高中数学：函数奇偶性的应用练习及答案
函数奇偶性的应用
1.已知一个奇函数的定义域为{－1,2，a，b}，则a＋b等于（ ） A.－1 B.1 C.0 D.2
2.已知函数f（x）的定义域为（3－2a，a＋1），且f（x＋1）为偶函数，则实数a的值可以是（ ） A.2 B. C.4 D.6
3.已知函数f（x）＝（m－1）x2＋2mx＋3为偶函数，则f（x）在区间（2,5）上是（ ） A.增函数 B.减函数 C.有增有减 D.增减性不确定
4.已知函数f（x）＝ax＋bx＋3a＋b是定义域为[a－1,2a]的偶函数，a＋b的值是（ ） A.0 B. C.1 D.－1
5.已知f（x）＝ax2＋bx＋1是定义在[3a－2,2a＋]上的偶函数，则5a＋3b等于（ ） A. B. C.0 D.－ 6.若函数f（x）＝
为奇函数，则a等于（ ）
2
A.1 B.2 C. D.－
7.若函数f（x）＝ax＋（a－2b）x＋a－1是定义在（－a,0）∪（0,2a－2）上的偶函数，则f等于（ ） A.1 B.3 C. D.
8.函数f（x）＝x|x＋a|＋b满足f（－x）＝－f（x）的条件是（ ） A.ab＝0 B.a＋b＝0 C.a＝b D.a2＋b2＝0
9.已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（－1）＋g（1）＝2，f（1）＋g（－1）＝4，则g（1）等于（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
10.已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）－g（x）＝x3＋x2＋1，则f（1）＋g（1）等于（ ）
A.－3 B.－1 C.1 D.3
11.已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x＋1）＝（1＋x）
2
f（x），则f的值是（ ）
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A.0 B. C.1 D.
12.已知f（x）＝x－ax＋bx＋2，且f（5）＝17，则f（－5）的值为（ ） A.－13 B.13 C.－19 D.19
13.设f（x）是奇函数，当x∈[0，＋∞）时，f（x）≤m（m<0），则f（x）的值域是（ ） A.[m，－m] B.（－∞，m] C.[－m，＋∞） D.（－∞，m]∪[－m，＋∞） 14.若偶函数f（x）在区间[3,6]上是增函数且f（6）＝9，则它在区间[－6，－3]上（ ） A.最小值是9 B.最小值是－9 C.最大值是－9 D.最大值是9
15.若φ（x），g（x）都是奇函数，f（x）＝aφ（x）＋bg（x）＋3在（0，＋∞）上有最大值10，则f（x）在（－∞，0）上有（ ）
A.最小值－4 B.最大值－4 C.最小值－1 D.最大值－3
16.奇函数f（x）在（0，＋∞）上的解析式是f（x）＝x（1－x），则在（－∞，0）上f（x）的函数解析式是（
）
5
3
A.f（x）＝－x（1－x） B.f（x）＝x（1＋x） C.f（x）＝－x（1＋x） D.f（x）＝x（x－1） 17.若f（x）＝（m－1）x2＋6mx＋2是偶函数，则f（0），f（1），f（－2）从小到大的排列是________. 18.设函数f（x）＝
2
为奇函数，则实数a＝________.
19.已知y＝f（x）＋x是奇函数且f（1）＝1，若g（x）＝f（x）＋2，则g（－1）＝________.
20.设f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）＝2，且f（x＋1）＝f（x＋6），则f（10）＋f（4）＝________. 21.已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x＋4）＝f（x），当x∈（0,2）时，f（x）＝2x2，则f（7）＝________.
22.已知函数f（x）＝ax3＋bx＋4（a，b均不为零），且f（5）＝10，则f（－5）＝________. 23.已知函数f（x）＝ax3－bx＋1，a，b∈R，若f（－1）＝－2，则f（1）＝__________.
24.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数.当x<0时，f（x）＝x－4，则x>0时，f（x）的解析式为________，不等式f（x）<0的解集为___________.
