第一章极限与连续一、函数
1、函数的定义与要素(定义域、对应法则;函数相等的条件)2、函数的性质:单调性,奇偶性,周期性,有界性*单调性的定义(以递增为例):
x1,x2Df,若x1<x2时f(x1)f(x2),则f(x)在Df上单调递增;将改为<,则f(x)在Df上严格单调递增。
*有界的定义:M>0,对于xADf,都有|f(x)|M,则f(x)在A上有界。(f(x)≥m∈R,则f(x)下有界;反之则上有界。只有既上有界又下有界的函数才是有界函数。)
3、函数的运算:四则运算、复合运算、反函数
*题型:判断某个函数由哪些基本初等函数复合而成。
*反函数存在的可能情况:①y与x一一对应;②f(x)是某区间上的严格单调函数(反函数的单调性与原来的函数相同)
*Df1Rf;当xDf时,f1(f(x))x;当xRf时,f(f1(x))x。
4、初等函数:包括6大基本初等函数(常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数)以及它们的有限次四则、复合运算构成的函数。二、数列的极限
1、数列的定义及表示方法
2、数列的性质:单调性、有界性
3、数列极限的定义:ε-N语言(存在性命题要学会寻找充分条件,即增加对N的限制,从而找到N;绝对值不等式与不等式放缩也很重要)4、极限的四则运算5、无穷小量的性质
(1)若limanA,则{anA}是无穷小量。(一种证明极限的方法)
n(2)有限个无穷小量相加、相乘还是无穷小量。(3)无穷小量乘以有界量还是无穷小量。6、收敛数列的性质(1)收敛数列必然有界
(2)收敛数列的任一子列与该数列收敛于同一极限。(☆逆否命题:如果一个数列有发散子列或是有两个极限不同的收敛子列,则该数列发散。)(3)夹逼性(注意夹条件与逼条件)
若limanA>0,则必然存在N,当n>N时,an>0(小于.(4)*保号性:0类似)
n7、无穷大量的两个定义:
1(1)若{1
}为无穷小量,则{an}为无穷大量;an(2)K>0,N,当n>N时,|an|>K。
8、数列收敛的判定方法与极限的求解
(1)利用极限的定义(先知道极限才能使用,技巧性略强)
(2)单调有界数列必收敛(不能同时求出极限,往往用于递推式)
(3)利用子列的收敛性(可以直接得出极限,逆否命题常用于判断发散)(4)柯西收敛准则(不能同时求出极限,往往用于求和式)(5)Stolz定理:
若{bn}严格单调递增且limbn,而lim
nan1ana
A,则limnA。(可以同时
nbnbbn1nn求出极限,常常用于比值形式的式子)
(6)递推式求极限:不动点法——an1f(an),且limanA,则Af(A)。
na1a2...anA。
nnn(8)利用定积分的定义求极限。需要配凑Riemann和的形式。9、几个重要数列的极限
(7)平均值法:若limanA,则lim
(1)a>0时,limna1;
n(2)limnn1;
n(3)limnn!;
nnk(4)limn0,其中k0,a>1为常数;
na(5)lim(
naa...aaa...ank)max{a1,a2,...,ak};lim()a1a2...ak.nkknn1n2nk1n1n11n21nk10、数列极限型函数的表达式:f(x)limg(n,x)。
处理方式:对x分类讨论,在各种情况下将x视为常数,对n求极限。
xn1
例如:f(x)limn,xR。求f(x)。
n2x111nx1;①当x>1时,f(x)lim
n12n2x2
.②当x1时,f(x);
3xn101
③当0<x<1时,f(x)limn1。
n2x101最终结果要写成分段函数。
2三、函数的极限
1、函数极限的定义:ε-δ语言(某点x0处)、ε-M语言(x→∞时)。2、数列极限与函数极限的关系:Heine定理
limf(x)A对任一数列{xn}满足limxna,有limf(xn)A。(a可以是)
xann逆否命题:
limf(x)不存在存在两个数列{xn},{yn},满足limxnlimyna,
xann且limf(xn)与limf(yn)不都存在或者limf(xn)limf(yn)。
nnnn3、极限的性质:
(1)四则运算、连续函数极限的复合运算;(2)夹逼性;(3)*保号性;
(4)(函数)局部有界性:若limf(x)A,则在a的一个邻域内,f(x)有界。
xa(5)有序性:
若f(x)<g(x(或者))在a的一个邻域内成立,则limf(x)limg(x)。(反过来未必成立)
