老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现： 1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为
（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。例如：
（1）1，2，3，4，5，…，100； （2）1，3，5，7，9，…，99； （3）8，15，22，29，36，…，71。
其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。 由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式： 和=（首项+末项）×项数÷2。 例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？
分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。由等差数列求和公式可得 原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。 例2 11＋12＋13＋…＋31＝？
分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系，可以得到 项数=（末项-首项）÷公差+1， 末项=首项+公差×（项数-1）。 例3 3＋7＋11＋…＋99＝？
分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等差数列， 项数=（99－3）÷4＋1＝25， 原式=（3＋99）×25÷2＝1275。
例4 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。 解：末项=25＋3×（40-1）＝142， 和=（25＋142）×40÷2＝3340。
利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。
例5 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？
分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：
由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列。 解：（1）最大三角形面积为 （1＋3＋5＋…＋15）×12 ＝［（1＋15）×8÷2］×12 ＝768（厘米2）。 （2）火柴棍的数目为 3＋6＋9+…+24 ＝（3＋24）×8÷2=108（根）。
答：最大三角形的面积是768厘米2，整个图形由108根火柴摆成。
例6 盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓球？
分析与解：一只球变成3只球，实际上多了2只球。第一次多了2只球，第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球。因此拿了十次后，多了 2×1＋2×2＋…＋2×10 ＝2×（1＋2＋…＋10） ＝2×55＝110（只）。
加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）。 综合列式为： （3-1）×（1＋2＋…＋10）＋3 ＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）。
练习3
1.计算下列各题：
（1）2＋4＋6＋…＋200； （2）17＋19＋21＋…＋39； （3）5＋8＋11＋14＋…＋50； （4）3＋10＋17＋24＋…＋101。
2.求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。
3.求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。
4.时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。问：时钟一昼夜敲打多少次？
5.求100以内除以3余2的所有数的和。
6.在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个？ 答 案
1.（1）10100；（2）336；（3）440；（4）780。 2.1127。 提示：项数=（93-5）÷4+1=23。 3.2565。 提示：末项=13+5×（30-1）=158。 4.180次。 解：（1+2+…+12）×2+24=180（次）。 5.1650。 解：2+5+8+…+98=1650。 6.45个。
提示：十位数为1，2，…，9的分别有1，2，…，9个。 鸡兔同笼问题是按照题目的内容涉及到鸡与兔而命名的，它是一类有名的中国古算题。许多小学算术应用题，都可以转化为鸡兔同笼问题来加以计算。
例1 小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。问：小梅家的鸡与兔各有多少只？
分析：假设16只都是鸡，那么就应该有2×16＝32（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况多了44-32＝12（只）脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。如果我们以同样数量的兔去换同样数量的鸡，那么每换一只，头的数目不变，脚数增加了2只。因此只要算出12里面有几个2，就可以求出兔的只数。 解：有兔（44-2×16）÷（4-2）=6（只）， 有鸡16-6＝10（只）。 答：有6只兔，10只鸡。