25.定义在R上的奇函数f（x）满足f（x＋2）＝－f（x），当0≤x≤1时，f（x）＝x， （1）试画出f（x），x∈[－3,5]的图象； （2）求f（37.5）；
（3）常数a∈（0,1），y＝a与f（x），x∈[－3,5]的图象相交，求所有交点横坐标之和.
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26.已知函数f（x）＝
，g（x）＝f（）.
（1）在图中的坐标系中补全函数f（x）在其定义域内的图象，并说明你的作图依据； （2）求证：f（x）＋g（x）＝1（x≠0）.
27.已知函数f（x）＝mx2＋nx＋3m＋n是偶函数，且其定义域为[m－1,2m]. （1）求m，n的值；
（2）求函数f（x）在其定义域上的最大值.
28.已知函数f（x）＝ax＋＋c（a，b，c是常数）是奇函数，且满足f（1）＝，f（2）＝. （1）求a，b，c的值；
（2）试判断函数f（x）在区间
29.已知函数f（x）＝x＋2ax＋2，x∈[－5,5]. （1）当a＝－1时，求函数f（x）的最大值和最小值；
（2）求实数a的取值范围，使y＝f（x）在区间[－5,5]上是单调函数.
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上的单调性并证明.
30. 已知y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f（x）＝2x－x2，求y＝f（x）的解析式. 答案
1.已知一个奇函数的定义域为{－1,2，a，b}，则a＋b等于（ ） A.－1 B.1 C.0 D.2 【答案】A
【解析】因为一个奇函数的定义域为{－1,2，a，b}，
根据奇函数的定义域关于原点对称，所以a与b有一个等于1，一个等于－2，所以a＋b＝1＋（－2）＝－1. 故选A.
2.已知函数f（x）的定义域为（3－2a，a＋1），且f（x＋1）为偶函数，则实数a的值可以是（ ） A.2 B. C.4 D.6 【答案】A
【解析】因为函数f（x）的定义域为（3－2a，a＋1），所以在函数f（x＋1）中，3－2a 【解析】∵f（x）为偶函数，∴m＝0， ∴f（x）＝－x＋3，开口向下， 对称轴为y轴，∴f（x）在（2,5）上是减函数. 4.已知函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是定义域为[a－1,2a]的偶函数，a＋b的值是（ ） A.0 B. C.1 D.－1 【答案】B 【解析】∵函数f（x）＝ax＋bx＋3a＋b是定义域为[a－1,2a]的偶函数， ∴a－1＝－2a，b＝0， 解得a＝，b＝0， ∴a＋b＝， 故选B. 5.已知f（x）＝ax＋bx＋1是定义在[3a－2,2a＋]上的偶函数，则5a＋3b等于（ ） A. B. C.0 D.－ 【答案】A 【解析】∵f（x）为偶函数，∴f（－x）＝f（x），即ax2＋bx＋1＝ax2－bx＋1，∴b＝0.又f（x）的定义域为[3a－2,2a＋]，∴3a－2＋2a＋＝0，∴a＝.故5a＋3b＝. 6.若函数f（x）＝A.1 B.2 5 / 15 2 2 2 为奇函数，则a等于（ ） C. D.－ 【答案】A 【解析】由题意得f（－x）＝－f（x）， 则＝－ 2 ＝， 2 则－4x＋（2－2a）x＋a＝－4x－（2－2a）x＋a， 所以2－2a＝－（2－2a）， 所以a＝1. 7.若函数f（x）＝ax2＋（a－2b）x＋a－1是定义在（－a,0）∪（0,2a－2）上的偶函数，则f等于（ ） A.1 B.3 C. D. 【答案】B 【解析】因为偶函数的定义域关于原点对称，则－a＋2a－2＝0，解得a＝2.又偶函数不含奇次项，所以a－2b＝0，即b＝1，所以f（x）＝2x2＋1.于是f＝f（1）＝3. 8.