几何体中的截面问题

1．概念及相关要素

用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做那个几何体的截面．此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线．此平面与几何体的棱的交集(交点)叫做截点．

2．作多面体的截面方式(交线法)：该作图关键在于确信截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连结成截线，从而求得截面．

题型一、截面的形状

1．P、Q、R三点别离在直四棱柱AC1的棱BB1、CC1和DD1上，试画出过P、Q、R三点的截面．

D1

(2)连接EF交AB于Ｔ，交AD于S．

C1B1QA1RDPCBE、F. D1解答：(1)连接QP、QR并延长，别离交CBA、CD的延长线于 1C1B1Q

FA1RSATED(3)连接RS、TP。那么多边形PQRST即为所求截面。

作过这三点的截面．

A1QC1RABDB1PCD1PBC2．已知P、Q、R别离是四棱柱ABCD―A1B1C1D1的棱CD、DD1和AA1上的点，且QR与AD不平行，求

A1QRAMDD1C1B1PCB

2解答： (1)连接QP并延长交DA延长线于点I。 (2)在平面ABCD内连接PI交AB于点M。 (3)连接QP、RM。那么四边形PQRM即为所求。

I注：①假设已知两点在同一平面内，只要连接这两点，就能够够取得截面与多面体的一个面的截线。 ②假设面上只有一个已知点，应设法在同一平面上再找出第二确信的点。 ③假设两个已知点别离在相邻的面上，应找出这两个平面的交线与截面的交点。

3．一个正方体内接于一个球，过那个球的球心作一平面，那么截面图形不可能是 ．．．

3答案：D

A

B

C

D

解析：考虑过球心的平面在转动过中，平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的内接正方形，应选D。 题型二、截面面积、长度等计算

4．过正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1的截面面积为S，Smax和Smin别离为S的最大值和最小值，那么的值为 ( ) A．

SmaxSmin3 2B．

6 2C．

23 3D．

26 34答案：C

解析：设M、N别离为AA1、CC1的中点.易证截面BMD1N是边长为5的菱形(正方体棱长设为1),其面积2S(min)=6. 而截面BB1D1D是矩形,其面积S(max)=2． 2球，那么平面ACD1

5. 如图，已知球O是棱长为1 的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切截球O 的截面面积为 ． 5答案：

的正三角形，且球与以点D为公共

解析：平面ACD1是边长为点的三个面的切点恰切圆的面积，那么由的面积是

为三角形ACD1三边的中点，故所求截面的面积是该正三角形的内图得，△ACD1内切圆的半径是π×

×

=

．

×tan30°=

，那么所求的截面圆

6．已知球的半径为2，彼此垂直的两个平面别离截球面得两个圆．假设两圆的公共弦长为2，那么两圆的圆心距等于（ ）

A．1 6答案：C

解析：O1与O2的公共弦为AB，球心为Ｏ，AB中点为C， 那么四边形O1OO2C为矩形，|OO12||OC|,|OA|2,

B．2

C．3

D．2

Ｏ Ｏ２ Ｏ2

Ｃ |OC||OA|2|AC|23 因此|AC|1,ACOC7．已知正四棱锥P—ABCD的棱长都等于a,侧棱PB、PD的中点别离为M、N，那么截面AMN与底面ABCD所成二面角大小的正切值为 ．

7答案：

1 2交于O，连接PO，N ，因此MN//BD，

解析：过A在平面ABCD内作直线lBD，连接AC,BDMN．记PO、MN交于O‘．因为PB、PD的中点别离为M、因为lBD，因此lMN，Al，因此l平面AMN ， 平面ABCD．易知OAO即为面AMN与底面ABCD所角．

l平面AMN∩

成二面角的平面

AOPO221aOOatanOAO 242

8．如图，正方体ABCDA1BC11D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S。那么以下命题正确的选项是_____ ①当0CQ②当CQ1时，S为四边形 21时，S为等腰梯形 231③当CQ时，S与C1D1的交点R知足C1R1

433④当CQ1时，S为六边形

4⑤当CQ1时，S的面积为8答案： ①②③⑤

解析：设截面与D1D相交于T，则AT//PQ且AT2PQDT2CQ. 对①，.当0CQ对②, .当CQ真.

6 21时,则0DT1.因此截面S为四边形，且S为梯形.因此为真. 21时, DT = 1,T与D1重合，截面S为四边形APQD1,所以APD1Q.截面S为等腰梯形. 因此为231311时QC1,DT,D1T.利用三角形相似解得C1R1.因此为真. 4422333对④, .当CQ1时,DT 2.截面S与线段A1D1,D1C1相交，因此四边形S为五边形.因此为假.

