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华中科技大学2012大一微积分期中考试卷答案

2021-12-25 来源：欧得旅游网



2011级第一学期期中考试解答及评分标准
（助教注意：阅卷前请亲自做一遍，以便理解评分要点。若有新的解法，请参照标答步骤给分。中间某处错了，如果未改变难度，后面适当给分。分数登记之后试卷将发给学生，因此评分要经得起学生的质疑。改错须返工。

若发现本解答有误，请咨询任课教师经确认后调整。发现有未提及的并且很简便的解法，请收集并发送给毕志伟：）

1．法一：

n

2011 ,

0

2011 n

2011 2011

2011

（3 分）得

l

0

（5 分）

n !

2011 !

n


法二：

n

2011 ,

a

n

2011

1

，数列单减有下界0,故极限存在（3 分），

a

n

1

n

对

a n

2011

a

n

1

两边取极限推出

l

0

（5 分）

n

2．

u

~

a

arctan

x

2

~

a

x

2

,

v

~

cos

x

1

~

1 x 2

2

（4 分）

4

4

故

a

2

（5 分）

3．

l

lim x0

e

x

sin

x

1

e

sin

x

lim x0

x

sin

x

3

lim x0

1

cos

x

1

（5 分）


x

3

x

3

3

x

2

6

法二：

l

lim x0

e

(

x

sin

x

)

lim x0

x

sin

x

3

lim x0

1

cos

x

1

（5 分）

x

3

x

3

3

x

2

6

法三：

l

lim x0

e

x

e

sin

x

cos

x

lim x0

e

x

e

sin

x

cos

2

x

e

sin

x

sin

x

（3 分）

3

x

2

6

x


lim x0

e

x

e

sin

x

cos

3

x

e

sin

x

sin

2

x

1

1

（5 分）


6

6

6

1



1











1








4．

lim x0

1

ln

( 1

x

)

x

lim x0

ln( 1

x

)

x

lim x0

( 1

x

)

1

1

1

（4 分），故

l

exp[

lim

1

ln

( 1

x

)

x

]

e

1

/

2

（5 分）

x

e


x

2


2

x

2




x

0


x





e



















5．由题设知

f

(

0 )

0 ,

f

(

0 )

1

2

x

2

x

0

2

（2 分），

4

































故

l

lim

n

f

( 1

/

n

)

f

(

0 )

f

(

0 )

2

（5 分）

1

/

n

































6．由连续性条件知极限

lim(

x1

x

)

( 1 )

存在，特别，

( 1 )

lim(

n

n

n

1

)

lim

n

n

n

1

（3 分）；

































由导数定义

f

( 1 )

lim x1

f

(

x

)

f

( 1 )



limx

x1

)

( 1 )

1

（5 分）

x

1

































[注意，从

f

(

x

)

(

x

1 )(

x

)

(

x

)

中令

x

1

得出

f( 1 )

不给分]

7．

y

2

x

1

x

( 1

2

1

x

)

，(3 分)

dy

( 1 )

y

( 1 )

dx

4

3

2

dx

（5 分）

8．

2

x

(

y

x y

)

2

y y

0

，

y

2

x

y

（2 分）

x

2

y

































y



(

2

y

)(

x

2

y

)

(

2

x

y

)( 1

2

y

)

（3 分）

(

6

y

)

3

（5 分）



(

x

2

y

)

2

x

2

































9．

dy

(sin

t

t

cos

t

)

t

cos

t

（2 分），

dx

(ln

cos

t

)

































2



d

2

y

(

t

cos

t

)

cos

t

t

sin

t

（4 分）

dx

2

(ln

cos

t

)

tan

t

d

2

y

t

4

1

( 1


)

4

（5 分）

dx

2

2

10．

f

(

x

)

2

x

2

x

1

2

1

(

2

1

1

x

1

2

)

（2 分），

5

x

3

x

f

(

n

)

(

x

)

1

{ 2

n

(

(

1 )

n

n !

(

(

1 )

n

n !

