河南省许昌市鄢陵一中2014-2015学年高一上学期第一次月考数学试卷（B卷）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（5分）方程组
的解集是（）
A． {（5，4）} B． {（﹣5，﹣4）} C． {（﹣5，4）} D．{（5，﹣4）} 2．（5分）若集合M={a，b，c}中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（） A． 锐角三角形 B． 直角三角形 C． 钝角三角形 D．等腰三角形
3．（5分）已知集合A={x|ax+2x+a=0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（） A． 1 B． ﹣1 C． 0，1 D．﹣1，0，1 4．（5分）设集合A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＞a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是（） A． a＜2 B． a≤2 C． a＞﹣1 D．﹣1＜a≤2 5．（5分）下列图形中，不能表示以x为自变量的函数图象的是（）
2
A． B．
C． D．
6．（5分）若f（x）=2x+3，g（x+2）=f（x），则g（x）的表达式为（） A． g（x）=2x+1 B． g（x）=2x﹣1 C． g（x）=2x﹣3 D．g（x）=2x+7
7．（5分）若f（x）满足关系式f（x）+2f（）=3x，则f（2）的值为（） A． 1
B． ﹣1 C． ﹣ D．
8．（5分）已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x﹣1）的定义域为（） A． （﹣1，1）
9．（5分）若f（x）= A． 10，6
B． 10，8
2
B． （0，） C． （﹣1，0） D．（，1）
，则f（x）的最大值，最小值分别为（） C． 8，6
3
D．8，8
2
10．（5分）若f（x）=ax+bx+c（c≠0）是偶函数，则g（x）=ax+bx+cx（）
A． 是奇函数而不是偶函数 B． 是偶函数而不是奇函数 C． 既是奇函数又是偶函数 D． 既非奇函数又非偶函数
11．（5分）已知f（x）=x+ax+bx﹣5，且f（﹣3）=5，则f（3）=（） A． ﹣15 B． 15 C． 10 D．﹣10
12．（5分）设奇函数（fx）在（0，+∞）上为增函数，且（f1）=0，则不等式
的解集为（） A． （﹣1，0）∪（1，+∞） B． （﹣∞，﹣1）∪（0，1） C． （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D． （﹣1，0）∪（0，1）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．（5分）集合
14．（5分）已知U=R，A={x|a≤x≤b}，∁UA={x|x＜3或x＞4}，则ab=．
15．（5分）若函数y=﹣2x+mx﹣3在[﹣1，+∞）上为减函数，则m的取值范围是．
16．（5分）若定义运算a⊗b=
，则函数f（x）=x⊗（2﹣x）的值域是．
27
5
⊆{（x，y）|y=3x+b}，则b=．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知全集U=R，集合A={x|x＜﹣1}，B={x|2a＜x＜a+3}，且B⊆∁RA，求a的取值范围．
18．（12分）集合A={x|x﹣ax+a﹣19=0}，B={x|x﹣5x+6=0}，C={x|x+2x﹣8=0}满足A∩B≠∅，A∩C=∅，求实数a的值．
2
2
2
2
19．（12分）甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km，甲10时出发前往乙家．如图：所示，表示甲从家出发到乙家为止经过的路程y（km）与时间x（分）的关系．试写出y=f（x）的函数解析式．
20．（12分）已知函数f（x）=x+2ax+2，x∈[﹣5，5]． （1）当a=﹣1时，求函数f（x）的最小值、最大值；
（2）当f（x）在[﹣5，5]上是单调函数时，求实数a的取值范围．
21．（12分）已知函数
，
2
（1）证明函数f（x）为增函数； （2）求f（x）的最小值． 22．（12分）定义在R上的函数f（x），满足当x＞0时，f（x）＞1，且对任意的x，y∈R，有f（x+y）=f（x）•f（y），f（1）=2． （1）求f（0）的值；
（2）求证：对任意x∈R，都有f（x）＞0； （3）解不等式f（3﹣2x）＞4．
