陈俊斌
【摘 要】说题是近年来一种比较高效的教研活动,能以小见大,去虚务实.教师现场说题是指教师通过\"选题、做题、想题、改题、编题\"等一系列活动,向同行和专家系统地概括自己对题目的理解、分析、解答和反思的思维过程,并按一定规律和顺序表达出来,是一种深层次的备课.教师说题的常见形式有一题一说、一题多说、多题一说等.文章以教师现场说题比赛活动为例,谈谈对教师现场说题教研活动的思考与认识,以期达到抛砖引玉的效果. 【期刊名称】《中学教研：数学版》 【年(卷),期】2018(000)001 【总页数】5页(P26-30)
【关键词】现场说题;一题一说;一题多说;多题一说;数学说题 【作 者】陈俊斌
【作者单位】南安市教师进修学校,福建南安 362300 【正文语种】中 文 【中图分类】O12
1 国内外研究现状综述 1.1 国内研究现状综述
上世纪90年代，“说数学”就引起了国内教育界的高度关注.曹才翰先生和章建跃
博士所著的《数学教育心理学》中提出：通过“说数学”的教学活动能有效实现“数学地交流”.2003年颁布的《普通高中数学课程标准》提出“提高数学表达和交流能力”的课程目标.直到21世纪，国内数学教育工作者把“说数学”研究扩大到实践层面，不断把“说数学”细化，从而出现了教师“说题”的教学活动.2011年出版的《义务教育数学课程标准》，提高了学生“说”的地位，更重视提升学生的数学应用能力，而开展学生说题教研活动是提升学生能力的实质性举措之一.国际上对中学数学说题的研究较早就开始了，但发展不成熟，大多是一线教师零散经验的积累和总结，未成体系.本文结合教研实践，主要谈谈教师如何进行数学现场说题.
1.2 国外研究现状综述
对于说题，最早可以追溯到古希腊著名的哲学家苏格拉底的“产婆术”教学法.他主要采用谈话式、讨论式、启发式的教育方法，通过向学生提问，不断揭露对方回答问题中的矛盾，引导学生总结出一般性的结论，它的本质是教师引导学生去“说”，在“说”的过程中提升认识(师生互动说).1989年的《加拿大数学课程标准》，第一次提出把“说数学”作为评课的标准;新加坡的《大纲》十分重视学生用语言表达数学的能力；俄罗斯的《大纲》则在描述培养学生习惯方面更加明确，要求学生无论是口头交流还是书面交流都要清晰流畅;美国数学教师协会(NCTM)在2000年制定的《学校数学的原理和标准》中的学习原理指出：“学生应该以理解的方式学习数学，在自身经验和原有知识的基础上建构对新知识的理解.”因此，教学中需要让学生说出自己的思维过程;法国的《数学教学大纲》提出要让学生能够“明确地表述”“使学生在书写和口头交流方面形成清楚的习惯”;日本的数学教学大纲中也要求学生能够“数学地表示、表达”；此外，荷兰、英国等国家的教学大纲或课程标准也都把学生能“说数学”作为一个重要目标. 2 相关概念及案例
在日常的教育教学中，我们经常会听到这样的交流：“某某同学讲的这道题，比老师讲得还明白”“某某同学某学科会讲题，他这科的成绩比其他学科就是高！”“你看，这组习题我在下面自己研究透了，给自己讲明白了，上课的时候得心应手”.作为教研员，下校听课调研时，经常看到有些教师上课满堂灌、学生被动听，花大量时间解题训练，不注重调动学生的学习积极性，不关注或少关注学生的数学思维活动.
鉴于此，笔者所在单位组织了多次教师说题比赛，取得了一定的成效.现结合福建省南安市开展的说题比赛及教研实践，对几个相关概念进行界定. 2.1 数学说题
数学说题是指说题者在精心解题的基础上，面对被说题者，在题目的知识内涵、能力要求、思想方法、拓展变式、反思总结等方面作出解说，以口头表达为主，以数学思想方法为依据，以问题本身涉及的知识内涵为基础的一种教学研究活动.简单地说，“说题”就是把审题、分析、解答和回顾等思维过程按一定顺序说出来的一种教研展示活动.