当然，我们也可以假设16只都是兔子，那么就应该有4×16＝64（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况少了64－44＝20（只）脚，这是因为把鸡当作兔了。我们以鸡去换兔，每换一只，头的数目不变，脚数减少了4-2＝2（只）。因此只要算出20里面有几个2，就可以求出鸡的只数。 有鸡（4×16-44）÷（4-2）=10（只）， 有兔16——10＝6（只）。
由例1看出，解答鸡兔同笼问题通常采用假设法，可以先假设都是鸡，然后以兔换鸡；也可以先假设都是兔，然后以鸡换兔。因此这类问题也叫置换问题。
例2 100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍。问：大、小和尚各有多少人？
分析与解：本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得。如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。
假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多300－140＝160（个）。现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少3——1＝2（个），因为160÷2＝80，故小和尚有80人，大和尚有 100－80＝20（人）。
同样，也可以假设100人都是小和尚，同学们不妨自己试试。 在下面的例题中，我们只给出一种假设方法。
例3 彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，这两种文化用品共买了16套，用钱280元。问：两种文化用品各买了多少套？
分析与解：我们设想有一只“怪鸡”有1个头11只脚，一种“怪兔”有1个头19只脚，它们共有16个头，280只脚。这样，就将买文化用品问题转换成鸡兔同笼问题了。 假设买了16套彩色文化用品，则共需19×16＝304（元），比实际多304——280＝24（元），现在用普通文化用品去换彩色文化用品，每换一套少用19——11＝8（元），所以 买普通文化用品 24÷8=3（套）， 买彩色文化用品 16－3＝13（套）。
例4 鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只。问：鸡、兔各多少只？
分析：假设100只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚200只，而兔的脚数为零。这样鸡脚比兔脚多200只，而实际上只多20只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多200——20=180（只）。
现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4＋2＝6（只），而180÷6＝30，因此有兔子30只，鸡100——30＝70（只）。 解：有兔（2×100——20）÷（2＋4）＝30（只）， 有鸡100——30=70（只）。 答：有鸡70只，兔30只。
例5 现有大、小油瓶共50个，每个大瓶可装油4千克，每个小瓶可装油2千克，大瓶比小瓶共多装20千克。问：大、小瓶各有多少个？
分析：本题与例4非常类似，仿照例4的解法即可。 解：小瓶有（4×50-20）÷（4＋2）＝30（个）， 大瓶有50-30＝20（个）。
答：有大瓶20个，小瓶30个。
例6 一批钢材，用小卡车装载要45辆，用大卡车装载只要36辆。已知每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，那么这批钢材有多少吨？
分析：要算出这批钢材有多少吨，需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨。
利用假设法，假设只用36辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，所以要剩下4×36=144（吨）。根据条件，要装完这144吨钢材还需要45-36=9（辆）小卡车。这样每辆小卡车能装144÷9＝16（吨）。由此可求出这批钢材有多少吨。 解：4×36÷（45-36）×45＝720（吨）。 答：这批钢材有720吨。
例7 乐乐百货商店委托搬运站运送500只花瓶，双方商定每只运费0.24元，但如果发生损坏，那么每打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿1.26元，结果搬运站共得运费115.5元。问：搬运过程中共打破了几只花瓶？ 分析：假设500只花瓶在搬运过程中一只也没有打破，那么应得运费0.24×500=120（元）。实际上只得到115.5元，少得120-115.5=4.5（元）。搬运站每打破一只花瓶要损失0.24＋1.26＝1.5（元）。因此共打破花瓶4.5÷1.5＝3（只）。 解：（0.24×500－115.5）÷（0.24＋1.26）＝3（只）。 答：共打破3只花瓶。
例8 小乐与小喜一起跳绳，小喜先跳了2分钟，然后两人各跳了3分钟，一共跳了780下。已知小喜比小乐每分钟多跳12下，那么小喜比小乐共多跳了多少下？
分析与解：利用假设法，假设小喜的跳绳速度减少到与小乐一样，那么两人跳的总数减少了 12×（2＋3）＝60（下）。 可求出小乐每分钟跳 （780——60）÷（2＋3＋3）＝90（下）， 小乐一共跳了90×3=270（下），因此小喜比小乐共多跳
780——270×2＝240（下）。 练习13
1．鸡、兔共有头100个，脚350只，鸡、兔各有多少只？
2．学校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120个学生进行活动。问：象棋与跳棋各有多少副？
