2015全国大学生数学建模竞赛D题(专科组)

摘要

本题针对众筹筑屋规划问题，以容积率大小为指标，综合分析众筹屋建设方案表、核算相关数据、各种房型建设约束范围、参筹登记网民对各种房型的满意比例和相关说明，运用线性规划、检验法分别建立了收益最大化模型、检验方法模型，运用EXCEL、LINGO等数学软件得出了相应的各种房型的套数。最后，我们从收益最大化的角度对方案II进行了评价，与方案I作对比得到了新方案更优的结论。

针对问题一，根据题目给出数据对开发成本、收益、容积率、增值税,建立数学模型。

1.成本=开发成本+土地支付的金额+税收成本（所有收入的5.56%）

2.收益（L)=(各建筑每平米的售价-每各建筑平米开发成本)*各建筑建筑面积*各房屋套数-购地成本-税收

3.容积率=总建筑面积/土地所有面积 4.增值税

将其他类型的房型根据普通和非普通房型面积比例分摊，再分类为普通宅和非普通宅分别计算增值额和扣除项目金额。再由附件二得出数学模型

i1增值额:

分别计算普通房型和非普通房型的增值税，整合得出增值税。

针对问题二，根据所给房型的建设约束范围、参筹满意度比例等条件，确定各种房型的对应比例。在考虑总成本即开发成本、扣除项目金额和地价最小的前提下运用线性规划思想，建立了收益最大化模型。以容积率小于或等于2.28为条件，同时为了确定各种房型的建房套数和网民对各种房型的满意比例之间的对应关系，我们引入了0—1规划并运用LINGO数学软件分别对11个房型进行线性规划分析，从而得到11种房型的套数。

针对问题三，我们在问题一和问题二的基础上，首先，本文还对模型的误差进行了定性分析；利用lingo软件对问题二中的方案II进行了检验，恰当地对新的方案址进行了评价；最后对众筹筑房问题进行了推广。本文建模思路清晰，观点独到，分析全面，特色分明。

关键词：众筹筑屋 0-1规划 LINGO EXCEL

ze1nipizi111

§1 问题的重述

众筹筑屋是互联网时代一种新型的房地产形式。现有占地面积为102077.6平方米的众筹筑屋项目（详情见附件1）。项目推出后，有上万户购房者登记参筹。项目规定参筹者每户只能认购一套住房。

在建房规划设计中，需考虑诸多因素，如容积率、开发成本、税率、预期收益等。根据国家相关政策，不同房型的容积率、开发成本、开发费用等在核算上要求均不同，相关条例与政策见附件2和附件3。

请你结合本题附件中给出的具体要求及相关政策，建立数学模型，回答如下问题：

为了信息公开及民主决策，需要将这个众筹筑屋项目原方案（称作方案Ⅰ）的成本与收益、容积率和增值税等信息进行公布。请你们建立模型对方案I进行全面的核算，帮助其公布相关信息。

通过对参筹者进行抽样调查，得到了参筹者对11种房型购买意愿的比例（见附件1）。为了尽量满足参筹者的购买意愿，请你重新设计建设规划方案（称为方案Ⅱ），并对方案II进行核算。

一般而言，投资回报率达到25%以上的众筹项目才会被成功执行。你们所给出的众筹筑屋方案Ⅱ能否被成功执行？如果能，请说明理由。如果不能，应怎样调整才能使此众筹筑屋项目能被成功执行？

§2 问题的分析

一、对问题的总体分析

众筹筑屋规划方案设计的问题是一个涉及容积率、开发成本、税率、预期收益、增值额、增值税等等的一个多方面的一个综合项目。因为考虑到数据的获取难度和问题的简化处理，我们主要从最大容积率要求小于或者等于2.28入手，选择最优解的办法。 二、背景知识

1.众筹的定义[1]

翻译自国外crowdfunding一词，即大众筹资或群众筹资，香港译作「群众集资」，台湾译作「群众募资」。由发起人、跟投人、平台构成。具有低门槛、多样性、依靠大众力量、注重创意的特征，是指一种向群众募资，以支持发起的个人或组织的行为。一般而言是透过网络上的平台连结起赞助者与提案者。群众募资被用来支持各种活动，包含灾害重建、民间集资、竞选活动、创业募资、艺术创作、自由软件、设计发明、科学研究以及公共专案等。Massolution研究报告指出，2013年全球总募集资金已达51亿美元，其中90%集中在欧美市场。世界银行报告更预测2025年总金额将突破960亿美元，亚洲将占比将大幅成长。