从说题主体来看，说题可分为教师说题、学生说题、教师和学生互动说题. 2.2 教师现场说题
教师通过“选题、做题、想题、改题、编题”等一系列活动，向同行、专家系统地概括自己对题目的理解、分析、解答和反思的思维过程，并按一定规律和顺序表达出来，是一种深层次的备课.
教师说题主要包括如下4个环节：1)说“背景来源”，即试题来源于教材、中(高)考试题、经典试题或数学竞赛试题改编等.2)说“试题立意”，即指明试题的考查目标、《考试说明》所对应的要求，具体考查哪些知识点、能力、思想.3)说试题解法:一方面说教师如何分析讲解，如讲题的基本方法，具体操作流程等；另一方面说如何指导学生作答，比如指导学生根据分值进行分点、分层作答，指导学生根
据材料寻找采分点,指导学生养成相应的答题习惯.4)说“拓展引申”,即结合学情和考情说对试题的评价或改进、解题规律的推广、试题的拓展及变式分析以及对今后命题趋势的分析及方向预测.
例1 设函数曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为y=e(x-1)+2. 1)求a,b； 2)证明：f(x)>1.
(2014年全国数学高考卷Ⅰ理科试题第21题)
本题为“福建省南安市2017年中学数学现场说题比赛”中，南安一中廖老师选取的说题试题.该教师从题目背景、解法初探、进一步探究、解法总结、试题拓展、解题反思等方面进行说题.第1)小题容易得到a=1,b=2.下面着重对第2)小题进行研究，截取其中典型的部分展示如下：
解法初探 首先由第1)小题知要证f(x)>1首先想到求f(x)min(诚然想法很单纯，但是道路太坎坷)，可求得
(其中x>0).
显然此处的一阶导函数有点复杂，是否继续前行，得有一个判断，否则很可能费时费力，没有好的成效.我们认为，一阶导数应该有4个理想的模式：①恒大于0或者恒小于0;②可求出具体零点;③有单调性(可直接观察出或者二次导恒正或恒负)；④二阶导函数可求出零点.而此处一阶导数并没有看到上述理想的4种状态，显然二次导(除去恒正的项ex-1,x2)再求导也没利用价值(四阶导数才恒正)，因此考虑放弃此方法.有些情况没能看出有这4种理想状态，但是照样能解出题目，称其为理想状态，意思就是能理想最好，不理想也无妨，也能解题.
仔细分析发现本题中包含了3类基本初等函数：指数、对数、幂函数.在平时的训练中，我们喜闻乐见的求导是对数与幂函数、指数与幂函数在一起.不喜欢看到指
数与对数放一起求导，因此变形思路就出来了，此处体现了化归转化思想，转化成熟悉的问题来解决.若真碰到指数和对数在一起了怎么办？如：要证明
可等价变形为证明：①；或②变形前后都碰到一个相同的问题：证明不等式g(x)>h(x).解决此类问题有两种常用的处理方法：一是移项构造新函数，求新函数最值;二是通过中间桥梁g(x)>k>h(x)加强命题，证明一个更强的结论，即问题成立的一个充分条件：证明g(x)min>k,k>h(x)max,即证 g(x)min>h(x)max.
对变形①我们可以通过构造差函数证明函数不等式. 证法1 构造函数(其中x>0),求得 (其中x>0),
g″(x)=ex(ex+e-2)+2ex>0,
可判断出g′(x)在(0,+∞)上单调递增且有唯一零点从而当x∈(0,+∞)时，
再对求导，得出当时,
故f(x)>1.
评注 证法1是处理不等式恒成立问题常用的通法，也就是将不等式恒成立问题转化为差函数最值问题.这里采用“设而不求”的方法处理，此种方法共需求导3次，难度不可谓不大.
对于变形①尝试加强命题证明求得其中<1，而ln 2<1，故此法行不通.对于变形② xln x>尝试加强命题证明g(x)min>h(x)max，可得如下的证法2：
证法2 (加强命题证明)设函数则易求得g(x)在(0,+∞)上的最小值为(x)在(0,+∞)上的最大值为从而g(x)min≥h(x)max.由于g(x)，h(x)不同时取到最值，因此
g(x)>h(x).故当x>0时，g(x)>h(x)，即f(x)>1.
评注 变形②较变形①化简更彻底，化简到我们所熟悉的函数g(x)=xln x以及h(x)充分体现了化归转化思想的真谛，继而通过加强命题证明原命题，计算量较证法1大幅减少，真可谓磨刀不误砍柴工. 证法3 (放缩法)不等式等价于 (其中x>0).