3．班级购买活页簿与日记本合计32本，花钱74元。活页簿每本1.9元，日记本每本3.1元。问：买活页簿、日记本各几本？
4．龟、鹤共有100个头，鹤腿比龟腿多20只。问：龟、鹤各几只？
5．小蕾花40元钱买了14张贺年卡与明信片。贺年卡每张3元5角，明信片每张2元5角。问：贺年卡、明信片各买了几张？
6．一个工人植树，晴天每天植树20棵，雨天每天植树12棵，他接连几天共植树112棵，平均每天植树14棵。问：这几天中共有几个雨天？
7．振兴小学六年级举行数学竞赛，共有20道试题。做对一题得5分，没做或做错一题都要扣3分。小建得了60分，那么他做对了几道题？
8．有一批水果，用大筐80只可装运完，用小筐120只也可装运完。已知每只大筐比每只小筐多装运20千克，那么这批水果有多少千克？
9．蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现有三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀。问：每种小虫各有几只？
10．鸡、兔共有脚100只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚92只。问：鸡、兔各几只？
1.兔75只，鸡25只。
2.象棋9副，跳棋17副。
3.活页簿21本，日记本11本。 4.30只龟，70只鹤。
5.贺年卡5张，明信片9张。 6.6天。 7.15道。 8.4800千克。 解：［（80×20）÷（120-80）］×120＝4800（千克）。 9.5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蝉。
提示：把小虫分成8条腿与6条腿两种，先求出蜘蛛的数。 10.兔18只，鸡14只。
解：由于鸡换成兔，兔换成鸡，脚的只数少了8只，故原来的兔比鸡多4只。减去这4只兔，则鸡、兔一样多，并且共有脚100-4×4=84（只），所以， 鸡有84÷（4+2）=14（只）， 兔有14+4=18（只）。 （1） 5678+1999= （2） 8765-1998= 2，（8641+8642+8643+8641+8643+8638+8639）÷7= 3，（1）99999×22222+33333×33334= （2）66666×10001+66666×6666= 4，（1）2+4+6+8+10+12+…………+96+98+100=
（2）1000+999-998+997+996-995+…………+106+105-104+103+102-101=
5，在19和91之间插入5个数，使这7个数构成一个等差数列，写出插入的5个数。 6，判断：12+13+14+……+86+87的和是一个奇数还是一个偶数
7，19991999×19991998-19992000×19991997= 8，19981999×19991998-19981998×19991999= 答 案
1计算 （1）5678+1999=5678+（2000-1）=5678+2000-1 =7677 （2） 8765-1998 =8765-(2000-2) =8765-2000+2 =6768 2，（8641+8642+8643+8641+8643+8638+8639）÷7
=(8640+1+8640+2+8640+3+8640+1+8640+3+8640-2+8640-1) ÷7 =(8640 ×7+7) ÷7 =8641×7÷7 =8641 3，（1）99999×22222+33333×33334 =33333×66666+33333×33334 =33333×(66666+33334) =33333 ×100000 =3333300000 （2）66666×10001+66666×6666 =11111×（6×10001+6×6666） =11111×100002 =1111122222 4，（1）2+4+6+8+10+12+…………+96+98+100 =(2+100) ×50÷2 =2550
（2）1000+999-998+997+996-995+…………+106+105-104+103+102-101 =165750(把3个数看成一组 计算出结果 结果是一个等差数列)
5，在19和91之间插入5个数，使这7个数构成一个等差数列，写出插入的5个数。 答案：31 43 55 67 79
6，判断：12+13+14+……+86+87的和是一个奇数还是一个偶数
答案：偶数 把数分为2组 一组奇 一组偶 发现奇有38个 偶数有37个 加起来还是偶数 7，19991999×19991998-19992000×19991997 =19991999×（19991999-1）-（19991999+1）×(19991999-2) =2
8，19981999×19991998-19981998×19991999 =(19981998+1) ×(19991999-1)-19981998×19991999 =10000
9+99+999+9999+99999=
2，199999+19999+1999+199+19= 3，（2+4+6+8+10+……+1886+1888）—（1+3+5+7+9+……+1885+1887）= 4，9999×2222＋3333×3334＝ 5，56×32＋56×27＋56×96－56×57＋56＝ 6，98766×98768－98765×98769＝
1， 计算9＋99＋999＋9999＋99999
解：在涉及所有数字都是9的计算中，常使用凑整法.例如将999化成1000—1去计算.这是小学数学中常用的一种技巧. 9＋99＋999＋9999＋99999
＝（10－1）＋（100-1）＋（1000－1）＋（10000-1）＋（100000-1） ＝10＋100＋1000＋10000＋100000-5 ＝111110-5 ＝111105.