函数f（x）＝x|x＋a|＋b满足f（－x）＝－f（x）的条件是（ ） A.ab＝0 B.a＋b＝0 C.a＝b D.a＋b＝0 【答案】D 【解析】由已知，得－x|－x＋a|＋b＝－x|x＋a|－b， ∴a＝b＝0，即a2＋b2＝0. 9.已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（－1）＋g（1）＝2，f（1）＋g（－1）＝4，则g（1）等于（ ） 6 / 15 2 2 A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】B 【解析】∵f（x）是奇函数，∴f（－1）＝－f（1）. 又g（x）是偶函数，∴g（－1）＝g（1）. ∵f（－1）＋g（1）＝2，∴g（1）－f（1）＝2.① 又f（1）＋g（－1）＝4，∴f（1）＋g（1）＝4.② 由①②，得g（1）＝3. 10.已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）－g（x）＝x3＋x2＋1，则f（1）＋g（1）等于（ ） A.－3 B.－1 C.1 D.3 【答案】C 【解析】分别令x＝1和x＝－1可得f（1）－g（1）＝3和f（－1）－g（－1）＝1，因为函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，所以f（－1）＝f（1），g（－1）＝－g（1），即f（－1） －g（－1）＝1⇒f（1）＋g（1）＝1，则⇒⇒f（1）＋g（1）＝1，故选C. 11.已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x＋1）＝（1＋x） f（x），则f的值是（ ） A.0 B. C.1 D. 7 / 15 【答案】A 【解析】因为xf（x＋1）＝（1＋x）f（x），令x＝，则f（）＝5×，令x＝，则f＝3×f－f，令 x＝－，则f＝－f，又已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，所以f＝0，所以f＝f＝f＝0，又令x＝－1，f（0）＝0，所以f＝f（0）＝0. 12.已知f（x）＝x5－ax3＋bx＋2，且f（5）＝17，则f（－5）的值为（ ） A.－13 B.13 C.－19 D.19 【答案】A 【解析】设g（x）＝x5 －ax3 ＋bx，则g（x）为奇函数. f（x）＝g（x）＋2，f（5）＝g（5）＋2＝17. ∴g（5）＝15，故g（－5）＝－15. ∴f（－5）＝g（－5）＋2＝－15＋2＝－13. 13.设f（x）是奇函数，当x∈[0，＋∞）时，f（x）≤m（m<0），则f（x）的值域是（ A.[m，－m] B.（－∞，m] C.[－m，＋∞） D.（－∞，m]∪[－m，＋∞） 【答案】D 【解析】当x≥0时，f（x）≤m； 当x≤0时，－x≥0， 所以f（－x）≤m，因为f（x）是奇函数， 所以f（－x）＝－f（x）≤m， 即f（x）≥－m. 14.若偶函数f（x）在区间[3,6]上是增函数且f（6）＝9，则它在区间[－6，－3]上（ A.最小值是9 B.最小值是－9 8 / 15 ） ） C.最大值是－9 D.最大值是9 【答案】D 【解析】因为f（x）是偶函数且在区间[3,6]上是增函数， 所以f（x）在区间[－6，－3]上是减函数. 因此，f（x）在区间[－6，－3]上最大值为f（－6）＝f（6）＝9. 15.若φ（x），g（x）都是奇函数，f（x）＝aφ（x）＋bg（x）＋3在（0，＋∞）上有最大值10，则f（x）在（－∞，0）上有（ ） A.最小值－4 B.最大值－4 C.最小值－1 D.最大值－3 【答案】A 【解析】由已知对任意x∈（0，＋∞），f（x）＝aφ（x）＋bg（x）＋3≤10. 对任意x∈（－∞，0），则－x∈（0，＋∞又∵φ（x），g（x）都是奇函数， ∴f（－x）＝aφ（－x）＋bg（－x）＋3≤10， 即－aφ（x）－bg（x）＋3≤10， ∴aφ（x）＋bg（x）≥－7， ∴f（x）＝aφ（x）＋bg（x）＋3≥－7＋3＝－4. 