xa
xa
sinx14、两个重要极限:lim(x也可以是中间变量)1;lim(1)xlim(1x)xe。
x0xx0xx1(求极限时注意配凑出这两个极限)
5、单侧极限(可以用来判断某点极限是否存在)四、连续函数
1、连续的定义:limf(x)f(x0)。(左连续、右连续)
xx02、连续的三个必要条件:f(x)在x0处有定义,limf(x)存在,limf(x)f(x0)。
xx0xx03、连续性在四则运算、复合运算、反函数中的保持。
4、间断点(可去、跳跃间断点为第一类,其余为第二类)(1)无穷间断点:f(x)在此点无定义并且趋向于∞。
1
(2)*振荡间断点:函数值在此点附近无限快地振荡,如f(x)sin在x0处。
x(3)可去间断点:对这一个点的函数值进行补充定义或调整,可以使函数在此
点连续,即limf(x)存在但不等于f(x0),或f(x0)不存在。
xx0(4)跳跃间断点:limf(x)与limf(x)存在但不相等。
xx0xx05、一切初等函数在其定义域内均连续。6、闭区间上连续函数的性质(1)有界;(2)存在最大值和最小值;(3)介值定理;(4)零点存在性定理。7、连续型无穷小的比较
3(1)x→0时,若0<<,则x(x);(2)x→+∞时,若0<a<b<1,则ax(bx)。(3)对任意p0,有lim(4)等价无穷小替换:
x2nx
x0时,sinx~x~tanx,ln(1x)~x,1cosx~,1x1~,ex1~x,arcsinx~x~arctanx。
2n
lnx11
0,即x时有().
xxpxplnx
注:等价无穷小替换只有在乘除运算中才可以随意使用,同号无穷小相减,可能
会产生x的高阶无穷小。
8、函数图像的渐近线:垂直渐近线x=x0。斜(水平)渐近线y=ax+b。其中
f(x)
alim,blim[f(x)ax]。注意x→+∞与x→-∞的情况可能不一样。
xxx
第二章导数与微分一、导数
1、导数的定义(不能忽视,也是求导的常用方法):
f(x)f(a)f(ax)f(a)
f'(a)limlim.(如果f(a)=0或者a=0,注意分子分
xax0xax
母可能需要补0)
(注意左导数、右导数的概念)2、可导必定连续,连续未必可导。3、导数的四则运算(略)
注意(f1f2...fn)'f1'f2...fnf1f2'...fn...f1f2...fn'.
4、复合函数的导数:[f(g(x))]’=f’(g(x))g’(x)。(链式法则)
5、反函数的导数:若在点(x0,y0)处,yf(x)可导且f'(x0)0,则[f1(y0)]'6、初等函数的导数公式
1
.f'(x0)
4exexexexexex其中,shx,chx,thxx,x22eearshxln(xx21),archxln(xx21),arthx
11x
ln.21x7、对数求导法
f(x)u(x)v(x)lnf(x)v(x)lnu(x)f'(x)v(x)
v'(x)lnu(x)u'(x)f(x)u(x)v(x)
f'(x)u(x)v(x)[v'(x)lnu(x)u'(x)].
u(x)
8、几个重要的高阶导数
n(sinx)(n)sin(x)
2n(cosx)(n)cos(x)2(lnx)(n)(1)n1(n1)!xn1n!()(n)(1)nn1xxk(k1)...(kn1)xkn,nkk(n)(x){(kN)
0,nk1.9、高阶导数的莱布尼茨公式:[f(x)g(x)]二、微分
1、微分的实质:在可微的x0处,dyf'(x0)xf'(x0)dxy(x).2、对于一元函数,可微等价于可导。3、微分的四则运算(略)
4、复合函数的微分——一阶微分形式不变性(Pfaffform):
dyddy
()2dydtdydtdx,.5、参数方程的微分:
dxdxdxdx2dtdt6、近似计算:f(x0x)f(x0)f'(x0)x.
(n)i(i)Cnf(x)g(ni)(x).i0ndydydu
.dxdudx
*7、误差估计:精确值x,近似值x0,则绝对误差x|xx0|,相对误差x,
|x0|5x上界为绝对误差限x,相对误差限x
*
xxf'(x0)**
。若yf(x),则y|f'(x0)|x,y|0|x.|x0|f(x0)三、微分学中值定理及其应用
1、一切的大前提:f(x)、g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导。(证明时要给出这两个条件!)
