新版高中数学选修2-2习题：第三章数系的扩充与复数的引入 检测B

第三章检测(B)

(时间:90分钟 满分:120分)

一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1复数z是实数的充分不必要条件为( )

A.|z|=z C.z2是实数 答案A

2设复数z=(a+i)2在复平面上对应的点在虚轴负半轴上,则实数a的值是( ) A.-1

2

2

B.z= D.z+ 是实数

解析若|z|=z,则z一定是实数,而z是实数,|z|不一定等于z.故选A.

B.1 C. D.-

解析z=(a+i)=(a-1)+2ai,根据条件有 - 解得a=-1.

答案A

3复数z=的模为( ) A. 解析∵z=

-

-

B.

- -

=- i,

- - - C. D.2

∴|z|= - - ,故选B.

答案B

4复数的虚部为( -

)

C.1

D.-1

A.i 解析∵ -

B.-i

-

=1-i,

∴复数的虚部为-1.

-

答案D

5复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位),则z的共轭复数 为( ) A.2+i

B.2-i

C.5+i

D.5-i

解析由题意得z-3==2+i,所以z=5+i.

故 =5-i,应选D. 答案D

6当z=-时,z100+z50+1的值是( ) A.1

- 解析原式= - - =

-

- B.-1

C.i

D.-i

- -

+1

- +1

=(-i)50+(-i)25+1=-i. 答案D

7若复数z满足=i,其中i为虚数单位,则z=( ) A.1-i C.-1-i 答案A

8复数z= -1,在复平面内z所对应的点在( ) A.第一象限 C.第三象限 解析z=答案B

9若z=cos θ+isin θ(i为虚数单位),则使z2=-1的θ值可能是( ) A.

-

-

B.1+i D.-1+i

B.第二象限 D.第四象限

- -

-1=-1=-1+i. -

B.

C.

D.

解析∵z2=(cos θ+isin θ)2=(cos2θ-sin2θ)+2isin θcos θ=cos 2θ+isin 2θ=-1,

∴

∴2θ=2kπ+π(k∈Z).

-

∴θ=kπ+ (k∈Z),令k=0知选D.

答案D

10设复数z=lg(m2-1)+ - i(m∈R),则z在复平面内的对应点( ) A.一定不在第一、二象限 B.一定不在第二、三象限 C.一定不在第三、四象限

D.一定不在第二、三、四象限

- 解析因为 所以m<-1,此时lg(m2-1)可正、可负, - ,故选C.

- 答案C

二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)

-

11已知 =1+i(i为虚数单位),则复数

z= .

答案-1-i

12若复数解析

(a∈R,i是虚数单位)是纯虚数,则实数a的值为

.

-

-

-

.

∵复数 是纯虚数,∴ - 解得 a=-6.

答案-6

13设复数a+bi(a,b∈R)的模为 ,则(a+bi)(a-bi)= . 答案3

14若(3-10i)y+(-2+i)x=1-9i,则实数x,y的值分别为 . 解析原式可以化为(3y-2x)+(x-10y)i=1-9i,根据复数相等的充要条件,有 答案1,1

15复数z1=3+4i,z2=0,z3=c+(2c-6)i在复平面内对应的点分别为A,B,C,若∠BAC是钝角,则实数c的取值范围为 .

解析在复平面内与z1,z2,z3对应的三点坐标分别为A(3,4),B(0,0),C(c,2c-6),由∠BAC是钝角得

<0,且B,A,C不共线,即(-3,-4)· =(6,8)=-2 ,三点共线,故 (c-3,2c-10)<0,解得c> .其中当c=9时,

- 解得

- -

c≠9.

答案 且

三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16(8分)设复数解

- z=

- 2z=,若z+az+b=1+i,求实数 -

a,b的值.

=

-

- -

=1-i.

-

将z=1-i代入z2+az+b=1+i, 得(1-i)2+a(1-i)+b=1+i, 即(a+b)-(a+2)i=1+i, -

-

∴

17(8分)已知(2+i) =7+i,求z及 . 解设z=a+bi(a,b∈R),则 =a-bi.

∴(2+i)(a-bi)=7+i. ∴(2a+b)+(a-2b)i=7+i. ∴

∴z=3+i. -

-

∴ =3-i.故 i.

18(9分)已知复数z满足|z|= ,z2的虚部为2. (1)求复数z;

(2)设z,z2,z-z2在复平面内对应的点分别为A,B,C,求△ABC的面积. 解(1)设z=a+bi(a,b∈R),由已知条件得,a2+b2=2,

又z2=a2-b2+2abi,∴2ab=2. 由①②解得a=b=1或a=b=-1, 即z=1+i或z=-1-i.

(2)当z=1+i时,z2=(1+i)2=2i,z-z2=1-i,

① ②

∴点A(1,1),B(0,2),C(1,-1), ∴S△ABC= ·|AC|·1=×2×1=1.

当z=-1-i时,z2=(-1-i)2=2i,z-z2=-1-3i.

∴点A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3), ∴S△ABC= ·|AC|·1= ×2×1=1.

故△ABC的面积为1.

19(10分)已知w=z+i(z∈C),且 为纯虚数,求M=|w+1|2+|w-1|2的最大值及M取最大值时w的值.

解设z=x+yi(x,y∈R),

则

-

-

-

-

.

∵ 为纯虚数,∴x2+y2-4=0,且y≠0.

∴M=|w+1|2+|w-1|2=(x+1)2+(y+1)2+(x-1)2+(y+1)2=12+4y. ∵x2+y2-4=0,且y≠0, ∴x2=4-y2≥0,且y≠0. ∴-2≤y<0或0当y=2时,M取得最大值,且为20,此时w=3i.

20(10分)复数z和w满足zw+2iz-2iw+1=0,其中i为虚数单位. (1)若z和w满足 -z=2i,求z和w的值;

(2)求证:如果|z|= ,那么|w-4i|的值是一个常数,并求这个常数. (1)解设z=a+bi,w=c+di(a,b,c,d∈R),

由zw+2iz-2iw+1=0得

(a+bi)(c+di)+2i(a+bi)-2i(c+di)+1=0, 即(ac-bd-2b+2d+1)+(ad+bc+2a-2c)i=0.

-

∴ac-bd-2b+2d+1=0,

ad+bc+2a-2c=0.

又 -z=2i,∴c-di-(a+bi)=2i, 即(c-a)-(b+d)i=2i.

① ②

∴c-a=0,

b+d=-2.

解①②③④组成的方程组,得a=0,c=0,d=-1,b=-1或a=0,c=0,d=-5,b=3.

③ ④

∴z=-i,w=-i或z=3i,w=-5i.

(2)证明∵zw+2iz-2iw+1=0,

∴z(w+2i)=2iw-1. ∴|z(w+2i)|=|2iw-1|,

即|z|·|w+2i|=|2iw-1|. 又|z|= ,∴ |w+2i|=|2iw-1|. 设w=x+yi(x,y∈R),代入上式整理得

,

两边平方得3x2+3y2+12y+12=4x2+4y2+4y+1,化简得x2+y2-8y=11.

∴|w-4i|=|x+yi-4i|= - - =3 是一个常数.

故|w-4i|的值是一个常数,且这个常数为3 .