}

（5 分）

3

2

x

1 )

n

1

x

2 )

n

1

11．首先需要函数

f

(x

)

在

x

0

的某个邻域上可导。欲使

lim
x0

f

(

x

)

f

(

0 )

lim x0

x

n

1

sin

1

存在，应有

n

1

，

x

x



此时

f

(

0 )

0

（2 分），

欲使导函数

f(x

)

在

x

0

处连续, 应有

lim x0

f

(

x

)

0

于是从



)

nx

0 ,

n

1

sin

1

x

n2 cos 1

, x0

x

x


f

(

x

x

（4 分）

，

看出必须

n

2

（5 分）

12． 间断点为0，（2 分）1

lim
x0

f

(

x

)

0

，

f

( 1

)

,

f

( 1

)


2 e







2 e


3



故

x

0

是可去间断点，

x

1

是跳跃点。（5 分）

0

,

13．证明：由连续函数的零点定理知存在1

(

0 , 1 ),2

( 1 ,

2 )

，

f

(1

)

f

(2

)

0

。（2 分）

设

g

(

x

)

e

x

f

(

x

)

，由罗尔定理，存在

(1

,2

)

(

0 ,

2 )

，使

g

)

即有

f

()

f

()

。（6 分）

14．

dx

1
y

，（2 分）

d

2

x

(

1

)

1

y



（4 分）

dy

dy

2

y

y

(

y

)

3




d

3

x

(

y



)

1

y

y



3 (

y

)

2

（6 分）

dy

3

y

3

y

(

y

)

5




15．设

f

(

x

)

arctan

x

1

arccos

1

2

x

2

，

x

1

2

x




因为

f

(

x

)

1

1

2

1

1

1

x

2

)

2

2 ( 1

x

2

)

4

x

2

0

（5 分）

x

2

(
1

2

( 1

x

2

)

2

x

所以

f

(

x

)

C

,又

f

( 1 )

，故

f

(

x

)

。（6 分）

4

4




16．记

b

a

f

(

a

)

a

，则

f

( b

)

f

(

a

)

f

()( b

a

)

f

(

a

)

( b

a

)

f

(

a

)

(

f

(

a

))

0

（4 分），由零点定理存在

c

(

a

,

b

)

，

f

(

c

)

0

。

4



又f(x)是严格单调增加的，故c是方程f(x)0在(a,af(a))内

的唯一根（6分）。或者用反证法，如果有两个以上的根，则由洛尔定理，

导函数就有零点，与条件矛盾。

17. 定义叙述4 分，有界性证明4 分。（表达意思相同就可以）

(

a

1 ,

a

1 )

内而表明这部分有界，而

N

之前的项数有限，也落在有限区间

叙述

x

n

有界

M

0 ,

n

:

xn

M

；

lim

n

xn

a

0 ,

N

,

n

N

:

xn

a

。

证明 取正数

1

，由

lim

xn

a

知，某项

N

之后的

x

n

落在有限区间

( min

1nN

x

n

,

max

1nN

x

n

),

内而有界，综合即得。

f

(

0 )

x

/

lim

x0

1

f

(

0 )

/

lim

18. （1）由

f

(

x

)

f

(

0 )

x f

(x

),

0

1

，来凑二阶导数：

f

(

0 )

lim x0

f

(

x

)

f

(

0 )

lim x0

f

(x

)

f

(

0 )

lim x0

f

(

x

)

f

(

0 )

x

x





x

2






2






x

0






其中，

lim x0

f

(

x

)

f

(

0 )

f

(

0 )

x

lim x0

f

(

x

)

f

(

0 )

1

f

(

0 )

x

2

2

x



2



























故从

f

(

0 )

0

推出，

lim

h

1

（5 分）

2



























（2）

arctan

x

0

1

1

)

2

x

,

0

1

，解出

(x



























2

x

x

1

x

arctan

x

，

arctan



























x

2

x

2

arctan

x



























5











arctan




1

1






lim2

lim

x

arctan

x

lim

x

x

lim



1

x

2

1

，

故


x

0





x

0


x

2

arctan

x




x

0






x

3






x

0






3

x

2





3



lim x

1

。（8 分）

3

6

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