高考★圆锥曲线★的基本公式推导(学长整合版)

圆锥曲线的几年夜年夜题特征公式：焦半径、准线、弦长、切线方程、弦中点公式、极线方程之答禄夫天创作

创作时间：二零二一年六月三十日

/*另外, 针对“计算欠好”的同学, 自己提供“硬解定理”供年夜家无脑使用.具体的请参考本目录下的【硬解定理的推导和使用】文章.*/ 圆锥 曲线 的切 线 方程 在 历年高考题中呈现, 可是在高中教材及资料都涉及较少.本文主要探索圆锥曲线的切线方程及其应用.从而为解这一类题提供统一、清晰、简捷的解法. 【基础知识1：切线方程、极线方程】

【1-0】公式小结：x换成xx0, y换成yy0, x换成(x+x0)/2,y换成(y+y0)/2.

【1-1】 椭圆的切线方程 ：①椭圆 x2y2ab22222

1上一点P(x0,y0)处的切线方程是 2xx0yy021. 2ab②过椭圆 x2y2ab1外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是

xx0yy021. a2b22xy③椭圆221与直线AxBxC0相切的条件是A2a2B2b2C20 ab(也就是下篇文档所讲的硬解定理公式△=0的充要条件) 【1-2】双曲线的切线方程： ①双曲线x2y2ab221上一点P(x0,y0)处的切线方程是 xx0yy021. 2ab创作时间：二零二一年六月三十日

创作时间：二零二一年六月三十日

②过椭圆 x2y2ab221外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是

xx0yy021. 2ab③椭圆x2y21a2b2与直线AxBxC0相切的条件是

A2a2B2b2C20 【1-3】抛物线的切线方程：

物线 y22px 上一点P(x0,y0)处的切线方程是 yy02p(xx0) ②过抛物线y22px外一点 地方引两条切线是yy02p(xx0) ③抛物线 y22px与直线AxBxC0相切的条件是pB22AC 【1-4】 基础知识的证明：

【公式一：曲线C上切点公式证明】

1、第1种证明思路：过曲线上一点的切线方程

设曲线C上某一点处 P(x0,y0)的 切 线 方 程 为yy0k(xx0), 联立方程, 令0,获得k的表达式, 再代入原始式, 最后得切线

xx0yy0(x0)2(y0)2方程式22221 abab（注:k的表达式可以在草稿中巧用点差法求,具体见下） 2、第2种证明思路：点差法(求斜率, 其余跟第一种方法一样) 证明：设某直线与曲线C交于M、N两点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2), 中点P(x0,y0) x12y12221,(1)2222x1x2y1y2ab0. 则有2(1)(2), 得222abx2y21.(2)b2a2yy1y1y22y0y0y2y1y2y1b2,. 2 又kMN2xxxx2xxx2x1x2x1a211200创作时间：二零二一年六月三十日

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y0b2kMN2x0akMNy0b22) x0a (弦中点公式的椭圆基本表达式.双曲线则是

当M、N无限趋近时, P在椭圆C

b2x0上.即得切线斜率k2 ay03、第三种证明思路(注意：仅供理解, 考试使用可能分

证明：由2（圆锥曲线切线证明）（同一目录下文章）可知圆上一点的切线方程.

附言：第1种证明思路中, 抛物线证明过程中稍微有些分歧.③ ①切线斜率可用导数暗示.

②获得式子后, 要利用y022px把y02消去.

【公式二：曲线外一点引切线, 过切点作直线的通式证明】(称为极线方程)

证明思路：过P(x0,y0)作两条曲线C的切线, 切点为A(x1,y1), B(x2,y2).

Ax1By1C0.所以过A、B两点直线lAB方程为AxBxC0 AxByC022证明(就举椭圆为例)

解：过P(x0,y0)作两条曲线C的切线, 切点为A(x1,y1), B(x2,y2). 过A点切线:xx1yy121, 过2abB点切线：xx2yy221. 2ab过A、B两点直线lAB方程为xx0yy021 a2b【公式三：由公式一的思路可得】

【基础知识2：焦半径与准线】(具体关系与内容省略, 详情看圆

创作时间：二零二一年六月三十日

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锥曲线知识表格)

【1-1】焦半径公式(具体推导用“两点间距离公式”也可解决, 之后类似“求长度”的题型, 求长度式子写“两点间举例公式”, 结果可以直接靠背.对焦半径PF,

口诀：椭圆F左加右减.aex(记忆：a年夜则在前) 双曲线F左加右减, 双曲线上点P左减右加.exa a2焦半径与点到准线距离关系如下.即(aex)/e=x准线距离 c推广应用:

通过m,n比例e的值cos的值tank的值 巧用公式cosmn1(注：双曲线交于同侧、抛物线类似) mne不外需要注意的是, 双曲线交于异侧时, 公式就酿成

cosmn1, 具体自己推导吧 mne【基础知识3：弦中点公式及系列类似结论拓展】(坐标幻化只能用于证明部份内容) 【结论一：弦中点公式】

【证明】：设某直线与曲线C交于M、N两点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2), 中点P(x0,y0) x12y12221,(1)2222x1x2y1y2ab0. 则有2(1)(2), 得222abx2y21.(2)b2a2yy1y1y22y0y0y2y1y2y1b2,. 2 又kMN2x2x1x1x22x0x0x2x1x2x1a创作时间：二零二一年六月三十日

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即kMNy0b2kMNkOP2x0a(经常使用)

结论：斜率不变的直线与椭圆交于两点, 所得两点中点的轨迹是一条过原点的直线. 【笼统理解型证明】

具体理解, 可以用“坐标系幻化理解”

证明：设某斜率为定值k的直线与曲线C交于M、N两点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2), 中点P(x0,y0) x2y221, 令xax',y=by'(x')2+ (y')21. 2ab∵幻化后, x轴缩短a倍，y轴缩短b倍, 获得中点轨迹方程始终与MN垂直

【结论二：极点连线斜率乘积公式】(用坐标幻化好理解)(部份设元会用它比力方便)

kAPkBPb22a,具体证明见下面的“拓展性证明”,若要笼统理解的

话坐标幻化后两个垂直, 证明方法和上面一样.至于双曲线, 则是

kAPkBPb22a.结论可以直接背, 不外引用的时候还得依照下面的方

法老实推导.

【结论三：（上一结论的延伸）对称点连线斜率乘积公式】(没法用坐标幻化)

证明：不建议设直线, 直接设两个元最后消元即可(此处只列椭圆的, 双曲线的证明类似)

创作时间：二零二一年六月三十日

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A(m,n)、B(m,n)在椭圆上, 且关于原点对称.

x12y1221,(1)y2n2b2a2b2 则有2(1)(2), 得222xmamn1.(2)a2b2创作时间：二零二一年六月三十日

创作时间：二零二一年六月三十日