2.众筹的发展趋势[2]

由于众筹平台希望借力于市场分工，专业的、按产业与项目分类的平台正随着市场分工呈现出来。评价众筹平台表现的是投资回报，而该项表现特别突出的

2

是针对某一种行业或项目的众筹平台，如关注电子游戏、唱片、艺术、房地产、餐饮，时尚、新闻业等。众筹产业趋向于平台专业化、投资本土化、企业众筹、众筹经济发展、现场众筹。

三、对具体问题的分析

1．对问题一的分析

为题一说的是根据附件1确定成本与收益、容积率和增值税等信息并将之进行公布的问题，首先从附件1可以看出，通过方案I、核算相关数据，应用excel表格可以得出想要的结果。

2．对问题二的分析

问题要求根据所给各种房型的建设约束范围和参筹登记网民对各种房型的满意比例，确定新的更符合客户满意度的众筹筑屋建设规划方案II。由附件中的相关数据，我们以建房套数最多为目标函数，结合0-1规划和线性规划，建立最优方案模型，并利用LINGO软件进行求解分析。

3．对问题三的分析

问题要求我们在问题二的基础上通过规定的投资回报率达到25%以上的众筹项目才会被成功执行这一条件验证方案II是否满足这一要求。

§3 模型的假设

1. 假设卖房前期宣传所用费用不计入成本。 2. 假设世界政局近几年不会出现非常大的波动。

3. 假设一个地区有多个房地产商家，不存在垄断现象。 4. 假设地价在近几年之内不会出现大的波动。 5. 抽样调查的人群具有代表性。

§4 名词解释与符号说明

序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

符号 意义 i 第i种房型类型（i=1,2，···，11） ei 第i种房型面积 ni 第i种房型数量 di 第i种房型的开发成本单价 pi 第i种房型售价 M总 占地总面积 C 总成本 vr 容积率 F 土地支付金额 Z1 扣除项目金额 Z 增值额 3

12 13 14 15

T Tr Fr S 增值税额 转让税 最终收益 销售额 §5 模型的建立与求解

一、问题一的分析与求解

1．对问题的分析

问题要求根据方案I计算成本、收益、容积率和增值税等信息，由附件1数据和要求说明，首先采用excel表格通过一般函数计算出相关数据。

2.对问题的求解

（1）对思路的求解

1.成本=开发成本+土地支付的金额+税收成本（所有收入的5.56%）即:

CeinidiFeinipi*5.56%i1i11111

成本 2275006407

4

开发成本 82062750 105913500 79536600 191690000 205452000 231002750 252982500 40852350 41143350 54005850 29745450 购地成本

收入 231000000 264600000 196560000 464000000 499200000 567800000 623000000 98280000 98880000 131580000 71820000 税收 1314387100 777179627 3246720000 183439680 2.收益（L)=(各建筑每平米的售价-每各建筑平米开发成本)*各建筑建筑面积*各房屋套数-购地成本-税收

111111Leinipieinipi*5.56%einidiFi1i1i1

每平米售价-每

平米开发成本

7737 6477 6668 7512 7532 8067 8315 6077 3737 4009 4218 面积

房屋套数

购地成本

税金

收益

148937250 158686500 117023400 272310000 293748000 336797250 370017500 57427650 57736650 77574150 42074550 1932332900 77 250 98 250 117 150 145 250 156 250 167 250 178 250 126 75 103 150 129 150 133 75 777179627 183439680 971713593

3.容积率=总建筑面积/土地所有面积

envr(i1,2,...,8)

