材力题解第6章

P A a b) P B C a 解：（1）列弯矩方程

P A x1 x2 P B C M1(x1)Px1 x1[0,a] M2(x2)Px2P(x2a) x2[a,2a)（2）挠曲线近似微分方程

EIy1''M1(x1)Px1 EIy2''M2(x2)Px2P(x2a)（3）直接积分两次

P2EIy1'x1C12 EIy'Px2P(xa)2C222222P3EIy1x1C1x1D16 EIyPx3P(xa)3CxD22222266（4）确定积分常数

边界条件：

x22a: y20, y2'0

光滑连续条件：

x1x2a: y1y2, y1'y2'

求解得积分常数

C1C252Pa D1D2272Pa

3梁的挠曲线方程和转角方程是

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P252EIy1'x1Pa22EIy'Px2P(xa)25Pa222222

2P35723EIy1x1Pax1Pa622 EIyPx3P(xa)35Pa2x7Pa322226622（5）自由端的挠度和转角

令x1=0：

y17Pa2EI3, y1'5Pa2EI2

6-4. 求图示悬臂梁的挠曲线方程，自由端的挠度和转角。设EI=常量。求解时应

注意CB段内无载荷，故CB仍为直线。

A a l a)

P C B 解：（1）求约束反力

MA A RA x C B P RAP MAPa

（2）列AC段的弯矩方程

M(x)PxPa x(0,a]

（3）挠曲线近似微分方程

EIy''M(x)PxPa

（4）直接积分两次

EIy'EIy上海理工大学 力学教研室 P2P6xPaxCx32Pa2

xCxD1

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（5）确定积分常数

边界条件：

x0: yy'0

得积分常数：

CD0

（6）AC段的挠曲线方程和转角方程

EIy'EIyP2P6xPaxx32Pa2

x2（7）C截面的挠度和转角

令x=a：

yC'Pa22EI yCPa33EI

（8）自由端的挠度和转角

梁的变形：

A C θC 直线段 P θC B θB yC yB

BC段保持为直线，则

θBθCPa22EIPa2

yByCθC(la)

6EI(3la)6-6. 用积分法求梁的最大挠度和最大转角。在图b的情况下，梁对跨度中点对称，

可以只考虑梁的二分之一。

A 2EI C l/2 a) l/2 P

EI B 解：（1）求约束反力

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P

MA C B A X1 RA

X2 RAP MAPl

（2）弯矩方程

M1(x1)Px1Pl x(0,l/2]M2(x2)Px2Pl x[l/2,l]

（3）挠曲线近似微分方程

2EIy1''M1(x1)Px1PlEIy2''M2(x2)Px2Pl

（4）直接积分两次

P22EIy1'x1Plx1C12EIy'P22x22Plx2C2

2EIyP3Pl21x1x1C1xD162EIy2P6x32Pl2x22C2xD2（5）确定积分常数

边界条件：

x10: y10, y1'0

光滑连续条件：

x1x2l/2: y1y2, y1'y2'

求解得积分常数

C10 C23216Pl D10 D13224Pl梁的挠曲线方程和转角方程是

2EIyP21'x1Plx12EIy'P

222x22Plx2316Pl上海理工大学 力学教研室 3

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P3Pl22EIy1x1x162 EIyPx3Plx23Pl2x1Pl32222621624（6）最大挠度和最大转角发生在自由端

令x2=l：

ymax3Pl316EI, y'max5Pl216EI

6-8. 用叠加法求图示各梁截面A的挠度和截面B的转角。EI=常量。图a和d可

利用题6-4中得到的结果。

解：a）

P M0=PL B l/2 a)

l/2 c)

l/2 q

A A l/2 B （1）P单独作用时

l3P()3Pl23EI24EIl2P()2Pl22EI8EIyA)P

θB)P（2）Mo单独作用时

l2Pl()3Pl22EI8EI PllEIPlEI2yA)MoθB)Mo（3）P和Mo共同作用时

yAyA)PyA)Moθc）

Pl9Pl36EI2

BθB)PθB)Mo8EI（1）求yA

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q

B A B A q

(1)

(2) 查表得

y5ql4A(1)

384EI由叠加知

yAyA(1)yA(2)

其中有关系

yAyA(2)

由此得

y1ql4A2yA(1)5768EI

（2）求θB

q

A B x dx

由微力qdx引起dθB

23dθ(lx)(lx)B(qdx)x6EIlq(lxx)6EIldx2

lθ2q(lxx3)7ql3BsdθB06EIldx384EI6-9. 用叠加法求图示外伸梁外伸端的挠度和转角，设EI为常量。

P=qa

q A C D B

a a a c)

解：（1）分解成简单载荷

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A a P=qa

qa/2 A a (1) C a D a B

A C a (2)

a D qa 2q

B

a qa C a (3)