2、Fermat引理:可导极值点处导数等于0。
3、Rolle中值定理:f(a)f(b)存在(a,b)使得f'()0.4、Lagrange中值定理:存在(a,b)使得f'()→推论:(1)f’(x)=0,则f(x)=C。(2)f’(x)=g’(x),则f(x)=g(x)+C。5、Cauchy中值定理:存在(a,b)使得
f(b)f(a)
.
baf(b)f(a)f'()
.
g(b)g(a)g'()6、使用中值定理的注意点:
(1)要有运用中值定理的意识,将其当成做题时考虑的对象之一;(2)学会在高阶导数情况下多次运用中值定理;
(3)在遇到例如
f'()
的式子时要构造g(x(如)x2),运用Cauchy中值定理求解。2(4)补0是常用方法;
☆(5)构造函数很重要,要熟悉一些常见的变形:
[xnf(x)]'
(1)xf'(x)nf(x);
xn1[exf(x)]'
(2)f(x)f'(x);
exf(x)
(3)f'(x)f(x)ex[x]';
ef'(x)(4)[ln|f(x)|]';
f(x)[ex(f(x)f'(x))]'
(5)f(x)f''(x)f(x)f'(x)f'(x)f''(x).
ex(在看到相关的式子时要有意识地尝试这些构造,实质是对这些式子做积分)
00
7、L' Hospital法则:用于,,-,1,0,00等情况,但最终都应回归到或。00
而且,此法则不是万能的。
nf(k)(x0)
8、Taylor公式:f(x)(xx0)k[(xx0)n(].Peano余项)
k!k06(1x)1x
(1)
2!x2...
(1)...(n1)
n!xn(xn);
*Taylor展开对一切中间变量u都成立,即对于在a处连续的函数g(x),有
f(g(x))
i0nx2x3(1)n1xnln(1x)x...(xn)(0);
23nx325tanxxx(x5(只需知道前几项)。)
315f(i)(g(a))
(g(x)g(a))i[(g(x)g(a))n].i!*Taylor展开的应用:近似计算、求极限、证明一些与高阶导数有关的结论……★在此总结一下求函数极限的一些方法:
(1)-语言(较繁琐,极少使用);
1nnanbn(2)代数变形,如xx,abn1,aabb,n2n11aab...bxf(x)
axexlna,f(x)x,f(x)g(x)eg(x)lnf(x),补0等;
x(3)等价无穷小替换(加减法中慎用,避免产生更高阶的无穷小);(4)Heine定理:可以用函数极限求对应数列的极限;
(5)先证明相关数列收敛,再用取整函数夹逼(必须转化为某变量趋向的情况);(6)L' Hospital法则:求导之后会变得简单或可以计算时使用,注意不是不定型的不能使用;(7)Taylor展开:可以自行选择展开的项数以配凑次数。(在确定式子阶数之后,一定要展0
开到所有能产生该阶小量的项都出现。在处理型式子时几乎万能)
0四、函数的单调性与凸性
1、用一阶导数的符号判断函数的单调性:注意,可导函数在某区间单调递增(递减)的充要条件是f’(x)≥0(≤0),等号不能少。另外,极值点是x的值而不是一个点。
7*一个有趣的结论:对于连续可导函数f(x),若lim
xa
f(x)
f'(a(再次提醒补)0的重要性)。
xaxa2、几个概念(1)极值点:使得f(x)在x附近的一个邻域内取得最值的x的值。函数在极值点处不一定可导,但只要可导,则其导数等于0。
(2)临界点(驻点):在该点处可导且导数为0的x的值。临界点不一定是极值点,可能只是函数变化过程中在此点的瞬时变化率为0,其两侧的单调性可以相同。
3、函数取极值的充分条件:极值点的左右邻域内导数值异号(一边≥0,另一边≤0)。
4、用一阶、二阶导数判断极值点:若f’(x0)=0且f’’(x0)≠0,则x0是f(x)的极值点。(f’’(x0)>0为极小值点,f’’(x0)<0为极大值点)*通过Taylor展开做出的推广:若存在正整数n使得f(x)在x0处的前(2n-1)阶导数都等于0,而2n阶导数不等于0,则x0是f(x)的极值点。
5、求函数在闭区间上最值的步骤:求极值→求端点值→比较以上各值。lim
6、凸性的定义:对于[a,b]上的连续函数f(x)与x1,x2[a,b],
x1x2f(x1)f(x2)
)f(x)在[a,b]上下凸。反之则为上凸。22xx...xnf(x1)f(x2)...f(xn)
*推论:f(x)在[a,b]上下凸x1,x2,...,xn[a,b],f(12).
