一、选择题（本大题共9小题，共45.0分） 1. 已知集合，集合，则
0，1，2， A. B.
1，2， C. D.
2. 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个
B为两个同高的几何体，p：同高的几何体，如在等高处的截面面积恒相等，则体积相等．设A，
A，B的体积相等，q：A，B在等高处的截面面积恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知定义在R上的函数满足，且函数在上是减函数，若
，
，则a，b，c的大小关系为
A.
4. 函数
B.
C.
且
D.
的一个单调递增区间是
A. B.
C. D.
，若数列
是等比数列，则的
5. 数列满足：
值等于
A. 1
6. 已知双曲线
B.
C.
的一个焦点与抛物线的面积为 与
D. 2
的焦点F重合，抛物线的准
线与双曲线交于A，B两点，且为原点，则双曲线的方程为
A.
7. 设
足
B. C. D.
分别为具有公共焦点
，则
的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满
的值为
A.
8. 已知函数
B. 1 C. 2
的图象过点
D. 4
，且在
且
上单调，把时，
的图象向右平移个单位之后与原来的图象重合，当
，则
A.
B.
C.
9. 己知函数，在
有4个零点，则实数t的取值范围为．
上的最大值为
D. 1
，若函数
第1页，共16页
A. C.
B. D.
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 10. 若z是复数，11. 二项式
，则
______．
项的系数
的展开式中，仅有第六项的二项式系数取得最大值．则展开式中
是______．
12. 一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的中位数为______．
13. 在平行四边形ABCD中，
DE与AF交于H，则14. 已知实数x，y满足15. 已知函数
，
的值是______． ，则
的最小值为______．
有四个零点，则实数k的取值
，
F分别是BC，CD的中点，，E，
，函数
范围是______．
三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
16. 某校开展学生社会法治服务项目，共设置了文明交通，社区服务，环保宣传和中国传统文化宣
讲四个项目，现有该校的甲、乙、丙、丁4名学生，每名学生必须且只能选择1项． Ⅰ求恰有2个项目没有被这4名学生选择的概率；
Ⅱ求“环保宣传”被这4名学生选择的人数的分布列及其数学期望．
17. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，
，．
证明：；
第2页，共16页
求二面角的余弦值；
，求
的值．
设Q为线段PD上的点，且直线AQ和平面PAC所成角的正弦值为
18. 已知椭圆C：
三角形面积为． Ⅰ求椭圆C的方程； Ⅱ设与圆O：
相切的直线l交椭圆C于A，B两点的最大值．
19. 已知数列
设求数列记
为坐标原点，求
的离心率为
，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的
满足，求数列的前n项和
的通项公式； ； ，求数列
．
的前n项和．
第3页，共16页
20. 已知函数
Ⅰ求的极值； Ⅱ证明：时，Ⅲ若函数
且
，．
有且只有三个不同的零点，分别记为，证明：
．
，
，
，设
的最大值是
第4页，共16页
-------- 答案与解析 --------
1.答案：C
解析：解：根据题意，则则，
，
或，
，
或
1，2，3，，
1，2，； 则
故选：C． 根据题意，解可得集合A，由补集的意义可得，解可得集合B，由交集的意义计算即可得答案． 本题考查集合的混合运算，关键是正确求出集合A、B． 2.答案：B
解析：解：由，反之不成立．
是q的必要不充分条件． 故选：B． 由，反之不成立．即可得出．
本题考查了祖暅原理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3.答案：A
解析：解：根据题意，函数的定义域为R，且满足，则函数为偶函数，
，
，
，
又由函数在上是减函数，则在上为增函数， 且， 则； 故选：A．
本题主要考查函数的奇偶性，单调性的应用，属于中档题． 根据题意，可得函数为偶函数，根据偶函数的性质和单调性求解即可． 4.答案：A
解析：【分析】
本题主要考查诱导公式、余弦函数的单调性，属于基础题．
利用诱导公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的单调性，求得的一个增区间． 【解答】 解：对于函数
，
令
，
，求得
，
，
第5页，共16页
可得函数的增区间为
令，可得选项A正确． 故选A． 5.答案：D
解析：解：由由于数列
，得
是等比数列，
，，
．
，得
，
故选：D．
把已知数列递推式变形，由数列是等比数列求得的值． 本题考查等比数列的通项公式，考查了等比关系的确定，是基础题． 6.答案：D
解析：解：抛物线的焦点F为， 可得双曲线的焦点分别为，，， 抛物线的准线为， 由