2， 计算199999＋19999＋1999＋199＋19
解：此题各数字中，除最高位是1外，其余都是9，仍使用凑整法.不过这里是加1凑整.（如 199＋1＝200）
199999＋19999＋1999＋199＋19
＝（19999＋1）＋（19999＋1）＋（1999＋1）＋（199＋1）＋（19＋1）－5 ＝200000＋20000＋2000＋200＋20-5 ＝222220-5 ＝22225.
3，计算（2+4+6+…+996+998+1000）－－（1+3+5+…+995+997+999）
分析：题目要求的是从2到1000的偶数之和减去从1到999的奇数之和的差，如果按照常规的运算法则去求解，需要计算两个等差数列之和，比较麻烦。但是观察两个扩号内的对应项，可以发现2－1=4－3=6－5=…1000－999=1，因此可以对算式进行分组运算。 解：解法一、分组法
（2+4+6+…+996+998+1000）－（1+3+5+…+995+997+999）
=（2－1）+（4－3）+（6－5）+…+（996－995）+（998－997）+（1000－999） =1+1+1+…+1+1+1（500个1） =500
解法二、等差数列求和
（2+4+6+…+996+998+1000）－（1+3+5+…+995+997+999） =（2+1000）×500÷2－（1+999）×500÷2 =1002×250－1000×250 =（1002－1000）×250 =500
4，计算 9999×2222＋3333×3334
解：此题如果直接乘，数字较大，容易出错.如果将9999变为3333×3，规律就出现了. 9999×2222＋3333×3334 ＝3333×3×2222＋3333×3334 ＝3333×6666＋3333×3334 ＝3333×（6666＋3334） ＝3333×10000 ＝33330000. 5，56×3+56×27+56×96-56×57+56 分析：乘法分配律同样适合于多个乘法算式相加减的情况，在计算加减混合运算时要特别注意，提走公共乘数后乘数前面的符号。同样的，乘法分配率也可以反着用，即将一个乘数凑成一个整数，再补上他们的和或是差。 56×3+56×27+56×96-56×57+56
=56×（32+27+96－57+1） =56×99 =56×（100－1） =56×100－56×1 =5600－56 =5544
6，计算98766×98768－98765×98769
分析：将乘数进行拆分后可以利用乘法分配律，将98766拆成（98765+1），将98769拆成（98768+1），这样就保证了减号两边都有相同的项。 解：98766×98768－98765×98769 =（98765+1）×98768－98765×（98768+1） =98765×98768+98768－（98765×98768+98765） =98765×98768+98768－98765×98768-98765 =98768－98765 =3
1．仔细观察每一排数的排列有什么规律，然后按规律在（ ）内填上适当的数． （1）2，4，8，16，（ ），64． （2）1，4，9，16，（ ），36，49．64． （3）1，4，7，10，13，（ ），19，21． （4）1，4，16，64，（ ），1024，4096． （5）2，3，5，9，17，（ ），65，129． 2．在○中填数：已知9999÷9=1111，想一想：在○中填上什么数字，才能使下面的等式成立？ （1）○999○÷9=2222； （2）○999○÷9=3333； （3）○999○÷9=4444； （4）○999○÷9=7777； （5）○999○÷9=9999． 答 案
1.（1） 32（2） 25（3） 16（4） 256（5）33
2.（1）19998（2）29997（3） 39996（4） 69993（5）89991
口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。问：一次最少摸出几个球，才能保证至少有4个小球颜色相同？