将ex≥x+1中的x用x-1替换，可得ex-1≥x，从而
因此只要证不等式 (其中x>0), 即证 (其中x>0).
令通过求导易得g(x)min>0，原命题得证.
评注 利用教材中的不等式，通过替换得到新不等式再用放缩法把问题转化为eln x+>0(其中x>0)这个简单的不等式，从而解决问题.此解法的难点是放缩法，但是放缩法又是高考压轴题的常用技巧，因此平时有志于攻克难题的学生，可以有针对性地进行放缩法训练，为解决难题打下坚实的基础. 证法4 (他山之石)不等式等价于 (其中x>0).
先证ex≥ex:通过构造差函数g(x)=ex-ex，用求最值的基本步骤，求得g(x)min≥0,可得ex≥ex，当且仅当x=1时，等号成立;再证其中x>0)：用-ln x替换ex≥ex中的x，得 (其中x>0)，
当且仅当时，等号成立.因此借助ex≥ex和易得
因为两个不等式不能同时取到等号，所以 (其中x>0).
评注 此法借助两个函数不等式ex≥ex和来直接证题，简洁明了.在平时的学习中,学生要有意识地去记忆和运用这两个不等式，才能信手拈来，用得得心应手，恰到好处.
从压轴题的多种证法出发，主要说解题思维的全过程、最常见的解法碰壁后如何处理(化归)、学生解题经验的积累运用等方面，目的是培养学优生善于发现转化、归纳总结的能力，克服解决难题的心理畏惧感，深化学生思维，为成功拿下压轴题奠定良好的知识储备和心理基石. 3 说题的思考 3.1 说题的形式 3.1.1 一题一说
在教研活动中，不事先给说题者指定题目，由说题者根据自身需要，选择所说的试题.说题者可查阅相关资料，认真学习相关理论，深刻研究试题所涵盖数学知识的结构与分类，围绕试题来源、考查目标、解法分析、拓展价值分析等方面进行充分准备，然后在教研活动现场向评委(专家)示说. 图1
例2 如图1，在△ABC中，D是BC的中点，E,F是AD上的两个三等分点，则的值是______.
(2016年江苏省数学高考试题第13题)
评注 说题者可从试题的来源、解法探究(3种解法)、试题的推广(简单改编)、命题思路探寻、试题的实质性改造、教学启示等方面进行说题[1]. 3.1.2 一题多说
在教研活动中，组织者指定说题者针对同一习题(试题)，在同一次活动中展开示说.在活动中，教师可以展示自身教育理论功底、学科知识掌握程度、解题方法理解能力、对教学前瞻性理念的探求等，参与者能得到案例示范和理论滋养两个方面的收益，营造良好的教研氛围.学生在说题时，能展现其解答及思考过程，暴露对试题的思维过程.长期坚持说题，能提升其数学语言交流能力，培养学生敢于探索和创新的精神. 图2
例3 在足球场上，甲由A处向北偏东45°的方向作匀速直线奔跑，速度为米/秒，甲从A处奔跑的同时，乙从A处正东20米的B处出发，朝北偏东θ的方向作匀速直线奔跑(其中速度为米/秒．建立如图2所示的平面直角坐标系． 1)求甲、乙两人奔跑t秒后，他们各自所处位置的坐标；
2)试问：甲、乙两人出发后多长时间相距最近，最近距离为多少米？ (2011年福建省三明市质检文科试题第21题)
评注 对于本题，组织者可对说题者提出如下的说题要求:1)试题及解法展示；2)试题的评析(优、劣、存在的问题)；3)改编说明(主要阐述思路和理由)；4)改编题展示；5)改编题期望说明(主要考查目标，试题预设难度和区分度)；6)改编题的解法(以通性通法为主)；7)其他需要说明的问题.