河南省许昌市鄢陵一中2014-2015学年高一上学期第一次月考数学试卷（B卷）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（5分）方程组
的解集是（）
A． {（5，4）} B． {（﹣5，﹣4）} C． {（﹣5，4）} D．{（5，﹣4）}
考点： 直线与圆锥曲线的关系． 专题： 计算题．
分析： 把直线方程代入双曲线方程消去y后求得x，代入直线方程求得y．
解答： 解：把直线方程代入双曲线方程得x﹣（x﹣1）=9，整理得2x=10，x=5 x=5代入直线方程求得y═﹣5+1=﹣4
22
故方程组的解集为{5，﹣4}， 故选D
点评： 本题主要考查了直线与双曲线的关系．涉及交点问题一般是把直线方程与圆锥曲线的方程联立，通过解方程组求解． 2．（5分）若集合M={a，b，c}中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（） A． 锐角三角形 B． 直角三角形 C． 钝角三角形 D．等腰三角形
考点： 集合的确定性、互异性、无序性．
分析： 根据集合元素的互异性，在集合M={a，b，c}中，必有a、b、c互不相等，则△ABC不会是等腰三角形．
解答： 解：根据集合元素的互异性，
在集合M={a，b，c}中，必有a、b、c互不相等， 故△ABC一定不是等腰三角形； 选D．
点评： 本题较简单，注意到集合的元素特征即可．
3．（5分）已知集合A={x|ax+2x+a=0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（） A． 1 B． ﹣1 C． 0，1 D．﹣1，0，1
考点： 子集与真子集． 专题： 计算题；集合思想．
2
分析： 若A有且仅有两个子集，则A为单元素集，所以关于x的方程ax+2x+a=0恰有一个实数解，分类讨论能求出实数a的取值范围． 解答： 解：由题意可得，集合A为单元素集，
（1）当a=0时，A={x|2x=0}={0}，此时集合A的两个子集是{0}，∅，
2
（2）当a≠0时 则△=4﹣4a=0解得a=±1， 当a=1时，集合A的两个子集是{1}，∅，
当a=﹣1，此时集合A的两个子集是{﹣1}，∅． 综上所述，a的取值为﹣1，0，1． 故选：D．
点评： 本题考查根据子集与真子集的概念，解题时要认真审题，注意分析法、讨论法和等价转化法的合理运用．属于基础题． 4．（5分）设集合A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＞a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是（） A． a＜2 B． a≤2 C． a＞﹣1 D．﹣1＜a≤2
考点： 交集及其运算． 专题： 集合．
分析： 由A，B，以及A与B的交集不为空集，确定出a的范围即可． 解答： 解：∵A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＞a}，且A∩B≠∅， ∴a＜2． 故选：A．
点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2
5．（5分）下列图形中，不能表示以x为自变量的函数图象的是（）
A． B．
C． D．
考点： 函数的概念及其构成要素． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 利用函数定义，根据x取值的任意性，以及y的唯一性分别进行判断． 解答： 解：B中，当x＞0时，y有两个值和x对应，不满足函数y的唯一性， A，C，D满足函数的定义， 故选：B
点评： 本题主要考查函数的定义的应用，根据函数的定义和性质是解决本题的关键． 6．（5分）若f（x）=2x+3，g（x+2）=f（x），则g（x）的表达式为（） A． g（x）=2x+1 B． g（x）=2x﹣1 C． g（x）=2x﹣3 D．g（x）=2x+7
考点： 函数解析式的求解及常用方法． 专题： 计算题．
分析： 由g（x+2）=f（x），把f（x）的表达式表示为含有x+2的基本形式即可． 解答： 解：∵f（x）=2x+3，
∴g（x+2）=f（x）=2x+3=2（x+2）﹣1， 即g（x）=2x﹣1 故选：B．
点评： 本题考查了求简单的函数解析式的问题，是基础题．
7．（5分）若f（x）满足关系式f（x）+2f（）=3x，则f（2）的值为（） A． 1
B． ﹣1
C． ﹣
D．