的面积为6，可得
，
即，可设，
可得A到双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值为
，
即由
可得双曲线的方程为
，可得
，
， ．
故选：D．
求得抛物线的焦点和准线方程，可得双曲线的c，由三角形的面积公式可得A的坐标，由双曲线的定义可得a，进而得到b，可得双曲线的方程．
本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 7.答案：C
解析：解：设椭圆的长半轴是，双曲线的实半轴是，它们的半焦距是c 并设
，
，
，根据椭圆的和双曲线的定义可得
解得
，
又
，由勾股定理得
第6页，共16页
化简可得
故选：C．
椭圆的长半轴是，双曲线的实半轴是，它们的半焦距是c并设，，，根据椭圆的和双曲线的定义可得，，写出两个曲线的离心率，代入要求的式子得到结果．
本题考查圆锥曲线的共同特征，本题解题的关键是得到两个曲线的参数之间的关系，本题是一个基础题． 8.答案：B
解析：解：函数
． 在把
上单调，
，
．
，
，
，
的图象过点
，
，
的图象向右平移个单位之后与原来的图象重合，
当
且
时，
，
，若
，则
，
故选：B．
利用正弦函数的周期性和单调性，函数的图象变换规律，求得函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性求得的值，可得的值． 本题主要考查正弦函数的周期性和单调性，函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中档题． 9.答案：C
解析：解：当时，为偶函数，此时最大值为， 当时，函数在上的最大值为
，
当时，函数在上的最大值为
， 即
． ．
由
得
，
第7页，共16页
设函数，， 作出两个函数的图象如图： 若，要使有4个零点， 则两个图象的交点个数有4个，此时满足， 即，解得． 若，则， 当抛物线过点时，． 当抛物线与直线相切时，当时， 由由判别式解得
．
，此时
，
，
要使有4个零点， 则两个图象的交点个数有4个，此时满足
．
综上
或
．
故选：C．
根据条件求出函数
的表达式，然后由得，利用函数有4个零点，建立条件关系即可求出t的取值范围．
本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，根据条件求出是本题的难点．注意对t要进行分类讨论．综合性较强，难点交大．
的表达式
10.答案：
解析：解：
，
．
故答案为：．
由商的模等于模的商，结合
求解．
本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．
11.答案：
解析：解：因为二项式所以展开式共有11项， 则，
的展开式中，仅有第六项的二项式系数取得最大值．
第8页，共16页
即则二项式令
，
的展开式的通项为得：
，
，
，
即展开式中故答案为：
项的系数是．
由二项式定理及展开式的通项公式得：
得：
，即展开式中
项的系数是
，得解．
，令
本题考查了二项式定理及展开式的通项公式，属中档题．
12.答案：
解析：解：设中位数为a， 则解之得故答案为为：
， ．
，
根据中位数的公式代入即可．
本题考查中位数，熟悉掌握中位数的公式，属于基础题．
13.答案：
解析：解：过点F作BC的平行线交DE于G， 则G是DE的中点， 且
，
则从而
∽
， ，
，
则
，
，
，
第9页，共16页
则
， 故答案为：
．
，求出
和
的向量，利用向量数量积
过点F作BC的平行线交DE于G，计算出的定义和公式计算即可．
本题主要考查向量数量积的应用，根据条件求出
和的表达式是解决本题的关键．
14.答案：
解析：解：设则当且仅当故答案为：
设，可知可利用基本不等式的性质求解．
本题主要考查了基本不等式性质的构造，确定的关键，属于中档题．
是定值，即是定值是解题
，即
，也即
，
时取等号．
，
，可知
．
，
15.答案：
解析：解：由当时，即， 则若设则当
时，
，
得
不成立，
，
有四个零点，则等价为
，
有四个不同的根，
，
，则当
时，
，函数为增
函数， 当当
时，，，函数为减函数，即此时当，
时，取得极小值，极小值为，
第10页，共16页
当时，，
，由
由
得
，此时，
作出函数要使则满足
的图象如图：
有四个根， ，
，
得舍或，此时函数为增函数， 时，
取得极大值，极大值为
为减函数，即当
即实数k的取值范围是故答案为：
根据函数与方程的关系，利用参数分离法转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．
本题主要考查函数与方程的应用，利用参数分离法，转化为两个函数交点个数，求函数的导数，研究函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．
16.答案：解：Ⅰ某校开展学生社会法治服务项目，共设置了文明交通，社区服务， 环保宣传和中国传统文化宣讲四个项目，
现有该校的甲、乙、丙、丁4名学生，每名学生必须且只能选择1项． 基本事件总数，
恰有2个项目没有被这4名学生选择包含的基本事件个数， 恰有2个项目没有被这4名学生选择的概率
．
Ⅱ“环保宣传”被这4名学生选择的人数的可能取值为0，1，2，3，4，