比如对本题可以进行这样的试题评析：本题以学生熟悉的足球场为背景，背景公正、合理，考查三角问题的实际应用，考查学生综合分析问题和解决问题的能力;问题解决的过程中要求学生能利用图形结合实际问题，建立坐标系，实现点的坐标化，体现了数形结合思想;利用两点间距离公式，把最近距离问题化为二次函数的最小值问题，体现了化归与转化思想;存在的问题是试题中没有指出甲在足球场的具体位置，t的范围如何进行具体限制？
改编1 在某海域上，甲船由A处向北偏东θ(其中的方向作匀速直线航行，速度为
海里/时，甲从A处航行的同时，乙船从A处正东海里的B处出发，朝北偏东α(其中的方向作匀速直线航行，速度为3海里/时．建立如图2所示的平面直角坐标系．
1)求甲、乙两船航行4小时后，他们各自所处位置的坐标；
2)试问在第1)小题的条件下，如何确定乙船航行的方向使两船此时距离最近，最近距离是多少？
改编说明 把足球场改为海域，避免t的进一步限制，把行驶的时间设为定值，把乙行驶的方向角设置为变量，难度设置成“易”，使中等偏下的学生都能求解;第2)小题难度中等，使中等程度的学生能顺利求解.改编后的试题环环相扣、梯度分明，较好地体现了试题的区分度，能有效区分出知识掌握程度不同的学生，体现“不同的人在数学上得到不同的发展”的理念. 3.1.3 多题一说 图3
在教研活动中，说题者针对多道试题，就其共性方面(通解、数学思想方法等)展开示说.如围绕以下4道高考试题可就“数形结合”思想来进行多题一说. 例4 已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)的图像如图3所示，则f(0)= ( )
(2009年辽宁省数学高考理科试题第8题) 说题1 利用对称性，由形到数.
如图3，由图像可得该函数的最小正周期是利用周期性得f(0)=，再利用对称性得与互为相反数，即故选B.
例5 函数y=f(x)的图像如图4所示，在区间[a,b]上可找到n个不同的数x1,x2,…,xn，使得则n的取值范围是
( )
A.{3,4} B.{2,3,4} C.{3,4,5} D.{2,3}
(2013年安徽省数学高考理科试题第8题) 图4 图5
说题2 “由数思形”，建立对应关系.
利用的几何意义，由数思形，知即曲线上存在n个点与原点连线的斜率相等，亦即过原点的直线与曲线y=f(x)有n个交点(如图5)，从而原问题转化为直线与曲线的交点个数问题，利用“以形助数”“数形结合”即可求出n的取值范围是{2,3,4}.
例6 若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1,x2，且f(x1)=x1，则关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根个数是 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
(2013年安徽省数学高考理科试题第10题) 说题3 由数思形，以形助数.
由数思形：由极值点的意义可得x1,x2是方程3x2+2ax+b=0的两个实根，再由该方程的结构特征(二次项系数为正)可得函数f(x)的单调性(先增后减再增)，从而可利用单调性作出该函数的草图.因此要判断方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根个数，只需观察直线y=x1,y=x2与函数f(x)图像的交点个数情况(如图6).以形助数：作出直线y=x1,y=x2以及函数f(x)的草图即可得解. 图6 图7
例7 设a∈R，若当x>0时，均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0,则a=______. (2012年浙江省数学高考理科试题第17题)
说题4 由数到形，数形结合.
按照常规思路，本题求解时通常可分为两种情况： ①无解； ②无解.
受传统经验的影响，很多人可能会认为本题是错题或解不出来.事实上，本题可先“由数到形”，即将所给含参不等式转化成两个函数值的符号相同问题，然后通过分别作图(如图7)，观察它们的共同特征，“数形结合”得出它们的另一个交点位置是确定的，从而有效地避免了传统解法的分类及繁杂的数学运算及推理，顺利求出参数a的值. 4 结论
通过近几年教师现场“说题”比赛的开展，笔者发现：教师在说题前进行的一系列准备工作，如查阅资料、理论学习、中(高)考试题研究等，有利于提高教师解题、命题水平，有利于提升教师的教研水平;在现场说题时，他们能充分展现自身数学教育的理论功底、数学知识的掌握程度、数学方法的理解能力及对数学本质的认识.通过多次教师现场说题比赛的开展，参赛教师能很快成为教改教研的骨干力量. 本课题研究开展一年以来，能充分调动各中学的积极性，课题组成员所在学校数学组教师开设片区级以上的展示课20多节，课题组成员所在学校教师和学生均取得了较好的成绩. 参 考 文 献
【相关文献】
[1] 陈俊斌.一道高考数学试题引发的探究与思考[J].数学通讯，2017(1)：30-33.
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