考点： 函数解析式的求解及常用方法． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 由已知条件得，由此能求出f（2）的值．
解答： 解：∵f（x）满足关系式f（x）+2f（）=3x，
∴，
①﹣②×2得﹣3f（2）=3， ∴f（2）=﹣1， 故选：B．
点评： 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意函数性质的合理运用． 8．（5分）已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x﹣1）的定义域为（） A． （﹣1，1）
考点： 专题： 分析： 解答：
B． （0，）
C． （﹣1，0）
D．（，1）
函数的定义域及其求法．
函数的性质及应用．
原函数的定义域，即为2x﹣1的范围，解不等式组即可得解． 解：∵原函数的定义域为（﹣1，0），
∴﹣1＜2x﹣1＜0，即 ，
解得0＜x＜．
∴函数f（2x﹣1）的定义域为（0，）．
故选B．
点评： 考查复合函数的定义域的求法，注意变量范围的转化，属简单题．
9．（5分）若f（x）=
，则f（x）的最大值，最小值分别为（）
A． 10，6 B． 10，8 C． 8，6 D．8，8
考点： 函数的最值及其几何意义． 专题： 计算题．
分析： 分段求出f（x）的最大值，最小值，再确定分段函数的最大值，最小值．
解答： 解：由题意，x∈[1，2]，f（x）=2x+6，函数为增函数，∴f（x）的最大值，最小值分别为10，8；
x∈[﹣1，1]，f（x）=x+7，函数为增函数，∴f（x）的最大值，最小值分别为8，6；
∴f（x）的最大值，最小值分别为10，6 故选A．
点评： 本题重点考查分段函数的最值，解题的关键是分段求函数的最值，再确定分段函数的最大值与最小值
10．（5分）若f（x）=ax+bx+c（c≠0）是偶函数，则g（x）=ax+bx+cx（） A． 是奇函数而不是偶函数 B． 是偶函数而不是奇函数 C． 既是奇函数又是偶函数 D． 既非奇函数又非偶函数
考点： 函数奇偶性的性质．
专题： 计算题；函数的性质及应用．
232
分析： 由f（x）为偶函数，知b=0，则g（x）=ax+cx，检验g（﹣x）与g（x）的关系，从而判断g（x）的奇偶性
解答： 解：由f（x）为偶函数，知b=0，
3
∴有g（x）=ax+cx（a≠0）
3
∴g（﹣x）=a（﹣x）+c（﹣x）=﹣g（x） g（x）为奇函数． 故选：A．
点评： 本题考查了函数奇偶性的应用及判断，若函数f（x）为奇函数⇔①函数的定义域关于原点对称②f（﹣x）=﹣f（x）；
若函数f（x）为偶函数⇔①函数的定义域关于原点对称②f（﹣x）=f（x）；属于基础题．
11．（5分）已知f（x）=x+ax+bx﹣5，且f（﹣3）=5，则f（3）=（） A． ﹣15 B． 15 C． 10 D．﹣10
考点： 函数奇偶性的性质． 专题： 计算题．
75
分析： 设g（x）=x+ax+bx，则可证明其为奇函数，从而f（x）=g（x）﹣5，先利用f（﹣3）=5求得g（3），再代入求得f（3）即可
7575
解答： 解：设g（x）=x+ax+bx，∵g（﹣x）=﹣x﹣ax﹣bx=﹣g（x），即g（﹣x）=﹣g（x）
∵f（﹣3）=g（﹣3）﹣5=5
∴g（﹣3）=10，∴g（3）=﹣g（﹣3）=﹣10 ∴f（3）=g（3）﹣5=﹣10﹣5=﹣15 故选 A
点评： 本题考查了利用函数的对称性求函数值的方法，发现函数f（x）为奇函数加常数的特点，是快速解决本题的关键
3
75
12．（5分）设奇函数（fx）在（0，+∞）上为增函数，且（f1）=0，则不等式的解集为（） A． （﹣1，0）∪（1，+∞） 1）∪（1，+∞） D．
B． （﹣∞，﹣1）∪（0，1） C． （﹣∞，﹣（﹣1，0）∪（0，1）
考点： 奇函数． 专题： 压轴题．
分析： 首先利用奇函数定义与
然后由奇函数定义求出f（﹣1）=﹣f（1）=0， 最后结合f（x）的单调性解出答案． 解答： 解：由奇函数f（x）可知
得出x与f（x）异号，
，即x与f（x）异号，
而f（1）=0，则f（﹣1）=﹣f（1）=0，
又f（x）在（0，+∞）上为增函数，则奇函数f（x）在（﹣∞，0）上也为增函数， 当x＞0时，f（x）＜0=f（1）； 当x＜0时，f（x）＞0=f（﹣1）， 所以0＜x＜1或﹣1＜x＜0． 故选D．
点评： 本题综合考查奇函数定义与它的单调性．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．（5分）集合
考点： 集合的包含关系判断及应用． 专题： 计算题；集合．
⊆{（x，y）|y=3x+b}，则b=2．
