1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，（1）求证：CD平分∠ACE； （2）若AC＝8，CE＝3，求CD的长．
，AC为直径，DE⊥BC，垂足为E．
（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O内接四边形， ∴∠BAD+∠BCD＝180°， ∵∠BCD+∠DCE＝180°， ∴∠DCE＝∠BAD， ∵
，
∴∠BAD＝∠ACD， ∴∠DCE＝∠ACD， ∴CD平分∠ACE； （2）解：∵AC为直径， ∴∠ADC＝90°， ∵DE⊥BC， ∴∠DEC＝90°， ∴∠DEC＝∠ADC， ∵∠DCE＝∠ACD， ∴△DCE∽△ACD， ∴∴
，即．
的中点，过点C作AF的垂线，
，
2．如图，AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上两点，且点C为交AF的延长线于点E，交AB的延长线于点D． （1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）当BD＝2，sinD＝时，求AE的长．
（1）证明：连接OC，如图， ∵点C为弧BF的中点， ∴弧BC＝弧CF． ∴∠BAC＝∠FAC， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC． ∴∠OCA＝∠FAC， ∴OC∥AE， ∵AE⊥DE， ∴OC⊥DE． ∴DE是⊙O的切线； （2）∵sinD＝
＝，
∴设OC＝3x，OD＝5x， 则5x＝3x+2， ∴x＝1， ∴OC＝3，OD＝5， ∴AD＝8， ∵sinD＝∴AE＝
＝．
＝，
3．如图，已知直线l切⊙O于点A，B为⊙O上一点，过点B作BC⊥l，垂足为点C，连接
AB、OB．
（1）求证：∠ABC＝∠ABO； （2）若AB＝
，AC＝1，求⊙O的半径．
（1）证明：连接OA，
∵OB＝OA， ∴∠OBA＝∠OAB， ∵AC切⊙O于A， ∴OA⊥AC， ∵BC⊥AC， ∴OA∥BC， ∴∠OBA＝∠ABC， ∴∠ABC＝∠ABO；
（2）解：过O作OD⊥BC于D，
∵OD⊥BC，BC⊥AC，OA⊥AC， ∴∠ODC＝∠DCA＝∠OAC＝90°， ∴OD＝AC＝1， 在Rt△ACB中，AB＝∵OD⊥BC，OD过O， ∴BD＝DC＝BC＝
＝1.5，
＝
，
，AC＝1，由勾股定理得：BC＝
＝3，
在Rt△ODB中，由勾股定理得：OB＝即⊙O的半径是
．
4．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥
EC交EC的延长线于点D，连接AC．
（1）求证：AC平分∠DAE；
（2）若cos∠DAE＝，BE＝2，求⊙O的半径．
（1）证明：连接OC，
∵DE是⊙O的切线， ∴OC⊥DE， ∵AD⊥DE， ∴OC∥AD， ∴∠OCA＝∠DAC， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC， ∴∠DAC＝∠OAC， ∴AC平分∠DAE；
（2）解：设⊙O的半径为r， ∵OC∥AD， ∴∠DAE＝∠COE，
∴cos∠DAE＝cos∠COE＝，BE＝2， ∴
＝，
解得：r＝4， 即⊙O的半径为4．
5．如图a，AB为⊙O直径，AC为⊙O的为弦，PA为⊙O的切线，∠APC＝2∠1． （1）求证：PC是⊙O的切线．
（2）当∠1＝30°，AB＝4时，其他条件不变，求图b中阴影部分的面积．
（1）证明：连结OC， 在圆O中，OA＝OC，
∴∠BOC＝2∠1＝∠APC，∠BOC+∠AOC＝180°，
∴∠APC+∠AOC＝180°， ∵PA为⊙O的切线， ∴∠OAP＝90°
又四边形内角和为360°， ∴∠OCP＝90°，OC为⊙O的半径， ∴PC为⊙O的切线；
（2）解：PA为⊙O的切线，PC为⊙O的切线． ∴PA＝PC，
∵∠1＝30°，∠APC＝2∠1， ∴∠APC＝60°， ∴△APC为等边三角形， 连结OP，OC，
∵S四边形AOCP＝2××2×2＝4，S扇形AOC＝×π×4＝π， ∴S阴影部分的面积＝4﹣π．
6．如图，线段AB经过⊙O的圆心，交⊙O于A，C两点，BC＝1，AD为⊙O的弦，连接BD，∠BAD＝∠ABD＝30°，连接DO并延长交⊙O于点E，连接BE交⊙O于点M．
（1）求证：直线BD是⊙O的切线； （2）求切线BD的长； （3）求线段BM的长．
（1）证明：∵∠BAD＝∠ABD＝30°， ∴∠DOB＝2∠BAD＝60°，
∴∠ODB＝180°﹣30°﹣60°＝90°， 即OD⊥BD， ∵OD过O，
∴直线BD是⊙O的切线；
（2）解：设OD＝OC＝r， 在Rt△BDO中，sin30°＝解得：r＝1，
即OD＝1，OB＝1+1＝2， 由勾股定理得：BD＝
