刚体转动惯量测量数据表

转动惯量是刚体转动时惯性大小的量度，它与刚体的质量、质量对轴的分布以及转轴位置有关。如果刚体形状规则，质量分布均匀，可以直接计算出它绕特定轴的转动惯量。但对于几何形状不规则和质量分布不均匀的刚体，只能用实验的方法来测量。测量转动惯量的方法有很多种，如三线摆法、单悬扭摆法、双悬扭摆法、螺旋弹簧式扭摆法等，本实验介绍了利用螺旋弹簧式扭摆法来测量刚体的转动惯量。

一、实验目的

1．观察扭摆振动现象。

2．用扭摆法测量不同形状刚体的转动惯量。

二、实验原理

螺旋弹簧式扭摆如图6.1所示，在垂直轴上装有螺旋弹簧，用以产生恢复力矩。在轴的上方可以装上各种待测刚体。将刚体在水平面内转过某一角度θ后，在弹簧的恢复力矩的作用下，刚体就开始绕垂直转轴作往返扭转运动。根据胡克定律，弹簧产生的恢复力矩M与所转过的角位移θ成正比：

M=−Kθ （1）

式中，K为弹簧的扭转系数，负号表示恢复力矩M的方向与角位移θ的方向相反。又根据转动定律，则有

M=Jβ=J

dθ （2）

dt2

2

金属托盘

放待测物体 垂直轴

其中，J为刚体的转动惯量，β为角加速度。

联立式(1)、(2)可得：

dθK

+θ=0 2

Jdt

2

支架底座

螺旋弹簧 底脚螺丝

令ω=K/J，上式变为：

2

d2θ+ω2θ=0 （3） 2

dt

图6.1 螺旋弹簧式扭摆构造简图

方程(3)表明扭摆运动具有角简谐振动的特征：角加速度与角位移成正比，而方向相反。其通解为：

θ=θ0cos(ωt+ϕ) 式中，θ0为谐振动的角振幅，ϕ为初相位，ω为角速度。扭摆的振动周期为：

T=

2π2

J 或 24πJ （4） T=

KK

ω=2π上式表明，扭摆周期T的平方与转动惯量J成正比。若单独测出扭摆周期，因扭摆系数K是未知量，所以还不能由式(4)计算出转动惯量，为此，一般采用比较法求出K。实验中用一个几何形状规则的圆柱体，设金属载物圆盘的转动惯量为J0，它的转动惯量J1可以根据其质量和几何尺寸用理论公式直接计算得到。转动的周期为T0，若将圆柱体置于金属载物盘上，测出它的摆动周期T1，则

T0

2

4π2J0

=K

T1=4π2

2

J1+J0

（5） K

由式(5)可以确定K，J0。若要测量其它形状物体的转动惯量J，只需将待测物体放在扭摆顶部的金属载物圆盘上，测出其摆动周期T，则

T2=4π2

J0+J （6） K

由式(6)即可算出待测物体绕转动轴的转动惯量

KT2J=−J0 （7） 2

4π三、实验仪器

TH-2型转动惯量测试仪、待测物体等。

TH-2型转动惯量测试仪由主机和光电传感器两部分组成。主机用于测量物体转动和摆动周期，以及旋转体的转速，能自动记录、存储多个实验数据，并能够精确计算多个实验数据的平均值；光电传感器由红外发射管和红外接收管组成，将光信号转化成为脉冲电信号，送入主机工作。

TH-2型转动惯量测试仪面板如图6.2所示，各按钮功能如下： （1）按“功能”键，可以选择摆动、转动两种功能（开机及复位默认为摆动）。本实验应选择摆动。

（2）按“置数”键，显示“n=10”，按“上调”键，周期数依次增加1，按“下调”键，周期依次减小1。周期数只能在1～10范围内任意设定，最后按“置数”键确认，显示“F1 End”或“F2 End”。

