[配套k12学习]2018北师大版高中数学必修二学案：第二章 章末复习课(二)

学习目标 1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.培养综合运用知识解决问题的能力，能灵活、熟练运用待定系数法求解圆的方程，能解决直线与圆的综合问题，并学会运用数形结合的数学思想．

1．圆的方程

(1)圆的标准方程：________________________. (2)圆的一般方程：________________________. 2．点和圆的位置关系

设点P(x0，y0)及圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (1)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点P________. (2)(x0－a)2＋(y0－b)2设直线l与圆C的圆心之间的距离为d，圆的半径为r，则d____r→相离；d____r→相切；d____r→相交． 4．圆与圆的位置关系

设C1与C2的圆心距为d，半径分别为r1与r2，则

位置关系 图示 d与r1，r2的关系 5.求圆的方程时常用的四个几何性质

d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|配套K12学习（小初高）

6．与圆有关的最值问题的常见类型

y－b

(1)形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．

x－a(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．

(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点距离的平方的最值问题． 7．计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法

运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算． (2)代数方法

运用根与系数的关系及弦长公式 |AB|＝1＋k2|xA－xB| ＝1＋k2[xA＋xB2－4xAxB].

注：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法． 8．空间中两点的距离公式

空间中点P1(x1，y1，z1)，点P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2|＝________________________.

类型一 求圆的方程

例1 根据条件求下列圆的方程．

(1)求经过A(6,5)，B(0,1)两点，并且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上的圆的方程；

(2)求半径为10，圆心在直线y＝2x上，被直线x－y＝0截得的弦长为42的圆的方程．

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反思与感悟 求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法求解，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为： 第一步：选择圆的方程的某一形式．

第二步：由题意得a，b，r(或D，E，F)的方程(组)． 第三步：解出a，b，r(或D，E，F)． 第四步：代入圆的方程．

注：解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量，例如：圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；当两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦；当两圆相切时，连心线过切点等．

跟踪训练1 如图所示，圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2，则圆C的标准方程为________．

类型二 直线与圆的位置关系

例2 已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4. (1)求过M点的圆的切线方程；

(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值；

(3)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为23，求a的值．

反思与感悟 当直线与圆相交时，常涉及到弦长问题，弦长的计算有以下两种思路 (1)代数方法：将直线和圆的方程联立得方程组，消元后得到一个一元二次方程，在判别式Δ>0配套K12学习（小初高）

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的前提下，可利用根与系数的关系求弦长．

(2)几何方法：若弦心距为d，圆半径为r，则弦长为l＝2

r2－d2.

解决直线与圆相交问题时，常利用几何方法，即构造直角三角形，利用勾股定理，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，圆心和切点的连线垂直于切线． 跟踪训练2 已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0. (1)若直线l过点P，且被圆C截得的线段长为43，求l的方程； (2)求过P点的圆C弦的中点的轨迹方程．

类型三 圆与圆的位置关系

例3 已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0. (1)m取何值时两圆外切？ (2)m取何值时两圆内切？

(3)当m＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．

跟踪训练3 已知两个圆C1：x2＋y2＝4，C2：x2＋y2－2x－4y＋4＝0，直线l：x＋2y＝0，求经过C1和C2的交点且和l相切的圆的方程．

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类型四 数形结合思想的应用

例4 曲线y＝1＋4－x2与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是( ) 5

A．(0，)

1213C．(，]

34

5

B．(，＋∞)

1253D．(，]

124

反思与感悟 数形结合思想在解析几何中的应用极其广泛，利用数形结合的思想解题，能把抽象的数量关系与直观的几何图形建立起关系，从而使问题在解答过程中更加形象化、直观化，而本章的相关知识整体体现了这种思想，即把几何问题代数化，同时利用代数(方程)的思想反映几何问题．

y

跟踪训练4 已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则的最大值为________，最小值

x为________．

5

1．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是( )

42

A．a＜－2或a＞

3C．a＞1

2

B．－＜a＜2

3D．a＜1

2．以点(－3,4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是( ) A．(x－3)2＋(y＋4)2＝16 B．(x＋3)2＋(y－4)2＝16 C．(x－3)2＋(y＋4)2＝9 D．(x＋3)2＋(y－4)2＝9

3．过点P(－3，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是( ) A．0°＜α≤30° C．0°≤α≤30°

B．0°＜α≤60° D．0°≤α≤60°

4．两圆x2＋y2－6x＋16y－48＝0与x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线的条数为( ) A．4 C．2

B．3 D．1

5．已知直线x－my＋3＝0和圆x2＋y2－6x＋5＝0. 配套K12学习（小初高）

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(1)当直线与圆相切时，求实数m的值；

210

(2)当直线与圆相交，且所得弦长为时，求实数m的值．

5

圆是非常特殊的几何图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，它的许多几何性质在解决圆的问题时往往起到事半功倍的作用，所以在实际解题中常用几何法，充分结合圆的平面几何性质．那么，经常使用的几何性质有

(1)圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线垂直于切线；切线在切点处的垂线一定经过圆心；圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形的三个顶点等等．

(2)直线与圆相交的弦的有关性质：相交弦的中点与圆心的连线垂直于弦所在直线；弦的垂直平分线(中垂线)一定经过圆心；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的三边，满足勾股定理．

(3)与直径有关的几何性质：直径是圆的最长的弦；圆的对称轴一定经过圆心；直径所对的圆周角是直角．

答案精析

知识梳理

1．(1)(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (2)x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 2．(1)在圆外 (2)在圆内 (3)在圆上 3．> ＝ <

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配套K12学习（小初高） 8.x2－x12＋y2－y12＋z2－z12 题型探究

例1 解 (1)由题意知，线段AB的垂直平分线方程为 3x＋2y－15＝0，

3x＋2y－15＝0，∴由

3x＋10y＋9＝0，x＝7，解得

y＝－3，

∴圆心C(7，－3)，半径为r＝|AC|＝65. ∴所求圆的方程为(x－7)2＋(y＋3)2＝65. (2)方法一 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 则圆心坐标为(a，b)，半径为r＝10， |a－b|圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离为d＝.

