数列填空题专项训练(三)

江苏东台唐洋中学数列填空题专项训练（三）

1．（2011•北京）在等比数列{an}中，a1=，a4=﹣4，则公比q= _________ ；a1+a2+…+an= _________ ．

2．（2005•黑龙江）在和

之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为

󰀀 _________ ． 3．（2012•湖北）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：

将三角形数1，3，6，10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：

（Ⅰ）b2012是数列{an}中的第 _________ 项； （Ⅱ）b2k﹣1= _________ ．（用k表示）

4．（2008•四川）设数列{an}中，a1=2，an+1=an+n+1，则通项an= _________ ．

5．（2008•上海）已知无穷数列{an}前n项和

6．（2006•重庆）在数列{an}中，若a1=1，an+1=2an+3（n≥1），则该数列的通项an= _________ ．

7．已知数列{an}满足a5=63，an+1=2an﹣1，则a3= _________ ．

8．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=﹣n+3n，则数列{an}的通项公式an= _________ ．

9．（2012•湛江）已知数列{an}，Sn是数列{an}的前n项和，且

，则an= _________ ．

2

，则数列{an}的各项和为 _________

10．老师在黑板上按顺序写了4个数构成一个数列，四个同学各指出这个数列的一个特征： 张三说：前3项成等差数列；李四说：后3项成等比数列； 王五说：4个数的和是24；马六说：4个数的积为24；

如果其中恰有三人说的正确，请写出一个这样的数列 _________ ．

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江苏东台唐洋中学数列填空题专项训练（三）

参考答案与试题解析

1．（2011•北京）在等比数列{an}中，a1=，a4=﹣4，则公比q= ﹣2 ；a1+a2+…+an= 考点： 等比数列的性质；等比数列。 专题： 计算题。 分析： 根据等比数列的性质可知，第4项比第1项得到公比q的立方等于﹣8，开立方即可得到q的值，然后根据首项和公比，根据等比数列的前n项和的公式写出此等比数列的前n项和Sn的通项公式，化简后即可得到a1+a2+…+an的值． 解答： 3解：q==﹣8 ．

∴q=﹣2； 由a1=，q=﹣2，得到： 等比数列的前n项和Sn=a1+a2+…+an==． 故答案为：﹣2； 点评： 此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等比数列的前n项和公式化简求值，是一道基础题． 2．（2005•黑龙江）在和

之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为

󰀀 216 ． 考点： 等比数列的性质。 专题： 计算题。 分析： 插入三个数后成等比数列的五个数的首项，由等比数列的通项公式先求出公比q，然后分别求出插入的三个数，再求这三个数的乘积． 解答： 解：设插入的三个数分别为a，b，c，由题设条件知 ，设公比为q， ∴∴或，∴， ，abc=216， ，，abc=216． 故答案为：216． 点评： 本题考查等比数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意等比数列通项公式的合理运用．

3．（2012•湖北）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：

将三角形数1，3，6，10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：

（Ⅰ）b2012是数列{an}中的第 5030 项； （Ⅱ）b2k﹣1= ．（用k表示）

考点： 数列递推式；数列的概念及简单表示法；归纳推理。 专题： 探究型。 分析： （Ⅰ）由题设条件及图可得出an+1=an+（n+1），由此递推式可以得出数列{an}的通项为，an=n（n+1），由此可列举出三角形数1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，105，120，… ，从而可归纳出可被5整除的三角形数每五个数中出现两个，即每五个数分为一组，则该组的后两个数可被5整除，由此规律即可求出b2012在数列{an}中的位置； （II）由（I）中的结论即可得出b2k﹣1═（5k﹣1）（5k﹣1+1）=． 解答： 解：（I）由题设条件可以归纳出an+1=an+（n+1），故an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=n+（n﹣1）+…+2+1=n（n+1） 由此知，三角数依次为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，105，120，… 由此知可被5整除的三角形数每五个数中出现两个，即每五个数分为一组，则该组的后两个数可被5整除， 由于b2012是第2012个可被5整除的数，故它出现在数列{an}按五个一段分组的第1006组的最后一个数，由此知，b2012是数列{an}中的第1006×5=5030个数 故答案为5030 （II）由于2k﹣1是奇数，由（I）知，第2k﹣1个被5整除的数出现在第k组倒数第二个，故它是数列{an}中的第k×5﹣1=5k﹣1项，所以b2k﹣1═（5k﹣1）（5k﹣1+1）=故答案为 点评： 本题考查数列的递推关系，数列的表示及归纳推理，解题的关键是由题设得出相邻两个三角形数的递推关系，由此列举出三角形数，得出结论“被5整除的三角形数每五个数中出现两个，即每五个数分为一组，则该组的后两个数可被5整除”，本题综合性强，有一定的探究性，是高考的重点题型，解答时要注意总结其中的规律． 4．（2008•四川）设数列{an}中，a1=2，an+1=an+n+1，则通项an= ．

考点： 数列递推式。 专题： 计算题。 分析： 根据数列的递推式，依次写出n=1，2，3…n的数列相邻两项的关系，进而格式相加即可求得答案． 解答： 解：∵a1=2，an+1=an+n+1 ∴an=an﹣1+（n﹣1）+1，an﹣1=an﹣2+（n﹣2）+1，an﹣2=an﹣3+（n﹣3）+1，…，a3=a2+2+1，a2=a1+1+1，a1=2=1+1 将以上各式相加得：an=[（n﹣1）+（n﹣2）+（n﹣3）++2+1]+n+1