16.奇函数f（x）在（0，＋∞）上的解析式是f（x）＝x（1－x），则在（－∞，0）上f（x）的函数解析式是（ ） A.f（x）＝－x（1－x） B.f（x）＝x（1＋x） C.f（x）＝－x（1＋x） D.f（x）＝x（x－1） 【答案】B 【解析】设x<0，则－x>0，因为函数f（x）在（0，＋∞）上的解析式是f（x）＝x（1－x），所以f（－ 9 / 15 ）. x）＝－x（1＋x），又函数f（x）是奇函数，即f（－x）＝－f（x），则当x<0时， f（x）＝－f（－x）＝x（1＋x）.故选B. 17.若f（x）＝（m－1）x＋6mx＋2是偶函数，则f（0），f（1），f（－2）从小到大的排列是________. 【答案】f（－2） ∵f（x）的图象开口向下，对称轴为y轴，在[0，＋∞）上单调递减， ∴f（2） 19.已知y＝f（x）＋x是奇函数且f（1）＝1，若g（x）＝f（x）＋2，则g（－1）＝________. 【答案】－1 【解析】∵y＝f（x）＋x是奇函数， ∴f（－x）＋（－x）2＝－[f（x）＋x2]， ∴f（x）＋f（－x）＋2x＝0，∴f（1）＋f（－1）＋2＝0. ∵f（1）＝1，∴f（－1）＝－3. ∵g（x）＝f（x）＋2，∴g（－1）＝f（－1）＋2＝－3＋2＝－1. 20.设f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）＝2，且f（x＋1）＝f（x＋6），则f（10）＋f（4）＝________. 【答案】－2 【解析】因为f（x＋1）＝f（x＋6），所以f（x）＝f（x＋5）.因为f（x）是R上的奇函数，所以f（0）＝0，则f（10）＝f（5）＝f（0）＝0，f（4）＝f（－1）＝－f（1）＝－2. 所以f（10）＋f（4）＝－2. 21.已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x＋4）＝f（x），当x∈（0,2）时，f（x）＝2x2，则f（7） 10 / 15 222 2 为奇函数，则实数a＝________. ＝－， ＝________. 【答案】－2 【解析】f（7）＝f（3＋4）＝f（3）＝f（－1＋4）＝f（－1）， ∵f（x）为奇函数，∴f（－1）＝－f（1）， ∵1∈（0,2），∴f（1）＝2×1＝2， ∴f（7）＝－f（1）＝－2. 22.已知函数f（x）＝ax3＋bx＋4（a，b均不为零），且f（5）＝10，则f（－5）＝________. 【答案】－2 【解析】令g（x）＝ax＋bx（a，b均不为零），易知g（x）为奇函数，从而g（5）＝－g（－5）. 因为f（x）＝g（x）＋4，所以g（5）＝f（5）－4＝6， 所以f（－5）＝g（－5）＋4＝－g（5）＋4＝－2. 23.已知函数f（x）＝ax－bx＋1，a，b∈R，若f（－1）＝－2，则f（1）＝__________. 【答案】4 【解析】∵f（x）＝ax3－bx＋1， ∴f（－x）＝a（－x）－b（－x）＋1＝－ax＋bx＋1， 得f（x）＋f（－x）＝（ax3－bx＋1）＋（－ax3＋bx＋1）＝2， 令x＝1，得f（1）＋f（－1）＝2， ∵f（－1）＝－2，∴f（1）＝2－f（－1）＝2＋2＝4. 24.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数.当x<0时，f（x）＝x2－4，则x>0时，f（x）的解析式为________，不等式f（x）<0的解集为___________. 【答案】f（x）＝－x2＋4 （－2,0）∪（2，＋∞） 【解析】当x>0时，－x<0，所以f（－x）＝（－x）2－4＝x2－4，因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（－x）＝x－4＝－f（x），所以f（x）＝－x＋4，即x>0时，f（x）＝－x＋4.