分析： 由题意解方程组，得集合={（0，2）}，从而可知
（0，2）满足y=3x+b，从而解出b． 解答： 解：由
解得，x=0，y=2；
则集合={（0，2）}，
∵⊆{（x，y）|y=3x+b}，
∴（0，2）满足y=3x+b，代入解得， b=2．
故答案为：2．
点评： 本题考查了方程组的解法即集合的化简与集合包含关系的应用，属于基础题．
14．（5分）已知U=R，A={x|a≤x≤b}，∁UA={x|x＜3或x＞4}，则ab=12．
考点： 补集及其运算．
专题： 集合．
分析： 由全集U=R，A以及A的补集，确定出a与b的值，即可求出ab的值． 解答： 解：∵U=R，A={x|a≤x≤b}，∁UA={x|x＜3或x＞4}， ∴a=3，b=4， 则ab=12． 故答案为：12
点评： 此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．
15．（5分）若函数y=﹣2x+mx﹣3在[﹣1，+∞）上为减函数，则m的取值范围是m≤﹣4．
考点： 二次函数的性质．
专题： 计算题；函数的性质及应用．
分析： 判断二次函数的单调减区间与区间[﹣1，+∞）的关系．
2
解答： 解：∵f（x）=﹣2x+mx﹣3，
2
∴二次函数的对称轴为，且函数在[，+∞）上单调递减， ∴要使数在区间[﹣1，+∞）上为减函数，则≤﹣1，
∴m≤﹣4．
故答案为：m≤﹣4．
点评： 本题考查了函数的单调性的应用，利用二次函数的单调减区间与区间[﹣1，+∞）的关系是解题的关键．．
16．（5分）若定义运算a⊗b=
，则函数f（x）=x⊗（2﹣x）的值域是（﹣∞，1]．
考点： 函数的值域．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 根据题意求出f（x）的解析式，再判断出函数的单调性，即可得到答案．
解答： 解：由a⊗b=得，f（x）=x⊗（2﹣x）=，
∴f（x）在（﹣∞，1）上是增函数，在[1，+∞）上是减函数， ∴f（x）≤1，
则函数f（x）的值域是：（﹣∞，1]， 故答案为：（﹣∞，1]．
点评： 本题考查分段函数的值域，即每段值域的并集，也是一个新定义运算问题：取两者中较小的一个，求出函数的解析式并判断出其单调性是解题的关键．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知全集U=R，集合A={x|x＜﹣1}，B={x|2a＜x＜a+3}，且B⊆∁RA，求a的取值范围．
考点： 集合的包含关系判断及应用；补集及其运算． 专题： 计算题；集合．
分析： 先求出∁RA，再由题意讨论集合B是否是空集，从而求a的取值范围． 解答： 解：由题意得∁RA={x|x≥﹣1}． ∵B⊆∁RA．
（1）若B=∅，即a+3≤2a，a≥3时，满足B⊆∁RA．
（2）若B≠∅，则2a≥﹣1且2a＜a+3，即﹣≤a＜3． 综上可得a≥﹣．
点评： 本题考查了集合的运算及集合之间的包含关系，注意讨论B是否是空集，属于基础题．
18．（12分）集合A={x|x﹣ax+a﹣19=0}，B={x|x﹣5x+6=0}，C={x|x+2x﹣8=0}满足A∩B≠∅，A∩C=∅，求实数a的值．
考点： 交、并、补集的混合运算． 专题： 计算题．
分析： 求出集合B、集合C，利用A∩B≠∅，A∩C=∅，确定2∉A，3∈A，求出a，验证a的正确性即可．
解答： 解：B={2，3}，C={﹣4，2}，而A∩B≠∅，则2，3至少有一个元素在A中，
2
又A∩C=∅，∴2∉A，3∈A，即9﹣3a+a﹣19=0，得a=5或﹣2 而a=5时，A=B与A∩C=∅矛盾， ∴a=﹣2
点评： 本题属于以方程为依托，求集合的交集补集的基础题，考查元素与集合之间的关系，也是高考常会考的题型． 19．（12分）甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km，甲10时出发前往乙家．如图：所示，表示甲从家出发到乙家为止经过的路程y（km）与时间x（分）的关系．试写出y=f（x）的函数解析式．
2222
考点： 函数解析式的求解及常用方法． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 分别求出每段函数的解析式，利用分段函数表示即可．
解答： 解：当0≤x≤30时，设f（x）=kx，将（30，2）代入可得k=，∴f（x）=；
当30＜x≤40时，f（x）=2；
当40＜x≤60时，设f（x）=mx+b，则将（40，2），（60，4）代入可得，
∴，解得，即f（x）=．
综上．
点评： 本题考查函数的实际问题，利用待定系数法是解决本题的关键，考查学生分析解决问题的能力．
