函数对称性与周期性关系

函数对称性与周期性关系

【知识梳理】

一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)

1、 周期性：对于函数yf(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有

f(xT)f(x)都成立，那么就把函数yf(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。

如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义（略），请用图形来理解。 3、 对称性：

我们知道：偶函数关于y（即x=0）轴对称，偶函数有关系式 f(x)f(x)

奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式f(x)f(x)0

上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的

探讨：（1）函数yf(x)关于xa对称f(ax)f(ax)

f(ax)f(ax)也可以写成f(x)f(2ax) 或 f(x)f(2ax)

简证：设点(x1,y1)在yf(x)上，通过f(x)f(2ax)可知，y1f(x1)f(2ax1)，即

点(2ax1,y1)也在yf(x)上，而点(x1,y1)与点(2ax1,y1)关于x=a对称。得证。

若写成：f(ax)f(bx)，函数yf(x)关于直线x(ax)(bx)ab 对称

22 （2）函数yf(x)关于点(a,b)对称f(ax)f(ax)2b

上述关系也可以写成f(2ax)f(x)2b 或 f(2ax)f(x)2b

简证：设点(x1,y1)在yf(x)上，即y1f(x1)，通过f(2ax)f(x)2b可知，

f(2ax1)f(x1)2b，所以f(2ax1)2bf(x1)2by1，所以点(2ax1,2by1)也

在yf(x)上，而点(2ax1,2by1)与(x1,y1)关于(a,b)对称。得证。

若写成：f(ax)f(bx)c，函数yf(x)关于点(abc,) 对称 22 （3）函数yf(x)关于点yb对称:假设函数关于yb对称，即关于任一个x值，都有两个y值

与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于yb对称。但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现关于yb对称，比如圆c(x,y)xy40它会关于y=0对称。

4、 周期性：

（1）函数yf(x)满足如下关系系，则f(x)的周期为2T

word编辑文档

22.

A、f(xT)f(x) B、f(xT) C、f(x11 或f(xT)f(x)f(x)T1f(x)T1f(x))或f(x)（等式右边加负号亦成立） 21f(x)21f(x) D、其他情形 （2）函数yf(x)满足f(ax)f(ax)且f(bx)f(bx)，则可推出

f(x)f(2ax)f[b(2axb)]f[b(2axb)]f[x2(ba)]即可以得到yf(x)的周期为2(b-a)，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x轴两条直线对称，则

函数一定是周期函数”

（3）如果奇函数满足f(xT)f(x)则可以推出其周期是2T，且可以推出对称轴为xT2kT2(kz)，根据f(x)f(x2T)可以找出其对称中心为(kT，0)(kz)（以上T0）。如果偶

函数满足f(xT)f(x)则亦可以推出周期是2T，且可以推出对称中心为(T2kT,0)(kz)，2根据f(x)f(x2T)可以推出对称轴为xT2kT(kz) （以上T0）

（4）如果奇函数

yf(x)满足f(Tx)f(Tx)（T0），则函数yf(x)是以4T为周期

yf(x)满足f(Tx)f(Tx)（T0），则函数yf(x)是以

的周期性函数。如果偶函数2T为周期的周期性函数。

二、 两个函数的图象对称性

1、

yf(x)与yf(x)关于X轴对称。 yf(x)与yf(x)关于Y轴对称。

yf(x)与yf(2ax)关于直线xa对称。

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(x)，即它们关于y0对称。 2、

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(x)，即它们关于x0对称。 3、

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(2ax)，即它们关于xa对称。 4、 yf(x)与y2af(x)关于直线ya对称。

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(x)2a，即它们关于ya对称。 5、 yf(x)与y2bf(2ax)关于点(a,b)对称。

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(2ax)2b，即它们关于点(a,b)对称。

6、 yf(ax)与y(xb)关于直线xab对称。 2

word编辑文档

.

【典型例题】 1. 定义在R上的函数轴对称图形。反之，若函数

，若总有

的图象关于直线

成立，则函数

的图象是关于直线

成

成轴对称图形，则必有

推论，对于定义在R上的函数，若有称图形，反之亦真。

证明：若对关于

的对称点

，总有

，由

，设点

，则图象关于直线成轴对

，在

的图象上，点

，则点

图象关于直线

对称，反之证明略。

在函数的图象上，由的任意性知的

推论，由[例1] 已知的大小。

解：由

递减，在

知上递增。

关于

对称，故

，满足

且

显然 ，当

时，比较

与

，又由知，则在

当时， ∴ 即

当

word编辑文档

时， ∴ ，即

.

[例2] 函数的解析式为 。

的图象关于直线对称，且时，则当时，

解：依条件

，设，则，

故

[例3] 若的图象关于直线对称，则 。

A. B. C. D.

解：由

得

即

word编辑文档

.

∴

[例4] 设对任意，满足且方程恰有6个不同的实根，则此六个

实根之和为 。

A. 18 B. 12 C. 9 D. 0

解：依条件知图象关于直线对称，方程六个根必分布在对称轴

，所以

两侧，且两两对应

，

以（3，0）点为对称中心，故选A。

[例5] 设满足（1），（2）当时，是增函数，定义域，则下列不

等式成立的是（ ）

A.

B.

C.

word编辑文档

.

D.

解：由条件知图象关于直线成轴对称

，

又及时递增

∴ ，故选C

2. 对称性与周期性的关系

（1）若函数期函数。

（2）若函数函数。

证：（1）因

在R上的图象关于两条直线与对称，则为R上的周

在R上的图象关于直线与点对称，则为R上的周期

图象关于及对称，则得证

，，故

（2）由图象关于对称，有①

又由图象关于点对称，有，

∴ ，，即

以代有②

word编辑文档

.

由①和② ③

以代有

又由③式 得证

特别地，图象关于直线对称的偶函数必是周期函数

推论，定义在R上的函数满足

（1）当为偶函数时，是以为一个周期的周期函数。

（2）当为奇函数时，是以为一个周期的周期函数。

证：（1）

（2）

[例1] 已知定义在实数集R上的函数当

时，

，求

满足：（1）

时，

的解析式。

；（2）

；（3）

解：由（1）（2）知，对任

则

，，

[例2] 已知定义在实数集R上的函数当

时解析式

，求

满足：（1）上的解析式。

；（2）；（3）

word编辑文档

.

解：设

当时，，则

当时，，则

又为偶函数，知

从而

另法：当时，，

当

时，，

[例3] 函数问方程

定义在R上，且对一切在区间

满足，，设，

中至少有几个实根。

解：依条件上至少有二个根

∵

为函数的周期，，均为的根，因此在区间

由周期性可知也为的根

word编辑文档

.

所以方程

在区间中至少有

[例4] 若偶函数数，求证

以

，满足（1）图象关于直线对称，（2）在区间上是减函

为最小正周期。

证：依条件知为函数

的周期，假设函数还存在比更小的周期2，且

令，则

（1）若，则与在上是减函数矛盾

（2）若所以

是

，即

的最小正周期。

时，与在上是减函数矛盾，

[例5] 已知数）；（2）

是定义在实数集R上的偶函数，

试求

的值。

是R上的奇函数，又知（1）（是常

分析：条件（2）即，即关于点对称

又由是偶函数，故是以为周期的周期函数

解：由条件（2）知，令，则

word编辑文档

.

，故

所以

，即

为以4为周期的周期函数，又由，

word编辑文档