2，口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共18个。其中红球3个、黄球5个、蓝球10个。现在一次从中任意取出n个，为保证这n个小球至少有5个同色，n的最小值是多少？
3，一排椅子只有15个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，他无论坐在哪个座位，都将与已就座的人相邻。问：在乐乐之前已就座的最少有几人？
4，一把钥匙只能开一把锁，现有10把钥匙和10把锁，最少要试验多少次就一定能使全部的钥匙和锁相匹配？
5，在一副扑克牌中，最少要取出多少张，才能保证取出的牌中四种花色都有？ 、123+234+345+456+567+678= 2、4999+499+49= 3、25×（877+872+871+876）＝ 4、888×（99+25+1）＝
5、65×128+174×65－65×202＝ 答 案 1.2403 2.5547 3.87400 4.111000 5.6500
、31+46+32+47+33+48+34+49＝ 2、125×7×64÷8＝
3、1+2-3+4+5-6+7+8-9+10+11-12+……+58+59-60＝ 4、90÷（9÷8）÷（8÷7）÷（7÷6）÷（6÷5）＝ 答 案 1、320 2、7000 3、570 4、50
（1） 5678+1999= （2） 8765-1998= 2，（8641+8642+8643+8641+8643+8638+8639）÷7= 3，（1）99999×22222+33333×33334= （2）66666×10001+66666×6666= 4，（1）2+4+6+8+10+12+…………+96+98+100=
（2）1000+999-998+997+996-995+…………+106+105-104+103+102-101=
5，在19和91之间插入5个数，使这7个数构成一个等差数列，写出插入的5个数。 6，判断：12+13+14+……+86+87的和是一个奇数还是一个偶数 7，19991999×19991998-19992000×19991997= 8，19981999×19991998-19981998×19991999= 答 案
1计算 （1）5678+1999=5678+（2000-1）=5678+2000-1 =7677 （2） 8765-1998 =8765-(2000-2) =8765-2000+2 =6768 2，（8641+8642+8643+8641+8643+8638+8639）÷7
=(8640+1+8640+2+8640+3+8640+1+8640+3+8640-2+8640-1) ÷7 =(8640 ×7+7) ÷7 =8641×7÷7 =8641 3，（1）99999×22222+33333×33334 =33333×66666+33333×33334 =33333×(66666+33334) =33333 ×100000 =3333300000
（2）66666×10001+66666×6666 =11111×（6×10001+6×6666） =11111×100002 =1111122222 4，（1）2+4+6+8+10+12+…………+96+98+100 =(2+100) ×50÷2 =2550
（2）1000+999-998+997+996-995+…………+106+105-104+103+102-101 =165750(把3个数看成一组 计算出结果 结果是一个等差数列)
5，在19和91之间插入5个数，使这7个数构成一个等差数列，写出插入的5个数。 答案：31 43 55 67 79
6，判断：12+13+14+……+86+87的和是一个奇数还是一个偶数
答案：偶数 把数分为2组 一组奇 一组偶 发现奇有38个 偶数有37个 加起来还是偶数 7，19991999×19991998-19992000×19991997 =19991999×（19991999-1）-（19991999+1）×(19991999-2) =2
