．已知：f（x）＝2cos2x+√3sin2x+a（a∈R，a为常数） （1）若x∈R，求f（x）的最小正周期
（2）若f（x）在[−6，4]上最大值与最小值之和为3，求a的值．
18．如图，海中小岛A周围38海里内有暗礁，船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛A在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？
𝜋
𝜋
19．已知集合C＝{（x，y）|xy﹣3x+y+1＝0}，数列{an}的首项a1＝3，且当n≥2时，点（an﹣1，an）∈C，数列{bn}满足bn=1−𝑎．
𝑛
1
（1）试判断数列{bn}是否是等差数列，并说明理由； （2）若𝑙𝑖𝑚(
𝑠
𝑛→∞𝑎𝑛
+
𝑡𝑏𝑛
)=1（s，t∈R），求st的值．
20．已知正项数列{an}，{bn}满足：对任意正整数n，都有an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列，且a1＝10，a2＝15． （Ⅰ）求证：数列{√𝑏𝑛}是等差数列； （Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅰ） 设𝑆𝑛=𝑎+𝑎+⋯+𝑎，如果对任意正整数n，不等式2𝑎𝑆𝑛＜2−𝑎𝑛恒
1
2
𝑛
𝑛
111𝑏
成立，求实数a的取值范围．
21．定义：如果数列{an}的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{an}为三角形”数列对于“三角形”数列{an}，如果函数y＝f（x）使得bn＝f（an）仍为一个三角形”数列，则称y＝f（x）是数列{an}的“保三角形函数，”（n∈N*） （1）已知{an}是首项为2，公差为1的等差数列，若f（k）＝k2，（k＞1）是数列{an}的保三角形函数”，求k的取值范围；
（2）已知数列{cn}的首项为2019，Sn是数列{cn}的前n项和，且满足4Sn﹣3Sn
﹣1
＝8076，证明{cn}是“三角形”数列
（3）求证：函数h（x）＝﹣x2+2x，x∈[1，A]是数列1，1+d，1+2d（d＞0）的“保三角形函数”的充要条件是1+2d≤A，0＜d＜
√5． 5
一.填空题（本大题12题，每题3分，共36分） 1．[
211
]．
3−20
2． 2． 3．
15√3 4
𝜋
4．𝑥=𝑘𝜋−3(𝑘∈𝑍)；﹣3． 5． 6或6． 6． [−，]．
3
4𝜋
𝜋
𝜋
5𝜋
7． 2（2k+1）．
8． (2，1)∪(1，+∞)． 9． 3n2﹣2n． 10． 1028 11． 3≤k≤
7
125
1
．
12．∵an+1+（﹣1）n an＝2n﹣1，
故有 a2﹣a1＝1，a3+a2＝3，a4﹣a3＝5，a5+a4＝7，a6﹣a5＝9，a7+a6＝11，…a50﹣a49＝97．
从而可得 a3+a1＝2，a4+a2＝8，a7+a5＝2，a8+a6＝24，a9+a11＝2，a12+a10＝40，a13+a11＝2，a16+a14＝56，…
从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列． {an}的前60项和为 15×2+（15×8+
15×142
×16）＝1830
二、选择题（本大题共4题，每题3分，共12分） 13．C 14．B 15．C 16．B
三、解答题（本大题共5题，共52分＝10分+10分+10分+10分+12分） 17．f（x）＝2cos2x+√3sin2x+a（a∈R，a为常数）
=√3sin2x+cos2x+1+a ＝2sin（2x+6）+1+a， （1）∴f（x）的最小正周期T=
𝜋
𝜋
𝜋
2𝜋𝜔
𝜋
=
𝜋
2𝜋2
=𝜋；
（2）∵x∈[−6，4]，∴2x+6∈[−6，3]；
当2x+6=−6时，即x=−6，f（x）取得最小值为2sin（−6）+1+a＝a 当2x+6=2时，即x=6，f（x）取得最大值为2sin（2）+1+a＝a+3 ∵最大值与最小值之和为3，∴a+3＝3，∴a＝0 故a的值为0．
18．在△ABC中，BC＝30，B＝30°， ∠ACB＝180°﹣45°＝135°， ∴A＝15°，
由正弦定理知：𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑠𝑖𝑛𝐵， ∴𝑠𝑖𝑛15°=𝑠𝑖𝑛30°， ∴𝐴𝐶=
30𝑠𝑖𝑛30°𝑠𝑖𝑛15°
30
𝐴𝐶
𝐵𝐶
𝐴𝐶
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