nnf(
f(x)
存在,则f(a)0,且xa7、用二阶导数判断凸性:仍然注意≥与≤的等号不能少。另外,拐点是点而不是x的值。
8、拐点的实质:两侧邻域内凸性相反的点。可以二阶不可导,但一旦二阶可导则二阶导数等于0。9、函数草图的描画步骤
(1)确定函数f(x)的定义域。如果有奇偶性、周期性,也需指出;
(2)计算f’(x),找出所有驻点与不可导点,确定f(x)的单调区间与极值(表格);(3)计算f’’(x),确定f(x)的凸性区间与拐点(表格);(4)讨论曲线的渐近线;
(5)将极值点、拐点处的函数值求出,如需要增加图像的准确性,可以再取几个特殊点。
(6)最终图像效果的衡量:单调性、凸性是否正确,渐近线是否正确并画全,关键点处函数值是否正确。
*五、用Newton切线法求方程的近似解
1、基本原理:在f(x)零点ξ所在小区间[a,b]的端点处作切线,此切线与x轴交于(x1,0);再作(x1,f(x1))处的切线,此切线与x轴交于(x2,0);以此类推,数列{xn}将收敛于ξ。
f(xn)
xx.n2、数列{xn}的递推式:n1f'(xn)8M
|xn|2,其中M是|f’’(x)|在[a,b]上的最大值,m是2m|f’(x)|在[a,b]上的最小值。
3、误差估计:|xn1|
第三章一元函数积分学(本章重难点在于不定积分和非初等定积分,其余的部分稍微简略一些)一、定积分的概念
1、Riemann和:对闭区间[a,b]做分割a=x0 i1n 2、可积:即在n→∞(本质上是max{Δxi}→0)时Riemann和收敛,并且此极限与分割点和ξi的选取无关。闭区间上有有限个间断点的有界函数可积;闭区间上的连续函数必定可积。 3、定积分的几何意义:曲边梯形的面积(注意函数图像在y轴下方时的情况)4、定积分的基本性质 (1)f(x)dx0; aa (2)f(x)dxf(x)dx; a b ba (3)f(x)dxf(x)dxf(x)dx; a a c bcb (4)[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx; a a a bbb (5)f(x)g(x)f(x)dxg(x)dx; a a bb (6)|f(x)dx||f(x)|dx; a a bb (7)x[a,b],f(x)0f(x)dx0; a b (8)(积分中值定理)若f(x)在[a,b]上连续,则存在(a,b),使得f(x)dxf()(ba). a b 5、原函数与微积分基本定理 xdx(1)对于[a,b]上的连续函数f(x),有f(t)dtf(x),即f(t)dt是f(x)的一个原函数。 adxa d(x) *推论:f(t)dtf((x))'(x)f((x))'(x). dx(x) (2)微积分基本定理——Newton-Leibniz公式: 对于[a,b]上的连续函数f(x),若F(x)是其原函数之一,则f(x)dxF(b)F(a)F(x)|ba ab 二、不定积分1、不定积分的性质 9(1)[f(x)dx]'f(x),即df(x)dxf(x)dx;(2)F'(x)dxF(x)C,即dF(x)F(x)C;(3)[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx. ☆2、基本不定积分公式(规定所有公式中a>0) x1(1)xdx1C(1); 1 (2)xdxln|x|C; axxxx (3)adxlnaC(a0,a1),edxeC; (4)sinxdxcosxC;(5)cosxdxsinxC;(6) xdxtanxC; cosx12 (7)sin2xdxcscxdxcotxC; 1x (8)dxarcsinC(a0);a2x2 a11x (9)dxarctanC(a0);a2x2aa21 dx sec 2 (10)tanxdxln|secx|C;(11)cotxdxln|sinx|C; x 2|C;(12)secxdxln|secxtanx|Cln|x1tan 2x (13)cscxdxln|cscxcotx|Cln|tan|C;21tan (14)secxtanxdxsecxC;(15)cscxcotxdxcscxC;(16)sinhxdxcosh(17)cosh(18)(19)(20) 1x 22xC; xdxsinhxC;a 22dxln|x xa 2x2a 22 |C; 2x xadx 2x a2x2dx 2a 2 x2 a2ln|xx2a2a2xarcsinC。