20．（12分）已知函数f（x）=x+2ax+2，x∈[﹣5，5]． （1）当a=﹣1时，求函数f（x）的最小值、最大值；
（2）当f（x）在[﹣5，5]上是单调函数时，求实数a的取值范围．
考点： 二次函数的性质． 专题： 函数的性质及应用．
分析： （1）把a=﹣1代入函数解析式，配方后运用单调性可求函数f（x）的最小值、最大值；
（2）把原函数配方，利用对称轴在区间端点值两侧列式求f（x）在[﹣5，5]上是单调函数的 a的取值范围．
22
解答： 解：（1）当a=﹣1时，f（x）=x﹣2x+2=（x﹣1）+1，x∈[﹣5，5] 当x=1时，f（x）min=1，当x=﹣5，f（x）max=37．
222
（2）∵f（x）=x+2ax+2=（x+a）﹣a+2
∴要使f（x）在[﹣5，5]上是单调函数，则﹣a≤﹣5或﹣a≥5． 即a≥5或a≤﹣5．
点评： 本题考查了二次函数的性质，考查了利用配方法求二次函数的最值，是基础题．
2
21．（12分）已知函数
（1）证明函数f（x）为增函数； （2）求f（x）的最小值．
考点： 函数单调性的性质；函数单调性的判断与证明． 专题： 函数的性质及应用．
，
分析： （1）将函数式化为：
，任取x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2，根据增
函数的定义，通过作差证明即f（x1）＜f（x2）即可；
（2）由（1）利用函数f（x）的单调性即可求得其最小值； 解答： （1）证明：将函数式化为：任取x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2， 则f（x1）﹣f（x2）=
，
=，
∵x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2，
∴x1﹣x2＜0，x1x2﹣3＞0，x1x2＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）， 所以函数f（x）为增函数；
（2）解：由（1）知，f（x）在[2，+∞）上单调递增， 所以当
；
点评： 本题考查函数单调性的证明及其应用，属中档题，定义是解决该类问题的基本方法． 22．（12分）定义在R上的函数f（x），满足当x＞0时，f（x）＞1，且对任意的x，y∈R，有f（x+y）=f（x）•f（y），f（1）=2． （1）求f（0）的值；
（2）求证：对任意x∈R，都有f（x）＞0； （3）解不等式f（3﹣2x）＞4．
考点： 抽象函数及其应用．
专题： 计算题；证明题；函数的性质及应用．
分析： （1）令x=y=0，得f（0）=0或f（0）=1．再令y=0，得f（x）=f（x）•f（0），对任意x∈R成立，所以f（0）≠0，即f（0）=1；
（2）对任意x∈R，有f（x）=f（+）=f（）•f（）=[f（）]≥0．由条件即可得证； （3）令x=y=1，求得f（2）=4，再由单调性的定义，任取x1，x2，x1＜x2，则x2﹣x1＞0，有f（x2﹣x1）＞1．则f（x2）
=f（x2﹣x1+x1）=f（x2﹣x1）f（x1）＞f（x1），即可判断f（x）在R上递增，即有不等式f（3﹣2x）＞4即f（3﹣2x）＞f（2）．运用单调性即可解得． 解答： （1）解：对任意x，y∈R，f（x+y）=f（x）•f（y）． 令x=y=0，得f（0）=f（0）•f（0），即f（0）=0或f（0）=1． 令y=0，得f（x）=f（x）•f（0），对任意x∈R成立，所以f（0）≠0， 因此f（0）=1．
（2）证明：对任意x∈R，有f（x）=f（+）=f（）•f（）=[f（）]≥0． 假设存在x0∈R，使f（x0）=0，
则对任意x＞0，有f（x）=f[（x﹣x0）+x0]=f（x﹣x0）•f（x0）=0． 这与已知x＞0时，f（x）＞1矛盾．
所以，对任意x∈R，均有f（x）＞0成立．
（3）解：令x=y=1有f（2）=f（1）=4，
任取x1，x2，x1＜x2，则x2﹣x1＞0，有f（x2﹣x1）＞1． f（x2）=f（x2﹣x1+x1）=f（x2﹣x1）f（x1）＞f（x1）， 则f（x）在R上递增，
不等式f（3﹣2x）＞4即f（3﹣2x）＞f（2）． 即有3﹣2x＞2，即x＜， 故不等式的解集为（﹣
）．
2
2
2
点评： 本题考查抽象函数及应用，考查函数的单调性及运用：解不等式，同时考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，属于中档题．
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