，
， ， ， ，
的分布列为： P 0 1 2 3 4 第11页，共16页
．
，恰有2个项目没有被这4名学生选择包含的基本事件个数
，由此能求出恰有2个项目没有被这4名学生选择的概率．
Ⅱ“环保宣传”被这4名学生选择的人数的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和．
本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列组合解析：Ⅰ基本事件总数等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 17.答案：解：证明：在四棱锥
中，平面ABCD， ，，，，，． 以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
则0，，，0，，
， ，， ，
． 解：
0，，
0，，
，
设平面APC的法向量y，，
则
，取，得
，
平面PCD的法向量
0，
，
设二面角的平面角为，
则．
二面角
的余弦值为
． 解：设Q为线段PD上的点，b，，
，，
则
b，
，，
，解得
，
，
，
，
平面PAC的法向量
，且直线AQ和平面PAC所成角的正弦值为
，
第12页，共16页
，
解得或．
舍，
解析：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明．
求出平面APC的法向量和平面PCD的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．
设Q为线段PD上的点，平面PAC的法向量
b，
，
，
，求出
，由
，利用向量法能
，且直线AQ和平面PAC所成角的正弦值为
求出结果．
本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足线面角的正弦值的两线段比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18.答案：解：Ⅰ由题意可得，
解得
，
，
， ；
，，，
即有椭圆的方程为
Ⅱ由题意可知，k存在，设直线为
，，
，
．
将直线
代入椭圆方程可得
， ，
，
相切，可得
，
，
由直线l与圆O：即有
， 当且仅当
，即
时等号成立．
第13页，共16页
的最大值为2．
解析：Ⅰ由已知可得关于a，b，c的方程组，求解可得a，b，c的值，则椭圆方程可求； Ⅱ由题意可知，k存在，设直线为，，，将直线代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相切的条件得m与k的关系，结合基本不等式即可得到
的最大值．
本题考查椭圆的方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，属于中档题．
19.答案：解：
列
数列满足
；
，可得：，设，数
是等差数列，公差为1，首项为1，所以易得，其前n项和：
，
可得：
；
，
，
或写成
．
解析：利用已知条件两边同除，推出数列是等差数列，然后求解的通项公式． 利用数列的通项公式，求解数列的通项公式，然后通过错位相减法求和即可． 化简通项公式，利用裂项求和求解即可．
本题考查数列通项公式的求法，数列求和的应用，考查计算能力．
． 20.答案：解：Ⅰ函数的定义域为由已知可得当 当 所以函数
时， 时，由
在
，故，解得上单调递增，在
， 在区间
；由
上单调递增，f
，解得
无极值；
，
，
f 上单调递减， 的极大值为
无极小值；
Ⅱ证明：令 函数故F
在
在
上为增函数，且
，且
，故只需证明，，
， ，则
，
上有唯一实数根，
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当从而当
时，时，
，当取得最小值，故
时，，
，
综上，时，； Ⅲ证明：函数
是其零点， 显然
函数存在两个零点，即可转化为方程
在区间
有且只有三个不同的零点，
有两个不等的实数根，
的图象与函数
上有两个不等的实数根，即函数
的图象有两个交点，
，
由在故函数 即
，解得上单调递减；
的图象与
，故
在
上单调递增； 由
，解得
，故
的图象的交点分别在
，，且
上，
，
，上，
的两个根分别在区间
的三个不同的零点分别是，e，，则
，
，
令
由，解得，
故
，则
，
令
令
在区间
，即
，则
上单调递增，即在区间，即
上单调递增，即
．
，
，
，
解析：Ⅰ求导，讨论得出函数的单调性情况，进而求得极值； Ⅱ将代入，构造函数，只需函数的最小值大于0即可得证； Ⅲ显然，，且分析可知，，通过换元，降元可得
，进而构造函数得证．
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查极值点偏移问题，考查转化思想，降元换
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元思想，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档偏上题目．
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