当x<0时，f（x）<0，即x－4<0，解得－2 11 / 15 2 2 2 2 2 3 3 33 2 【答案】（1）∵f（x）为奇函数， ∴f（x＋2）＝f（－x）， ∴f（x）关于直线x＝1对称. 由f（x）在[0,1]上的图象反复关于（0,0），x＝1对称，可得f（x），x∈[－3,5]的图象如图. （2）由图可知f（x＋4）＝f（x）， ∴f（37.5）＝f（4×9＋1.5）＝f（1.5）＝f（0.5）＝. （3）由图可知，当a∈（0,1）时，y＝a与f（x），x∈[－3,5]有4个交点，设为x1，x2，x3，x4（x1 ＝3. ∴x1＋x2＋x3＋x4＝－2＋6＝4. 26.已知函数f（x）＝ ，g（x）＝f（）. （1）在图中的坐标系中补全函数f（x）在其定义域内的图象，并说明你的作图依据； （2）求证：f（x）＋g（x）＝1（x≠0）. 【答案】（1）∵f（x）＝，∴f（x）的定义域为R. ＝ ＝f（x），∴f（x）为偶函数， 又对任意x∈R，都有f（－x）＝ 故f（x）的图象关于y轴对称，其图象如图. 12 / 15 （2）∵g（x）＝f（）＝∴f（x）＋g（x）＝ ＋ ＝＝ （x≠0）， ＝1， 即f（x）＋g（x）＝1（x≠0）. 27.已知函数f（x）＝mx2＋nx＋3m＋n是偶函数，且其定义域为[m－1,2m]. （1）求m，n的值； （2）求函数f（x）在其定义域上的最大值. 【答案】（1）∵函数f（x）＝mx＋nx＋3m＋n是偶函数， ∴函数的定义域关于原点对称， 又∵函数f（x）的定义域为[m－1,2m]. ∴m－1＋2m＝0，解得m＝， 又由f（－x）＝mx－nx＋3m＋n＝f（x）＝mx＋nx＋3m＋n， 可得n＝0. （2）由（1）得函数的解析式为f（x）＝x＋1，定义域为[－，]. 其图象是开口向上，且以y轴为对称轴的抛物线， 当x＝±时，f（x）取最大值. 28.已知函数f（x）＝ax＋＋c（a，b，c是常数）是奇函数，且满足f（1）＝，f（2）＝. （1）求a，b，c的值； （2）试判断函数f（x）在区间 【答案】（1）∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x）， 上的单调性并证明. 2 2 2 2 13 / 15 ∴－ax－＋c＝－ax－－c， ∴c＝0，∴f（x）＝ax＋. 又∵f（1）＝，f（2）＝， ∴ ∴a＝2，b＝. 综上，a＝2，b＝，c＝0. （2）由（1）可知f（x）＝2x＋. 函数f（x）在区间证明如下： 任取0 ∴f（x1）－f（x2）>0，f（x1）>f（x2）. ∴f（x）在 上为减函数. 2 上为减函数. －2x2－ 29.已知函数f（x）＝x＋2ax＋2，x∈[－5,5]. （1）当a＝－1时，求函数f（x）的最大值和最小值； （2）求实数a的取值范围，使y＝f（x）在区间[－5,5]上是单调函数. 【答案】（1）当a＝－1时，f（x）＝x2－2x＋2＝（x－1）2＋1. ∵x∈[－5,5]，故当x＝1时，f（x）的最小值为1， 当x＝－5时，f（x）的最大值为37. 14 / 15 （2）函数f（x）＝（x＋a）2＋2－a2的图象的对称轴为x＝－a. ∵f（x）在[－5,5]上是单调的， ∴－a≤－5或－a≥5. 即实数a的取值范围是a≤－5或a≥5. 30.已知y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f（x）＝2x－x，求y＝f（x）的解析式. 【答案】设x<0，则－x>0，因为f（x）是奇函数， 所以当x<0时， 2 f（x）＝－f（－x）＝－[2（－x）－（－x）2]＝2x＋x2. 因为y＝f（x）是R上的奇函数，所以f（0）＝0. 所以f（x）＝ 15 / 15 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容