＝
； ＝
，
（3）解：连接DM，
∵DE是⊙O的直径， ∴∠DME＝90°， 即∠DMB＝∠BDE＝90°， ∵∠DBM＝∠DBE， ∴△BMD∽△BDE，
∴∴
， ，
．
＝
，延长BC到E，
解得：BM＝
7．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且AC为⊙O的直径，使得BE＝AB，连接DE． （1）求证：AD＝DE；
（2）若DE为⊙O的切线，且DE＝2
，求
的长度．
（1）证明：连接BD，
∵＝，
∴∠ABD＝∠DBE， ∵AB＝BE，BD＝BD， ∴△ABD≌△EBD（SAS）， ∴AD＝DE；
（2）解：连接OD，
∵＝，
∴AD＝CD， ∵AD＝DE， ∴CD＝DE，
∵AC为⊙O的直径， ∴∠B＝∠ADC＝90°， ∵AD＝CD，O为AC的中点， ∴∠ODE＝∠ADC＝45°， ∵DE为⊙O的切线， ∴∠ODE＝90， ∴∠CDE＝45°，
∴∠ADE＝90°+45°＝135°， ∵CD＝DE，
∴∠DCE＝∠DEC＝67.5°， ∴∠BAD＝67.5°， ∵AD＝CD，∠ADC＝90°， ∴∠DAC＝45°， ∴∠BAC＝22.5°， ∴AD＝CD＝2∴AC＝4， ∴OC＝2， ∴
的长度是
＝
．
，
8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD⊥AC，垂足为D点，直线OD与⊙O相交于
E，F两点，P是⊙O外一点，P在直线OD上，连接PA，PB，PC，且满足∠PCA＝∠ABC
（1）求证：PA＝PC； （2）求证：PA是⊙O的切线； （3）若BC＝8，
，求DE的长．
（1）证明∵OD⊥AC，
∴AD＝CD，
∴PD是AC的垂直平分线， ∴PA＝PC，
（2）证明：由（1）知：PA＝PC， ∴∠PAC＝∠PCA． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠CAB+∠CBA＝90°． 又∵∠PCA＝∠ABC， ∴∠PCA+∠CAB＝90°，
∴∠CAB+∠PAC＝90°，即AB⊥PA， ∴PA是⊙O的切线；
（3）解：∵AD＝CD，OA＝OB， ∴OD∥BC，OD＝BC＝∵
＝，
＝4，
设AB＝3a，DF＝2a， ∵AB＝EF， ∴DE＝3a﹣2a＝a， ∴OD＝4＝
﹣a，
a＝8，
∴DE＝8． 9．如图，C是
上的一定点，D是弦AB上的一定点，P是弦CB上的一动点，连接DP，将
交于点Q．已知BC＝6cm，
线段PD绕点P顺时针旋转90°得到线段PD′，射线PD′与
设P，C两点间的距离为xcm，P，D两点间的距离为y1cm，P，Q两点间的距离为y2cm．
小石根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究，下面是小石的探究过程，请补充完整：
（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：
x/cm y1/cm y2/cm
0 4.29 0.88
1 3.33 2.84
2 3.57
3 1.65 4.04
4 1.22 4.17
5 1.50 3.20
6 2.24 0.98
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数据所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：连接DQ，当△DPQ为等腰三角形时，PC的长度约为 1.3或5.7 cm．（结果保留一位小数） 解：（1）观察图象发现规律可知： 表格数据为：2.44； （2）如图所示：
即为两个函数y1，y2的图象；
（3）观察图象可知：
两个图象的交点的横坐标即为△DPQ为等腰三角形时，PC的长度， 两个交点的横坐标为1.3和5.7． 故答案为：1.3或5.7．
10．如图（1），某数学活动小组经探究发现：在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，此时
PA•PB＝PC•PD
（1）如图（2），若AB与CD相交于圆外一点P，上面的结论是否成立？请说明理由． （2）如图（3），将PD绕点P逆时针旋转至与⊙O相切于点C，直接写出PA、PB、PC之间的数量关系．
（3）如图（3），直接利用（2）的结论，求当PC＝
，PA＝1时，阴影部分的面
积．
解：（1）成立．理由如下：
如图（2），连接AD、BC， 则∠B＝∠D ∵∠P＝∠P ∴△PAD∽△PCB ∴
＝
∴PA•PB＝PC•PD； （2）PC2＝PA•PB 理由如下：