Mi1ii总11

容积率 2.27523

建筑总面积 19250 24500 17550 36250 39000 41750 44500 9450

15450 19350 9975 土地总面积 102077.6

5

(一)增值税

232250

（1）建模的思路

开始输入S,b,dc,p销售额S=e*n*p容积率Vr=e*n/102077.6扣除项目金额Z1增值额Z=S-Z1Z/Z1<=0.5N0.52Y增值税T=Z*0.3Y增值税T=Z*0.4-Z1*0.05Y增值税T=Z*0.5-Z1*0.15Y增值税T=Z*0.-Z1*0.35去增值税收益Vtar=Z-T转让税Tt=vtar*0.05最终收益Fr=vtar-Tt总花费Tc=Z1+T+Tt输出Vr,tc,fr结束 建模思路流程图

按附件规定的级别进行计算。确定附件1-1表格1中住宅类型为“其他”的户型对应的建筑面积、开发成本和转让收入分别为：“其他”户型建筑面积=34800平米；开发成本=95149200元；转让收入=230460000元。比例（α）=普通宅建筑面积/（普通宅建筑面积+非普通宅建筑面积）

按照比例（α）与（1-α）分摊计算“其它”户型转换为普通宅和非普通宅的建筑面积、开发成本和转让收入。

普通宅建筑面积=8807.88平米，非普通宅的建筑面积=25993.14平米； 普通宅开发成本=24079454.89元，非普通宅的开发成本=71069745.11元； 普通宅转让收入=58322625.66元，非普通宅转让收入=172137374.3元。 最后，分类计算增值税。 A：普通宅部分

6

1）转让收入(M)=普通宅部分转让收入+其他类归到普通类部分转让收入

MM普M其他

转让收入=750482625.7（元）

2)普通住宅土地及分摊到普通住宅的支付金额（E)与房地产开发成本(Y）=地面价（D)*面积（普通宅部分+其他类归到普通类）+普通宅部分开发成本+其他类归到普通类的开发成本，其中，地面价（D)=取得土地支付的金额/总建筑面积=2805.4元/平米

EYD*(S普S其他)Y普Y其他

数据代入E=196681230.8（元） Y=212055704.9（元） E+Y=408736935.7（元）

3)与转让房地产有关的税金（按收入的5.56%计算）

xeinipi*5.56%i111

带入数据X=42402268.35(元)

4）房地产开发费用扣除(G)

普通类型土地及分摊的土地使用权所支付的金额和房地产开发成本规定计算的金额之和的10%。

其中，10%是假设的，也可以是8%，7%。带入数据40873693.57（元）（按10%算）

G(EY)*10%

6）加计扣除金额（B)

对从事房地产开发的纳税人可按《实施细则》第七条取得土地使用权所支付的金额和房地产开发成本规定计算的金额之和，加计20%扣除。在此，应特别强调的是：此条优惠只适用于从事房地产开发的纳税人，除此之外的其他纳税人不适用。 因此可得：

B(FY)*20%

带入数据B=81747387.14(元)

7）根据附件二可得:扣除项目(Z1)

Z1FYBGX

根据附件二可通过增值额与扣除项目的关系求出增值税额（T），其中可知增值额（Z）为转入收入与扣除项目之差，即：

7

增值额:ze1nipizi

i111ZZ*30%,(50%)Z1Z*40%Z*5%,(50%＜Z100%)1Z1TZZ*50%Z1*15%,(100%＜200%)

Z1ZZ*60%Z*35%,(200%＜)1Z1所以根据公式可得:

扣除项目合计= 573760284.8（元）

增值额=转让收入-扣除项目合计= 176722340.9（元），

增值额与扣除项目合计比例==30.80%，普通房型增值税应缴纳增值税= 53016702.27（元）（按级别） 同样思路算非普通宅增值税问题。

B：非普通宅部分

1）转让收入(M)=非普通宅部分转让收入+其他类归到非普通类部分转让收入

MM非M其他

转让收入= 2496237374（元）

2)归为非普通住宅土地支付的金额（E)与房地产开发成本(Y）=地面价（D)*面积（非普通宅部分+其他类归到非普通类）+非普通宅部分开发成本+其他类归到非普通类的开发成本，其中，地面价（D)=取得土地支付的金额/总建筑面积=2805.4元/平米

EYD*(S非S其他)Y非Y其他

数据代入E= 580498396.2（元） Y= 952196995.1（元） E+Y= 1532695391（元）

3)与转让房地产有关的税金（按收入的5.56%计算）

xeinipi*5.56%i111

带入数据X=141037411.7 (元)