8，19981999×19991998-19981998×19991999 =(19981998+1) ×(19991999-1)-19981998×19991999 =10000
例1 节日的夜景真漂亮，街上的彩灯按照5盏红灯、再接4盏蓝灯、再接3盏黄灯，然后又是5盏红灯、4盏蓝灯、3盏黄灯、……这样排下去。问： （1）第100盏灯是什么颜色？
（2）前150盏彩灯中有多少盏蓝灯？
分析与解：这是一个周期变化问题。彩灯按照5红、4蓝、3黄，每12盏灯一个周期循环出现。
（1）100÷12＝8……4，所以第100盏灯是第9个周期的第4盏灯，是红灯。
（2）150÷12=12……6，前150盏灯共有12个周期零6盏灯，12个周期中有蓝灯4×12＝48（盏），最后的6盏灯中有1盏蓝灯，所以共有蓝灯48＋1=49（盏）。
例2 有一串数，任何相邻的四个数之和都等于25。已知第1个数是3，第6个数是6，第11个数是7。问：这串数中第24个数是几？前77个数的和是多少？
分析与解：因为第1，2，3，4个数的和等于第2，3，4，5个数的和，所以第1个数与第5个数相同。进一步可推知，第1，5，9，13，…个数都相同。
同理，第2，6，10，14，…个数都相同，第3，7，11，15，…个数都相同，第4，8，12，16…个数都相同。
也就是说，这串数是按照每四个数为一个周期循环出现的。所以，第2个数等于第6个数，是6；第3个数等于第11个数，是7。前三个数依次是3，6，7，第四个数是 25-（3+6+7）=9。
这串数按照3，6，7，9的顺序循环出现。第24个数与第4个数相同，是9。由77÷4＝9……1知，前77个数是19个周期零1个数，其和为25×19+3=478。
例3 下面这串数的规律是：从第3个数起，每个数都是它前面两个数之和的个位数。问：这串数中第88个数是几？ 628088640448… 分析与解：这串数看起来没有什么规律，但是如果其中有两个相邻数字与前面的某两个相邻数字相同，那么根据这串数的构成规律，这两个相邻数字后面的数字必然与前面那两个相邻
数字后面的数字相同，也就是说将出现周期性变化。我们试着将这串数再多写出几位：
当写出第21，22位（竖线右面的两位）时就会发现，它们与第1，2位数相同，所以这串数按每20个数一个周期循环出现。由88÷20=4……8知，第88个数与第8个数相同，所以第88个数是4。
从例3看出，周期性规律有时并不明显，要找到它还真得动点脑筋。
例4 在下面的一串数中，从第五个数起，每个数都是它前面四个数之和的个位数字。那么在这串数中，能否出现相邻的四个数是“2000”？ 135761939237134…
分析与解：无休止地将这串数写下去，显然不是聪明的做法。按照例3的方法找到一周期，因为这个周期很长，所以也不是好方法。那么怎么办呢？仔细观察会发现，这串数的前四个数都是奇数，按照“每个数都是它前面四个数之和的个位数字”，如果不看具体数，只看数的奇偶性，那么将这串数依次写出来，得到 奇奇奇奇偶奇奇奇奇偶奇…… 可以看出，这串数是按照四个奇数一个偶数的规律循环出现的，永远不会出现四个偶数连在一起的情况，即不会出现“2000”。
例5 A，B，C，D四个盒子中依次放有8，6，3，1个球。第1个小朋友找到放球最少的盒子，然后从其它盒子中各取一个球放入这个盒子；第2个小朋友也找到放球最少的盒子，然后也从其它盒子中各取一个球放入这个盒子……当100位小朋友放完后，A，B，C，D四个盒子中各放有几个球？
分析与解：按照题意，前六位小朋友放过后，A，B，C，D四个盒子中的球数如下表：
可以看出，第6人放过后与第2人放过后四个盒子中球的情况相同，所以从第2人放过后，每经过4人，四个盒子中球的情况重复出现一次。 （100-1）÷4＝24……3，
所以第100次后的情况与第4次（3＋1＝4）后的情况相同，A，B，C，D盒中依次有4，6，3，5个球。 练习7
1．有一串很长的珠子，它是按照5颗红珠、3颗白珠、4颗黄珠、2颗绿珠的顺序重复排列的。问：第100颗珠子是什么颜色？前200颗珠子中有多少颗红珠？
2．将1，2，3，4，…除以3的余数依次排列起来，得到一个数列。求这个数列前100个数的和。
3．有一串数，前两个数是9和7，从第三个数起，每个数是它前面两个数乘积的个位