2𝜋
=60𝑐𝑜𝑠15°=15√6+15√2，…（6分）
√22
∴A到BBC所在直线的距离为𝐴𝐶⋅𝑠𝑖𝑛45°=(15√6+15√2)⋅1)≈40.98＞38（海里），
∴不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险．…
=15(√3+
19．（1）∵当n≥2时，点（an﹣1，an）恒在曲线C上， ∴an﹣1an﹣3an﹣1+an+1＝0 （1分） 由bn=1−𝑎得
𝑛
1
当n≥2时，bn﹣bn﹣1=1−𝑎−1−𝑎
𝑛
11
𝑛−1
=1−𝑎
𝑎𝑛−𝑎𝑛−1
𝑛−𝑎𝑛−1+𝑎𝑛𝑎𝑛−1
𝑛𝑛−1
=−2𝑎=−2
+2𝑎
𝑛
𝑛−1
𝑎−𝑎1
∴数列{bn}是公差为−2的等差数列． （2）∵a1＝3，∴b1=
12
11−𝑎1
12
1
=−2，
12
1
∴bn=−+（n﹣1）•（−）=−n，（6分） ∴−2n=1−𝑎，则an＝1+𝑛
𝑛
112
∴𝑎+𝑏=
𝑛
𝑛
𝑠𝑡
−𝑛+𝑡−(1+)−𝑛(1+)𝑡𝑏𝑛
122𝑛𝑠22𝑛=
−
𝑠𝑛2
+𝑡𝑛+2𝑡21−𝑛2−𝑛2，
由𝑙𝑖𝑚(
𝑠
𝑛→∞𝑎𝑛
+)=1（s，t∈R），
可得s＝1，st＝1．
20．（Ⅰ）由已知，得2bn＝an+an+1①，an+12＝bn•bn+1②．由②得𝑎𝑛+1=√𝑏𝑛𝑏𝑛+1
③．
将③代入①得，对任意n≥2，n∈N*，有2𝑏𝑛=√𝑏𝑛−1𝑏𝑛+√𝑏𝑛𝑏𝑛+1． 即2√𝑏𝑛=√𝑏𝑛−1+√𝑏𝑛+1． ∴{√𝑏𝑛}是等差数列．
（Ⅰ）设数列{√𝑏𝑛}的公差为d， 由a1＝10，a2＝15．经计算，得𝑏1=
5
252
，𝑏2=18．
5
√2． 2
∴√𝑏1=2√2，𝑑=√𝑏2−√𝑏1=3√2−2√2=∴√𝑏𝑛=2√2+(𝑛−1)⋅∴𝑏𝑛=
(𝑛+4)2
25
√2222(𝑛+3)(𝑛+4)1
=
√2(𝑛2
+4)．
，𝑎𝑛=
1𝑎𝑛1
(𝑛+3)(𝑛+4)
．（9分） =2(
1𝑛+3
（Ⅰ）由（1）得
1
1
=−
1
𝑛+4
)．∴𝑆𝑛=2[(−)+(−)+
4
5
5
6
1111
+(𝑛+3−𝑛+4)]=2(4−𝑛+4)．
不等式2𝑎𝑆𝑛＜2−𝑎𝑛化为4𝑎(4−𝑛+4)＜2−𝑛+3．
𝑛
𝑏11𝑛+4
即（a﹣1）n2+（3a﹣6）n﹣8＜0．
设f（n）＝（a﹣1）n2+（3a﹣6）n﹣8，则f（n）＜0对任意正整数n恒成立． 当a﹣1＞0，即a＞1时，不满足条件；
当a﹣1＝0，即a＝1时，满足条件；
当a﹣1＜0，即a＜1时，f（n）的对称轴为𝑥=−2(𝑎−1)＜0，f（n）关于n递减，
因此，只需f（1）＝4a﹣15＜0．解得𝑎＜4，∴a＜1． 综上，a≤1．
21．（1）显然an＝n+1，an+an+1＞an+2对任意正整数都成立，即{an}是三角形数列．（2分）
因为k＞1，显然有f（an）＜f（an+1）＜f（an+2）， 由f（an）+f（an+1）＞f（an+2）得kn+kn+1＞kn+2，解得k＜所以当k∈（1，
1+√52
1+√52
15
3(𝑎−2)
．
）时，f（x）＝kx是数列{an}的“保三角形函数”．
（2）由4Sn+1﹣3Sn＝8076，①
当n≥2时，4Sn﹣3Sn﹣1＝8076，②，①﹣②得4cn+1﹣3cn＝0，则 所以
𝑐𝑛+1𝑐𝑛
=4
60574
3
当n＝1时，即4（a1+a2）﹣3a1＝8076，解得：a2=
3
，所以𝑎2=4 1
𝑎3
所以数列{cn}是以2019为首项，以4为公比的等比数列， 所以，cn＝2019（4）n﹣1，（7分）
显然cn＞cn+1＞cn+2，因为cn+1+cn+2＝2019 （4）n+2019（4）n+1=16•2019（ 4）
n﹣1
3
33213
＞cn，
所以{cn}是“三角形”数列．
（3）证明：函数h（x）＝﹣x2+2x，x∈[1，A]是数列1，1+d，1+2d（d＞0）的“保三角形函数”，必须满足三个条件：
①1，1+d，1+2d（d＞0）是三角形数列，所以1+1+d＞1+2d，即0＜d＜1． ②数列中的各项必须在定义域内，即1+2d≤A． ③h（1），h（1+d），h（1+2d）是三角形数列．
由于h（x）＝﹣x2+2x，x∈[1，A]是单调递减函数，所以h（1+d）+h（1+2d）＞h（1），解得0＜d＜√5． 5
所以函数h（x）＝﹣x2+2x，x∈[1，A]是数列1，1+d，1+2d（d＞0）的“保三角形函数”的充要条件是1+2d≤A，0＜d＜√5． 5
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