傅立叶变换

1、求图（a）中所示梯形信号的傅里叶变换

图（1）梯形信号的微分求解

解：求信号的频谱有多种解法，可按定义、微分性质等求解，下面列出几种解法

j F j小=ESa

1

4

（1）用微分性质求解

对梯形信号进行微分， 所得波形如图（b）所示，再利用微分性质和矩形脉冲信号的傅里叶变换可得：

■- 1

1 心厂亠行 F j •二 ESa 1

2sin 1

4 ⑷ 4

Sa'

此外，还可对梯形信号进行两次微分，所得波形如图（ 2）所示，再利用微分性质及冲激信号

的傅里叶变换可得1

2E

8E

2

sin

图（2）梯形信号的二次微分

（2）用线性性质求解

可以将梯形信号看作图（3）中两个三角形信号相减，即:

再利用三角形的变换式可求得:

图（3）梯形信号的三角形分解

（3）利用卷积性质求解

可将梯形信号看作两个脉宽不同的矩形脉冲的卷积，如图（

4）所示，即:

f t = fi t f2 t

般，若两个矩形的脉宽相同，则所得结果为三角形；若脉宽不同，则所得结果为梯形。此 时，梯形的脉宽等于两个矩形的脉宽和，而梯形的最大幅度等于两个矩形最大重叠区的面积。

2

这样，利用卷积性质可知

F j —Fi j. F2 j

而两个矩形信号的频谱分别为

Fi j

1

2

Sa

4

・

F \"=ESa -

-■ . -

4

因此，梯形信号的频谱为

-■.一十］ 八「亠〕

4

Sa

4

J '眇 1 -(E+ 珀”4 (百+©)/4 1

图（4）利用卷积性质求梯形信号的频谱

小结：在计算复杂信号的频谱时，尽量利用傅立叶变换的性质，将复杂信号通过卷积、微分等 基本运算转化为简单信号以后再计算这些简单信号的频谱，简化运算过程。

2、系统如下图所示。

pt 二 COS st

理想低通滤波器的频率特性为

已J； — 2飞-；—2 I八

3

求虚线框所示系统的冲激响应

ht ;

xt*

若输入信号

cos「°t ,求系统输出信号yt ；

xt —

若输入信号

sin -，ot，求系统输出信号y t ；

t)

时域相乘 /t)

系统框图

解: ⑴冲激响应定义为单位冲激信号激励下的零状态响应。为求得该系统的冲激响应，可

将输入信号设为冲激函数，而所求得的系统响应即冲激响应。

当x t时，由系统框图可得

h t - L t cos ‘0t 1 h| t

=g t

这里，h, t为理想低通滤波器的冲激响应。该式表明，所求系统的冲激响应和理想低通滤波 器的冲激响应相同。而由 H, j-可求得

⑵由输入信号心時)]

2

* )可知，x(t『个已调信号，其调制信号为

XT (心平2 •叫t 一

相当于对已调信号进行解调，，载波为 从而可以通过一个低通滤波器恢复出调制信号。gt),载波频率等于％。当xt谑过系统和心gt拥乘时 ,

分析求解较为方便。为此，可先求出调制信号

XT

t的频谱。

对这类问题，从频域

由于xT(t)是抽样函数的平方，即

Isi n(%tfl

si n(%t)si n(%t)

x心］吟匸

■c

t

'c

t

4

而抽样函数的频谱为一矩形脉冲，即

故调制信号xT t的频谱是这个矩形脉冲自身的卷积，其卷积结果是三角脉冲，即

1 JT 「

XT j

c

，

■<.['：'：亠心c _ ； .，- -

c

'C ] 2蛍c

-c

借助图解，可求得这个卷积的结果如下图所示。

卷积过程及波形

由于xt =XTt COS^ot ,根据傅里叶变换的调制定理，可求得已调信号的频谱为

A

X「=2 XT「■」0 • XT j —「0 1

F图是X（j；r）的示意图

JF/4( OC?

/\\

/\\ •

叫）-（y0 -（（u

0-2（uc）

输入信号的频谱

如果设解调出来的信号为 XB t，则XB G^xt cos 0t，其频谱为

XB j， =1 X 2 亠％ 訂亠 X j5 ]

1 1

匚 XT j

；X j 2 0 X j -2 0 I

5

通过理想低通后，所得信号频谱为

2X「「当输入为xt [罟

时，系统

的输出为

XT t 二

1 , yt =-

可见，上述系统是一个同步解调系统

刻4

叫”

-加％吃气)沁-I

1 -现

K

滤波器输入、输出频谱

(3)当系统输入xt = 竺 丄

-'ct

sin「肚时，按照 ⑵的求解过程，可以求得此时系统的输

出为0,之所以为0，其原因在于解调系统的本地载波 cos ■ 0t的相位和发送载波sin20t不同，两 者相差%，故而使得解调出来的信号在吗＜2oc频段内为0,故低通滤波器的输出也为 0。

小结：信号的调制过程为x^t )=x(t hcoS%t )，调制信号的频谱为 XT2 h-(X +%)+x[jg—%曲 2 也就是调制过程是将信号频谱搬移到 ⑷0和-％处。对于解调过程，XB(t )=XB(t ) COS^°t )， 所以解调信号的频谱为 X B ( j ⑷)=2 “XT j ® + 切0 2 + X T〔j (⑷-① o W =丄仪〔j(⑷ +2% 9+X —2% )} +」X(jB ) 4 此时，X Ij - -2 .0和X Ij -

2 2 0对应的是高频信号，所以只要对解调后的信号通过

6

一个 低通滤波器，就可以滤除频率分别为 而实现解调。因此，低通滤波器的系统函数为

■ ■ ■ 2 .0和■ ■ -2 .0的信号，而让信号通过，从

r A

1 © <©c 0 others

3、设某系统的系统函数为

\\2-

2

3

--■ j 3：' 亠 2

试求其冲击响应及输入为 解：因为

ft二； t时的零状态响应

j2「3

- ’2 j3辽：：2

所以冲击响应为

ht = e」e't ； t

当输入为ft二e」；t时，系统的零状态响应为

丫 j 二H j F j

1 1 1

= ------- + -------- | -----

lj^+1 j ⑷+ 2j+3 二 _2 1 _2 j， 1 j •

所以

2

「

3

1 -1 丄—2t 1 —31 I /. y(t )= —一e +e —一e 炉(t)

< 2 2丿

i t

7

小结：利用傅立叶变换性质中的卷积特性来求系统的零状态响应，综合表示为下列表达形式 y t 二 IFT iFT h t 1 FT f t 1丄 IFT H j ‘ F j ‘ 丨 zs通过逆变换求原始信号时，必须将信号的谱函数分解为单极点或重极点的形式，即 心： 丫 L y 序十 K2 - L2 2 」1 (J^ +Gii ) 此时，对应的时域信号为 Ki K2 '」2tes ；t yt i =1 张勺2 ；t i 4 8