=故答案为； 点评： 此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项公式．重视递推公式的特征与解法的选择；抓住an+1=an+n+1中an+1，an系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法，迭代法等； 5．（2008•上海）已知无穷数列{an}前n项和 考点： 数列递推式；极限及其运算。 专题： 计算题。 分析： 若想求数列的前N项和，则应先求数列的通项公式an，由已知条件，则数列{an}的各项和为 ﹣1

，结合an=Sn﹣Sn﹣1可得递推公式得 解答： 解：由，因为是求无穷递缩等比数列的所有项的和，故由公式S=即可得：（n≥2）（n≥2）， ， ， 两式相减得并化简：又所以无穷数列{an}是等比数列，且公比为﹣， 即无穷数列{an}为递缩等比数列， 所以所有项的和S= 故答案是﹣1 点评： 本题主要借助数列前N项和与项的关系，考查了数列的递推公式和无穷递缩等比数列所有项和公式，并检测了学生对求极限知识的掌握，属于一个比较综合的问题． 6．（2006•重庆）在数列{an}中，若a1=1，an+1=2an+3（n≥1），则该数列的通项an= 2 考点： 数列递推式。 专题： 计算题。 n+1分析： 由题意知an+1+3=2（an+3）（n≥1），由此可知该数列的通项an=2﹣3． 解答： 解：在数列{an}中，若a1=1，an+1=2an+3（n≥1）， ∴an+1+3=2（an+3）（n≥1）， 即{an+3}是以a1+3=4为首项， n﹣1n+1为公比的等比数列，an+3=4•2=2， n+1所以该数列的通项an=2﹣3． 点评： 本题考查数列的性质和应用，解题电动机发注意公式的灵活运用． n+1

﹣3 ．

7．已知数列{an}满足a5=63，an+1=2an﹣1，则a3=

．

考点： 数列递推式。 专题： 计算题。 分析： 数列{an}满足a5=63，an+1=2an﹣1，所以63=2a4﹣1，解得a4=32．同理知32=2a3﹣1，由此能求出a3． 解答： 解：∵数列{an}满足a5=63，an+1=2an﹣1， ∴63=2a4﹣1， 解得a4=32． ∴32=2a3﹣1， 解得故答案为：． ． 点评： 本题考查数列的递推式的应用，解题时要认真审题，注意递推思想的灵活运用，由a5=63，先求出a4，再由a4递推出a3的值． 8．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=﹣n+3n，则数列{an}的通项公式an= 4﹣2n ． 考点： 数列递推式。 专题： 计算题。 分析： 由题意知得，由此可知数列{an}的通项公式an． 2

解答： 解：a1=S1=﹣1+3=2， 2an=Sn﹣Sn﹣1=（﹣n+3n）﹣[﹣（n﹣1）+3（n﹣1）] =4﹣2n． 当n=1时，4﹣2n=a1， ∴an=4﹣2n． 故答案：4﹣2n． 点评： 本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题． 9．（2012•湛江）已知数列{an}，Sn是数列{an}的前n项和，且

n≥2}\\end{array}\\right.

2，则an= \\left\\{\\begin{array}{l}{3\\;\\;\\;，n=1}\\\\{2n\\;，

．

考点： 数列的求和。 专题： 计算题。 分析： 利用公式an=sn﹣sn﹣1，a1=s1 可求出数列{an}的通项an 解答： 解：当n=1时，a1=s1=3 当n≥2时，an=sn﹣sn﹣1=n+n+1﹣（n﹣1）﹣（n﹣1）﹣1=2n 当n=1时，2n=2≠a1， ∴ 22故答案：． 点评： 本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用． 10．老师在黑板上按顺序写了4个数构成一个数列，四个同学各指出这个数列的一个特征： 张三说：前3项成等差数列；李四说：后3项成等比数列；

王五说：4个数的和是24；马六说：4个数的积为24；

如果其中恰有三人说的正确，请写出一个这样的数列 6，6，6，6或﹣2，2，6，18等 ． 考点： 等差关系的确定。 专题： 计算题。 分析： 由题意设出数列的前四项，列出四名同学的方程，选择3个方程解答即可得到满足题意的数列． 解答： 解：由题意可知：张三说：前3项成等差数列；a1+a3=2a2…① 2李四说：后3项成等比数列，a2•a4=a3…②； 王五说：4个数的和是24，a1+a2+a3+a4=24…③； 马六说：4个数的积为24，a1a2a3a4=24…④； （1）如①②③是对的 2 有3a2+a4=24，a2•a4=a3若a2=2，a4=18，a3=6或﹣6 a1=﹣2或10； ﹣2，2，6，18 或 10，2，﹣6，18 或6，6，6，6；都可以的． （2）．如①②④是对的．a1•a3=24，a1+a3=2a2 取a1=3，a3=2，a2=，a4= 3，，2，； 故答案为：6，6，6，6或﹣2，2，6，18等 点评： 本题是基础题，考查学生的自主意识，选择恰当方程，简化解题过程，考查创新题型题目． 3