D qa/2 B

a 2（1）分别求出简单载荷作用时外伸端的变形

转角

θθB(1)θD(1)3qa(2a)16EI2qa34EI

qaB(2)6EI12qa2a3EI2θB(3)θqa3D(3)3EI挠度

yB(1)θyB(2)yB(3)θD(1)a4qa44EI

qa8EID(3)aqa43EIqa3（2）叠加

θBθB(1)θB(2)θB(3)4EI5qa4

yByB(1)yB(2)yB(3)24EI6-10. 桥式起重机的最大载荷为P=20kN。起重机大梁为32a工字钢，E=210GPa，

l=8.7m。规定[f]=l/500，试校核大梁刚度。

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l/2 P A C A P B l q B 解：（1）当起重机位于梁中央时，梁变形最大；计算简图为

l/2 （2）梁的最大挠度发生在C截面

ymaxyCyC(P)yC(q)Pl348EI5ql4384EI

（3）查表得（32a工字钢）

I11100cm q52.717kg/m516.6N/m

（4）刚度计算

ymax0.0120.00170.0137m[f]l5000.0175m

2梁的刚度足够。

6-12. 磨床砂轮主轴的示意图如图所示，轴外伸部分的长度a=100mm，轴承间距

离l=350mm，E=210GPa。Py=600N，Pz=200N。试求外伸端的总挠度。

φ80 Py Pz l a 解：（1）将载荷向轴线简化得计算简图

Py Mx Mx R Pz 进一步简化（不考虑Mx引起的扭转变形）

A

R

C B

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分解载荷

A

R

M C B

R A

C R M B

其中

RPyPZ632.5N MRa63.25Nm

322（2）计算外伸端的挠度

yByB(R)yB(M)2.25106Ra3EIMl3EIa(0.51.75)106m

m6-14. 直角拐的AB杆与AC轴刚性连接，A为轴承，允许AC轴的端截面在轴

承内转动，但不能移动。已知P=60N，E=210GPa，G=0.4E。试求截面B的垂直位移。

C 500 10 A 5 φ20 300 P B 解：（1）分析变形：AB发生弯曲变形，AC发生扭转变形； （2）计算A、C相对扭转角

φACTACGIpPABACGI2p

由此引起B截面的垂直位移（向下）

δB(1)φACABPABGAC4πd2.05mm

32（3）计算AB变形引起B截面的位移（向下）

δPAB3EI3B(2)6.17mm

（4）计算B截面的总体位移（向下）

δ上海理工大学 力学教研室 BδB(1)δB(2)8.22mm

8

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6-26. 图示悬臂梁的EI=30×103N·m2。弹簧的刚度为175×103N·m。梁端与弹簧间

的空隙为1/25mm。当集中力P=450N作用于梁的自由端时，试问弹簧将分担多大的力？

A 750 P B 1.25

解：（1）受力分析

A B P R 属一次静不定问题 （2）分析变形

B 1.25 Δ B截面的向下的位移值

yB(PR)l3EI3

弹簧变形

ΔRc

变形几何关系

yB1.2510（3）弹簧受力

3Δ

R82.6N

6-27. 图示悬臂梁AD和BE的抗弯刚度同为EI=24×106N·m2，由钢杆DC相连

接。CD杆l=5m，A=3×10-4m2，E=200GPa。若P=50kN，试求悬臂梁AD在D点的挠度。 A

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B 2m C 2m 9

E

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解：（1）解除约束C，受力分析

1) C RC

2) R’C B C P E

A D

（2）分析C处的位移（向下位移为负）

情况1）中，C处位移由AD的弯曲变形和CD的的拉伸变形引起

δC(1)RCa3EI3RClEA

情况2）中，C处位移分别由P和R’C作用引起

δC(2)Pa26EI(32aa)R'Ca3EI3

其中

RCR'C

（3）变形谐调关系

δC(1)δC(2)

（4）求约束力

RC45.5kN

（5）求梁AD在D点的挠度

yDRCa3EI30.56mm

方向向下

6-28. 钢制曲拐的横截面直径为20mm，C端与钢丝相接，钢丝的A=6.5mm2。

曲拐和钢丝的弹性模量同为E=200GPa，G=84GPa。若钢丝的温度降低50oC，且=12.5×10-6 /oC，试求钢丝内的拉力。

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D 4m C 0.3m 0.6m A B 解：（1）解除约束C，受力分析

1) C RC 2)

D A B C R’C

（2）分析C处的位移（向下位移为负）

情况1）中，C处位移由AB的弯曲变形、扭转变形和BC的弯曲变形引起

δC(1)RC(0.6)3EI3(RC0.3)0.6GIp0.3RC0.33EI3

情况2）中，C处位移分别由温度改变和R’C作用引起

δC(2)α4ΔtR'C4EA

其中

RCR'C

（3）变形谐调关系

δC(1)δC(2)

（4）求约束力

RC26.16N

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