（3）将刚体水平旋转60°后让其自由摆动，按“执行”键，显示“P1 0.000”，当被测物体上的挡杆第一次通过光电门时骤，可进行多次测量。本机设定重复测量次数为5次。

（4）按“查询”键，可得到每次测量周期的平均值。

（5）按“自检”键，仪器应依次显示“n=N-1”，“2n=N-1”，“SC Good”，并自动复位到“P1----”，表示本机的单片机工作正常，然后回到默认值。

（6）按“返回”键，系统将无条件的回到最初状态，消除当前状态的所有执行数据，但预置周期数不改变。

（7）按“复位”键，实验所得数据全部消除，所有参数恢复到初始时的默认值。

图6.2 TH-2型转动惯量测试仪面版开始计时，直到摆动周期数等于设定值时，停止计时，此时仪器显示第一次测量的总时间。重复上述步

四、实验内容

1．测量塑料圆柱体的直径，金属圆筒的内、外直径(直径各测量5次、质量各测量1次)，金属细杆的长度及质量(长度、质量各测量1次)。

2．调整扭摆底座螺丝，使水准气泡居中。

3．装上金属载物盘，并调节光电探头的位置，使载物盘上的挡光杆能自由通过光电门，并测量其摆动周期T0。

4．将塑料圆柱，金属圆筒分别放在载物盘上，分别测量它们的周期T1、T2。 5．取下金属载物盘，装上木球，测量其摆动周期T3。

6．取下木球，装上金属细杆，使其重心与转轴重合，测量其摆动周期T4。

五、注意事项

1．扭摆静止时，挡光杆要处于光电门间隙，即正好处于挡光状态。 2．在称金属细杆的质量时，必须将细杆的夹具取下。

3．弹簧有一定的使用寿命和强度，严禁随意扭转弹簧。实验时，摆动角度在60°内。 4．圆柱体和空心圆筒放在载物圆盘上时，必须放正，不能倾斜。

六、数据记录与处理

1．将所测的数据填入下表

刚体转动惯量测量数据表 物体名称 金属载 物盘 塑料圆柱 质量(Kg) 几何尺寸(cm) T0 平均值 T1 平均值 T2 平均值 T3 平均值 T4 平均值 周期(s) 直径内径外径直径 金属圆筒 木球 金属细杆 长度 2. 数据处理

（1）理论计算出塑料圆柱体的转动惯量J1，求出其绝对误差△J1和相对误差，并表示其结果。

J1=

211

m1R12=m1D1 EJ=Δm1+2ΔD1 ΔJ1=J1EJ1

1

28m1D1

（2）用式(5)计算出金属载物圆盘的转动惯量J0和扭转常数K。

（3）比较金属圆筒的转动惯量的测量值J2和理论计算值J2′，并计算其百分误差。

J2=

KT224π2

′=−J0 J2

′J2−J2

′J2

11

′2)=m2(D22+D2′2) m2(R22+R2

28

百分误差为 EJ=

2

×100%

（4）比较木球的转动惯量测量值J3和理论值J3′，并计算其百分误差。

J3=

21K222

′J=mR=mDT−J 33333330

5104π24π式中，J30为木球支座的转动惯量，J30=K2T302=0.179×10−4Kg⋅m2。 百分误差为 EJ3=

′|J3−J3

×100% ′J3

（5）比较金属细杆的转动惯量的测量值J4和理论值J4′，并计算其百分误差。

J4=

式中，J40为细杆夹具的转动惯量，J40=

K2

T4−J40 4π2K4π2′=J4

1

m4L2 12

T402=0.232×10−4Kg⋅m2。

×100%

百分误差 EJ=

4

′J4−J4

′J4

七、思考题

1.转动惯量是物体 的量度，物体转动惯量与哪些因素有关 。

2

d2θgK2.扭摆的微分方程为：dθ ；单摆的微分方程为：+θ=0，扭摆的角频率+θ=022

dtJdtl

为 ，单摆的角频率为 。