2a|C; 注意:最后三个公式都可以用分部积分公式推导,其中只有(18)可以直接使用。 10三、积分方法 (1)有理式:运用Остроградский分解,将真分式 Pm(x) 分解为Pn(x)(xx)(xj1i1 jij1i1k p kjAji q ljBjixCji 2jxj)i的形式(i24i0)。以上分解运用了代数 基本定理,即任意n次多项式Pn(x)可分解为 (xx1)k1...(xxp)p(x21x1)l1...(x2qxq)q的形式(i24i0,1iq)。(2)三角换元:①万能代换;②出现a2x2令xasint;③出现x2a2令xtant;④出现x2a2令xsect。(注意secx与tanx既有导数关系又有平方关系,对于三角函数有理式,可以尝试转化成只含secx的积分,然后凑微分sec2xdxd(tanx),再利用平方关系把secx通通转化为tanx。) nn(3)根式换元:axb,l cxd均可以换元,转化为有理式。exf(4)双曲换元:建议熟练者使用。遇到x2a2的式子,分别可以令xsinht(根号中为a2)和xcosht(根号中为a2)。 (4)凑微分法:通过代数变形巧妙凑出g’(x)dx的形式,将其化为dg(x)。 常见的变形:分离常数(有理式),加上再减去,乘上再除去,裂项(因式分解的积累), f(x) f(x) ...f(x)(5)分部积分:①凑dv(x)微分的推荐顺序:三角→指数→幂函数→对数→反三角。 ②u(x)dv(x)u(x)v(x)v(x)du(x).在v(x)du(x)容易求的情况下较好用。注意等号右边可能会再次出现u(x)dv(x)且无法与左边抵消,此时相当于解关于u(x)dv(x)的方程。 备注:不定积分换元求完以后要从其他变量回到关于x的表达式;定积分换元以后要注意积分上下限的变化。(6)其他的常用公式 ①若f(x)在[l,l]上连续,则 ll l0,当f(x)为奇函数时, f(x)dx[f(x)f(x)]dx 02f(x)dx,当f(x)为偶函数时。0 laTbaa ②若f(x)是以T为周期的连续函数,则 ba f(x)dxf(x)dx; 0 T ③若f(x)在[a,b]上连续,则f(x)dxf(abx)dx;④设f(x)连续,则xf(sinx)dx 0 2 0 f(sinx)dx2f(sinx)dx2f(cosx)dx. 0 0 ⑤2sinxdx2cos2nxdx 0 0 2n (2n1)!!;(2n)!!2(2n)!! (.n0) (2n1)!!1120 sin 2n1 xdx2cos2n1xdx 0 四、定积分的应用(1)弧微分: x0点附近一小段曲线的弧长ds(dx)2(dy)21f'2(x0)dx.可以用此公式计算[a,b]上的弧长s ba1f'2(x)dx. 对于参数方程xx(t),yy(t),t,有s x'2(t)y'2(t)dt.r2()r'2()d. 对于极坐标系中的曲线rr(),,有s 2曲线的曲率半径 1ds(1y')||,其中K为曲率。Kdy''32(2)平面图形的面积 ①在直角坐标系中,若一图形D对应点集{(x,y)|axb,f(x)yg(x)},则该图形的面积Adxdydx Dabg(x)f(x)dy(g(x)f(x))dx. ab②在极坐标系中,若一图形由曲线rr()和直线,()包围而成,则图形的面积A 12r()d.2(3)立体图形的体积 ①在空间直角坐标系中,若一几何体在垂直x轴方向的截面积是x的函数A(x),axb,则几何体的体积VA(x)dx. ab②旋转体:由曲线yf(x),axb绕x轴旋转一周所形成的几何体的体积为Vf2(x)dx. ab(4)旋转曲面的面积 由曲线yf(x),axb绕x轴旋转一周所形成的曲面的面积为A2f(x)1f'2(x)dx. ab(5)平均值:函数在区间[a,b]上的平均值y f(x)dx abba。可用于等效计算。12五、反常积分(广义积分、瑕积分)1、定义 f(x)dx aAlim f(x)dx;f(x)dxf(x)dxf(x)dx; aabcAa对于f(x)在[a,b]上的无界点c,有f(x)dxlim0cf(x)dx. b2、反常积分敛散性的判别 (1)直接利用定义。注意:当f(x)dx与f(x)dx均收敛时,f(x)dx才收敛。