2由半弦长，弦心距，半径组成直角三角形，得 4222

d2＋()＝r，

2a－b2即＋8＝10，

2∴(a－b)2＝4. 又∵b＝2a，

∴a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4， ∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10 或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.

方法二 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝10， ∵圆心C(a，b)在直线y＝2x上， ∴b＝2a.

由圆被直线x－y＝0截得的弦长为42， 配套K12学习（小初高）

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将y＝x代入(x－a)2＋(y－b)2＝10， 得2x2－2(a＋b)x＋a2＋b2－10＝0. 设直线y＝x交圆C于点A(x1，y1)， B(x2，y2)， 则|AB|＝＝

x1－x22＋y1－y22

2[x1＋x22－4x1x2]＝42，

∴(x1＋x2)2－4x1x2＝16.

a2＋b2－10

∵x1＋x2＝a＋b，x1x2＝，

2∴(a＋b)2－2(a2＋b2－10)＝16， 即a－b＝±2.

a＝2，a＝－2，又∵b＝2a，∴或

b＝4b＝－4.

∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10 或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.

跟踪训练1 (x－1)2＋(y－2)2＝2 例2 解 (1)圆心C(1,2)，半径为r＝2. ①当直线的斜率不存在时，方程为x＝3.

由圆心C(1,2)到直线x＝3的距离为d＝3－1＝2＝r知，此时直线与圆相切． ②当直线的斜率存在时，设方程为y－1＝k(x－3)， 即kx－y＋1－3k＝0.

|k－2＋1－3k|3

由题意知，＝2，解得k＝. 4k2＋13

∴方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.

4故过M点的圆的切线方程为x＝3 或3x－4y－5＝0.

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|a－2＋4|4

(2)由题意有＝2，解得a＝0或a＝. 3a2＋1(3)∵圆心到直线ax－y＋4＝0的距离为

|a＋2|a＋1

2

，

|a＋2|2332＋2

∴＝4，解得a＝－.

4a2＋12

跟踪训练2 解

(1)如图所示，|AB|＝43，设D是线段AB的中点，则CD⊥AB， ∴|AD|＝23，|AC|＝4. 在Rt△ACD中，可得|CD|＝2.

设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0. 由点C到直线AB的距离为 |－2k－6＋5|3

＝2，得k＝，

4k2＋1此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0.

又∵当直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0， ∴所求直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0. (2)设过P点的圆C弦的中点为D(x，y)， 则CD⊥PD，所以kCD·kPD＝－1， y－6y－5

即·＝－1， x＋2x

化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.

例3 解 圆Q1：x2＋y2－2x－6y－1＝0可化为(x－1)2＋(y－3)2＝11， 圆Q2化为(x－5)2＋(y－6)2＝61－m， 配套K12学习（小初高）

配套K12学习（小初高） 两圆圆心距离 |Q1Q2|＝5－12＋6－32＝5.

(1)当两圆外切时， |Q1Q2|＝11＋即5＝11＋

61－m， 61－m.

解得m＝25＋1011. (2)当两圆内切时， |Q1Q2|＝|11－因为11<5， 所以|Q1Q2|＝所以5＝61－m－11， 61－m|，

61－m－11，

所以m＝25－1011. (3)当m＝45时，由两圆方程相减，得公共弦方程为 x2＋y2－2x－6y－1－x2－y2＋10x＋12y－m＝0， 即4x＋3y－23＝0. 圆心Q1到公共弦的距离为 |4×1＋3×3－23|d＝＝2，

224＋3

所以公共弦长为2＝2

2

r21－d

112－22＝27. 跟踪训练3 解 将两圆的方程C1：x2＋y2＝4，C2：x2＋y2－2x－4y＋4＝0相减，得x＋2y－4＝0，将x＝4－2y代入C1：x2＋y2＝4，得5y2－16y＋12＝0， 6

解得y1＝2，y2＝，

58

得x1＝0，x2＝，

5

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86

所以圆与圆的交点坐标分别为(0,2)，(，)．

55设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 依题意，

68－a＋－b＝r， ②

5得5

|a＋2b|5＝r， ③

2

2

2

0－a2＋2－b2＝r2， ①

15由①②消去r2，得b＝2a，代入③式，得r＝5a，代入①式⇒a＝，b＝1，r＝，

2215

所以圆的方程为(x－)2＋(y－1)2＝.

24例4 D [首先明确曲线y＝1＋

4－x2表示半圆，

53

由数形结合可得＜k≤.]

124跟踪训练4 当堂训练

1．D 2.B 3.D 4.C

5．解 (1)因为圆x2＋y2－6x＋5＝0可化为(x－3)2＋y2＝4，所以圆心坐标为(3,0)． 因为直线x－my＋3＝0与圆相切，所以解得m＝±22. (2)圆心(3,0)到直线x－my＋3＝0的距离为d＝

|3＋3|1＋m

. |3＋3|1＋m

＝2，

3 －3

2

2

由2

4－

|3＋3|

1＋m2

2＝

210

， 5

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得2＋2m2＝20m2－160，即m2＝9. 故m＝±3.

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