4）房地产开发费用扣除(G)

归为非普通类型土地使用权所支付的金额和房地产开发成本规定计算的金额之和的10%。

其中，10%是假设的，也可以是8%，7%。带入数据153269539.1（元）（按10%算）

8

G(EY)*10%

6）加计扣除金额（B)

对从事房地产开发的纳税人可按《实施细则》第七条取得土地使用权所支付的金额和房地产开发成本规定计算的金额之和，加计20%扣除。在此，应特别强调的是：此条优惠只适用于从事房地产开发的纳税人，除此之外的其他纳税人不适用。

因此可得：

B(FY)*20%

带入数据B= 306539078.3 (元)

7）根据附件二可得:扣除项目(Z1)

Z1FYBGX

根据附件二可通过增值额与扣除项目的关系求出增值税额（T），其中可知增值额（Z）为转入收入与扣除项目之差，即： 增值额:

ze1nipizii111

ZZ*30%,(50%)Z1Z*40%Z*5%,(50%＜Z100%)1Z1TZZ*50%Z1*15%,(100%＜200%)

Z1ZZ*60%Z*35%,(200%＜)1Z1所以根据公式可得:

扣除项目合计= 2133541420（元）

增值额=转让收入-扣除项目合计= 362695954（元），

增值额与扣除项目合计比例=16.99%，非普通增值税应缴纳增值税= 108808786.2（元）（按级别）

根据以上计算结果可知增值税T= 161825488.5(元) （计算数据过程见附录excel）

二、问题二的分析与求解 最优生产规模模型

9

⑴ 建模的思路

收益最大化目标函数约束条件收益最大化：max=S1-C1-Z1Xi/bi<=ci0-1规划

建模思路流程图

⑵模型的建立

首先，假设S1表示卖房总收益，C1表示与转让房地产有关的税金，Z1表示增值税，为房屋类型套数，为房屋类型总套数，为网名对房型的满意比

率，然后，确定线性规划的目标函数为：

maxs1c1z1

xici约束条件为：bi

0,,z(i1,...,11)xibici⑵ 模型的求解

运用lingo进行编程,程序1可以得出：

Local optimal solution found.

Objective value: 0.1129555E+10 Extended solver steps: 252 Total solver iterations: 974259

Variable Value Reduced Cost S1 0.3783137E+10 0.000000 C1 0.2334760E+10 0.000000 Z1 0.3188214E+09 0.000000 X1 50.00000 -377198.3 X2 50.00000 -398226.5 X3 300.0000 -865457.0 X4 150.0000 -681396.5 X5 100.0000 -735303.8 X6 239.0000 -843967.4 X7 450.0000 -927372.4 X8 250.0000 -865457.0 X9 350.0000 -240623.8

10

X10 400.0000 -323719.5 X11 250.0000 -632449.3

可以得出方案II如下表：

子项目 房型 房型1 房型2 房型3 房型4 房型5 房型6 房型7 房型8 房型9 房型10

住宅 类型 普通宅 普通宅 普通宅 非普通宅 非普通宅 非普通宅 非普通宅 非普通宅 其他 其他

容积率

开发 成本 允许扣除 允许扣除 不允许扣除 允许扣除 允许扣除 允许扣除 允许扣除 不允许扣除 允许扣除 允许扣除

房型面积

建房 套数 50 50 300 150 100 239 450 250 350 400 250

开发成本 (元/

售价 (元/

m2

77 98 117 145 156 167 178 126 103 129 133

m2) m2)

列入 列入 列入 列入 列入 列入 列入 列入 不列入 不列入

4263 4323 4532 5288 5268 5533 5685 4323 2663 2791 2982

12000 10800 11200 12800 12800 13600 14000 10400 6400 6800 7200

房型11 非普通宅 不列入 不允许扣除

容积率为：==2.27976559<2.28，所以符合题意，满足条件。

三、问题三的分析与求解

1．对问题的分析

根据题目所说，投资回报率达到25%以上的众筹项目才会被通过执行，那么我们在解决问题一、问题二的基础上，可以通过验证的方法，验证方案是否能够被成功执行。投资回报率（ROI）=年利润或年均利润/投资总额×100%