42对③, .当CQG1即为菱形APC1G1A.对角线长度别离为对⑤,.当CQ1时，Q与C1重合,截面S与线段A1D1相交于中点2和3，S的面积为6. 因此为真. 2得

9．如图，ABCDA1B1C1D1为正方体。任作平面与对角线

AC垂直，使得与正方体的每一个面都有公共点，记如此取的截面多边形的面积为S，周长为l.那么（ ） A．S为定值，l不为定值 B．S不为定值，l为定值 C．S与l均为定值 D．S与l均不为定值

9答案:B

解析:将正方体切去两个正三棱锥AABD与CDBC后，取得一个以平行平面ABD与DBC为上、下底面的几何体V，V的每一个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W的每一条边别离与V的底面上的一条边平行，将V的侧面沿棱AB剪开，展平在一张平面上，取得一个平行四边形ABB1A1，而多边形W的周界展开

，显然AA1EE1，故l为定值。 后便成为一条与AA1平行的线段（如图中EE1）

当E位于AB中点时，多边形W为正六边形，而当E移至A处时，W为正三角形，易知周长为定值l的正六边形与正三角形面积别离为题型三、截面图形的计数

10．设四棱锥 PABCD 的底面不是平行四边形, 用平面去截此四棱锥, 使得截面四边形是平行四边形, 那么如此的平面( )

A. 不存在 B. 只有1个 C. 恰有4个 D. 有无数多个 10答案：D

解析：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m，n，直线m、n确信了平面β，作与β平行的平面α与四棱锥侧棱相截，那么截得的四边形是平行四边形．如此的平面α有无数多个．

11．过正四面体ABCD的极点A做一个形状为等腰三角形的截面，且使截面与底面BCD成75角，问如此的截面可作几个？ 11答案：6个．

解析：能够证明的棱、侧面与底面成角均小于75度，如此过极点与底面成75度角，且平行与底面一条边的 截面也确实是符合题意的截面，有两个。三条边确实是6个。 题型四、截面图形的性质

12．如图4，在透明的塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有以下四个命题： ① 水的部份始终呈棱柱状； ② 水面EFGH的面积不改变； ③ 棱A1D1始终与水面EFGH平行；

④ 当容器倾斜到如图4（2）时，BE·BF是定值； 其中正确的命题序号是______________ 12答案：①③④

解析 当长方体容器绕BC边转动时，

B1 A E

B F 图4（2）

3232l与l，故S不为定值。 2436A1 E A B A1 F

图4（1）

D1

B1

H D C D1

C1

D H G C C1 G

盛水部份的几何体始终知足棱柱概念，故①正确；在转动进程中EH//FG，但EH与FG的距离EF在变，因此水面EFGH的面积在改变，故②错误；在转动进程中，始终有BC//FG//A1D1，因此A1D1//面EFGH，③正确；当容器转动到水部份呈直三棱柱时如图5（2），因为V水定值，即④正确。

13．有一容积为1 立方单位的正方体容器ABCD-A1B1C1D1，在棱B1C的中点各有一小孔E、F、G，假设此容器能够任意放置，那最大容积是 A．

D A E D1 A1 图（1）

1BEBFBC是定值，又BC是定值，因此BE·BF是2AB、BB1及对角线么该容器可装水的

C B F G C1

747111 B． C． D．

84821213答案：C

解析：此题很容易以为当水面是过E、F、G三点的截面时容器可装6（1），最大值为V1B1

D C

E D1 B G F B1

图（2）

水的容积最大图解法，错误缘故

11171立方单位,这是一种错误的2228A 是对题中“容器是能够任意放置”的明白得不够，其实，当水平面△EB1C时容器的容积最大，最大容积为V1C1

调整为图6（2）

1111111． A1 3221214．(08年江西)如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好的极点P。若是将容器倒置，水面也恰好于点P（图2）。题：

A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半 B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好于点P

C．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好通过点P D．假设往容器内再注入a升水，那么容器恰好能装满 其中真命题是： 14答案：BD

解析：a升水对应的体积为V，那么正四棱锥的体积容器的盛水量为2V．

镶嵌了同底的通过正四棱锥

PP有以下四个命

图1图2VV5，正四棱柱的体积为VVV 222易知所盛水的容积为容器容量的一半，故D正确，于是A错误；水平放置时由容器形状的对称性知水面通过点P，故B正确；C的错误可由图1中容器位置向右边倾斜一些可推知点P将露出水面。