数。这串数中第100个数是几？前100个数之和是多少？
4．有一列数，第一个数是6，以后每一个数都是它前面一个数与7的和的个位数。这列数中第88个数是几？
5．小明按1～3报数，小红按1～4报数。两人以同样的速度同时开始报数，当两人都报了100个数时，有多少次两人报的数相同？
6．A，B，C，D四个盒子中依次放有9，6，3，0个小球。第1个小朋友找到放球最多的盒子，从中拿出3个球放到其它盒子中各1个球；第2个小朋友也找到放球最多的盒子，也从中拿出3个球放到其它盒子中各1个球……当100个小朋友放完后，A，B，C，D四个盒子中各放有几个球？ 答 案
1.红；74颗。
2.100。 提示：数列是1，2，0，1，2，0，1，2，0，…，以1，2，0三个数为周期循环出现。
3.1；436。
提示：这串数按9，7，3，1，3，3六个数循环出现。 4.5。
提示：这列数按6，3，0，7，4，1，8，5，2，9循环出现。 5.27次。 提示：每报12个数有3个数相同。 6.5，6,，3，4。 提示：解法同例5。
，姐姐步行的速度是75米/分，妹妹步行的速度是65米/分.在妹妹出发20分钟后，姐姐出发去追赶妹妹.问：多少分钟后能追上？
2，小张和小王，分别从甲、乙两村同时出发步行，1小时15分后，小张走了甲、乙两村间的距离的一半还多0.75千米，此时与小王相遇.小王的速度是3.7千米/小时，那么小张的速度是多少？（单位用千米/小时）
3，小张从家到公园，原打算每分种走50米.为了提早10分钟到，他把速度加快，每分钟走75米.问家到公园多远？
4，一辆自行车在前面以固定的速度行进，有一辆汽车要去追赶.如果速度是30千米/小时，要1小时才能追上；如果速度是 35千米/小时，要 40分钟才能追上.问自行车的速度是多少？ 5，小张从甲地到乙地，每小时步行5千米，小王从乙地到甲地，每小时步行4千米.两人同时出发，然后在离甲、乙两地的中点1千米的地方相遇，求甲、乙两地间的距离. 答 案
1，解：妹妹出发后走了：65×20=1300米 姐姐每分钟比妹妹多走：75-65=10米 所以追1300米需要：1300÷（75－65）＝130分钟
2，解：当两人相遇的时候。花了1.25小时。小张比小王多走了0.75×2=1.5千米。 所以小张比小王每小时多行：1.5÷1.25=1.2千米 所以小张的速度=3.7+1.2=4.9千米/小时
3，解：假设另有一人，比小张早10分钟出发.考虑小张以75米/分钟速度去追赶，追上所需时间是 50 ×10÷（75- 50）＝ 20（分钟）· 因此，小张走的距离是 75× 20＝ 1500（米）. 4，解：自行车1小时走了30×1－已超前距离，自行车40分钟走了35×（40/60）－已超前距离，自行车多走了20分钟走了30－35×（40/60）
因此自行车的速度是[30－35×（40/60）÷（20/60）=（20千米/小时）
5，解：小张比小王每小时多走（5-4）千米，从出发到相遇所用的时间是 2÷（5-4）＝2（小时）. 因此，甲、乙两地的距离是 （5＋ 4）×2＝18（千米）.
，甲、乙二人分别从相距30千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，问：二人几小时后相遇？
2，小丽家距学校3千米，晚上6点整的时候，小丽从学校回家，妈妈从家去学校，妈妈骑车每分钟行175米，小丽走路每分钟行75米，问两人什么时候会相遇呢？
3，王强开车从北京去天津，每小时60千米，李明开车从天津来北京，每小时50千米，两人同时出发，经过40分钟，在途中相遇，问：北京到天津距离多少千米？
4，甲乙两地相距150千米，两辆汽车同时从甲地开往乙地，第一辆汽车的速度为40千米/小时，第二辆汽车的速度为35千米/小时，第一辆车到达乙地后立刻返回甲地方，途中与第二辆车相遇。问：从他们出发到相遇经过了多长时间？
5，甲乙两车分别从A、B两城相向而行，甲车每小时行70千米，乙车每小时行65千米，两车相遇点距离全程中点20千米，求全程长多少千米 ?
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