2．对问题的求解

通过问题二的求解，可以很容易求出销售额s1, 与转让房地产有关的税金c1,扣除项目金额z1。

投资成本C2=地价+开发成本C4,这里投资成本为C2，地价根据附件1-2可得为777179627元，开发成本为C4。 S1=元

C4=77*4263*x1+4323*98*x2+0*x3+5288*145*x4+5268*156*x5+5533*167*x6+178*5685*x7+0*x8+103*2663*x9+129*2791*x10+0*x11; C4= 1151013929元

Z1=318821400

由投资回报率公式得：>25%,通过验证的方法，方案II的投资回报率高于25%，所以，我们所设计的众筹屋方案II能被执行。

11

§6 模型的误差分析

在问题一中，假设附件给出的所有数据和条件真实有效，那么，通过EXCEL表格可以精确的计算所求。可能会由于国家对相关纳税政策的变动会有所不同。

在问题二中，通过参筹者进行抽样调查得出的各房型的满意比例，进行建模，通过线性规划的方法，对各房型套数进行计算，在这里可能会受登记网民对房型投票的真实性影响，在对房型套数计算的时候，假定了售价和开发成本不会变动。

在问题三中，对问题二确定的方案II进行检验，通过投资回报率的的大小进行了判定，在第三问中，判定结果受第二问模型建立的合理性影响。

§7 模型的评价与推广

1．优点：

⑴本文由浅入深、方法直接有效，易于推广；

⑵、利用EXCEL作图简便、直观、快捷，用LINGO对数据进行处理，省去不必要的复杂计算；

⑶ 运用多种数学软件（如EXCEL、LINGO），取长补短，使计算结果更加准确；

⑷、本文建立的模型与实际紧密联系，贴近实际，通用性强。 2．缺点：

⑴对于一些数据，我们对其进行了一些必要的处理，会带来一些误差； ⑵模型中为使计算简便，使所得结果更理想化，忽略了一些次要因素； 二、模型的推广

此篇论文的模型可以用在一些有众筹性问题的分析。可以为参筹者提供是否有参筹的必要性的决定。第二问线性规划模型可推广到一些销售方案，最大化最值问题。

参考文献

[1]百度百科. http://baike.haosou.com/doc/5338251-5573690.html [2]百度百科. http://baike.haosou.com/doc/5338251-5573690.html

附录

程序1lingo：

model:

max=S1-C1-Z1;

12

S1=77*12000*x1+10800*98*x2+11200*117*x3+12800*145*x4+12800*156*x5+13600*167*x6+178*14000*x7+126*10400*x8+103*6400*x9+129*6800*x10+7200*133*x11;

C4=77*4263*x1+4323*98*x2+0*x3+5288*145*x4+5268*156*x5+5533*167*x6+178*5685*x7+0*x8+103*2663*x9+129*2791*x10+0*x11; C2=777179627+C4; C1=C2*1.1+S1*0.0565; K=C1+C2*0.2; Z=S1-K; I=Z/K;

Z1=@if(I #le# 0.5,Z*0.3,@if(I #le# 1,Z*0.4-k*0.05,@if(I #le# 2,Z*0.5-k*0.15,Z*0.6-k*0.35))); @bnd(50,x1,450); @bnd(50,x2,500); @bnd(50,x3,300); @bnd(150,x4,500); @bnd(100,x5,550); @bnd(150,x6,350); @bnd(50,x7,450); @bnd(100,x8,250); @bnd(50,x9,350); @bnd(50,x10,400); @bnd(50,x11,250);

b=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11; x1/b <=0.4; x2/b <=0.6; x3/b <=0.5; x4/b <=0.6; x5/b <=0.7; x6/b <=0.8; x7/b <=0.9; x8/b <=0.6; x9/b <=0.2; x10/b <=0.3; x11/b <=0.4;

C3=77*x1+98*x2+117*x3+145*x4+156*x5+167*x6+178*x7+126*x8+0*x9+0*x10+0*x11;

C3/102077.6<=2.28; @gin(x1); @gin(x2); @gin(x3); @gin(x4); @gin(x5); @gin(x6);

13

@gin(x7); @gin(x8); @gin(x9); @gin(x10); @gin(x11); end

14