如图（3），连接BC，OC， ∵PC与⊙O相切于点C， ∴∠PCO＝90°， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90° ∴∠PCA＝∠OCB ∵OC＝OB ∴∠OCB＝∠OBC ∴∠PCA＝∠OBC ∵∠P＝∠P ∴△PCA∽△PBC ∴PC：PB＝PA：PC ∴PC＝PA•PB．
（3）如图（3），连接OC， ∵PC2＝PA•PB，PC＝∴PB＝3，AO＝CO＝1 ∴PO＝2
，PA＝1
2
∵PC与⊙O相切于点C， ∴△PCO是直角三角形 ∴sin∠CPO＝
＝
∴∠CPO＝30°，∠COP＝60° ∴△AOC为等边三角形 ∴S△AOC＝
＝
S扇形AOC＝＝
∴S阴影＝S扇形AOC﹣S△AOC ＝
﹣
．
11．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），点B在x轴上，以AB为直径作⊙C，点P在y轴上，且在点A上方，过点P作⊙C的切线PQ，Q为切点，如果点Q在第一象限，则称Q为点P的离点．例如，图1中的Q为点P的一个离点．
（1）已知点P（0，3），Q为P的离点．
①如图2，若B（0，0），则圆心C的坐标为 （0，1） ，线段PQ的长为 ②若B（2，0），求线段PQ的长；
（2）已知1≤PA≤2，直线l： y＝kx+k+3（k≠0）．
①当k＝1时，若直线l上存在P的离点Q，则点Q纵坐标t的最大值为 6 ； ②记直线l：y＝kx+k+3（k≠0）在﹣1≤x≤1的部分为图形G，如果图形G上存在P的离点，直接写出k的取值范围． 解：（1）①如图可知：C（0，1）， 在Rt△PQC中，CQ＝1，PC＝2， ∴PQ＝
，
；
故答案为（0，1）；；
②如图，过C作CM⊥y轴于点M，连接CP，CQ． ∵A（0，2），B（2，0）， ∴C（1，1）． ∴M（0，1）．
在Rt△ACM中，由勾股定理可得CA＝∴CQ＝
．
．
∵P（0，3），M（0，1）， ∴PM＝2．
在Rt△PCM中，由勾股定理可得PC＝在Rt△PCQ中，由勾股定理可得PQ＝（2）①如图1：当k＝1时，y＝x+4， ∴Q（t﹣2，t）， ∴CQ＝
，
．
＝
．
当t＝2时，CQ最大， 在Rt△CDQ中，CD＝∴Q（2，6）， 故答案为6； ②∵﹣1≤x≤1，
，CQ最大则DQ最大，
Q点的在端点（﹣1，3）和（1，2k+4）之间运动，
当Q在（1，2k+4），P（0，4）时， 直线PQ的解析式y＝（2k﹣1）x+4， 点C（1，1）到直线PQ的距离为∴0＜k＜4．
时，可得k＝0或k＝4，
12．已知AB为⊙O的直径． （1）如图a，点D为（2）如图b，点D为（3）如图c，点D为
的中点，当弦BD＝AC时，求∠A．
的中点，当AB＝6，点E为BD的中点时，求OE的长． 上任意一点（不与A、C重合），若点C为的中点，探求BD、AD、
CD之间的数量关系，直接写出你探求的结论，不要求证明．
解：（1）如图1，连结OC，
点D为∴
＝
的中点， ═
，
∵弦BD＝AC， ∴∴∴
＝═＝
， ＝═
，即点C为
的中点．
∠A＝∠COB＝××180°＝30°． （2）如图2，连结OD，BC，OD交AC于点F，
AB为⊙O的直径，
∴∠C＝90o 点D为
的中点，半径OD所在的直线为⊙O的对称轴，
则点A的对应点为C，
∴OD⊥AC，OD平分AC，即：AF＝CF， 在△DEF和△BEC中，
，
∴△DEF≌△BEC （AAS）， ∴CE＝EF，BC＝DF， ∵AO＝BO，AF＝CF，
∴OF＝BC＝DF，又AB＝6， ∴OD＝3
∴OF＝1，BC＝DF＝2． 在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝2， ∴AC＝
＝
＝4
，
∵点F为AC的中点，点E为FC的中点 ∴EF＝
，
，OF＝1， ＝
．
在Rt△OFE中，EF＝∴OE＝
＝
（3）BD、AD、CD之间的关系为：BD﹣AD＝如图3，连接BC，OC，
CD，
∵AB为⊙O的直径，点C为∴∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠BAC＝∠BDC＝45°，
的中点，
过点C作CF⊥CD交BD 于点F， ∴△DCF是等腰直角三角形， ∴
，
∵∠ACD＝∠BCF＝90°﹣∠ACF， 又∵AC＝BC，CD＝CF ∴△ACD≌△BCF（SAS）， ∴AD＝BF， ∵BD＝BF+DF， ∴BD＝AD+即BD﹣AD＝
CD， CD．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB＝10，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交
AC于点E，连接DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连接CP、OP．
（1）求证：点D为BC的中点； （2）求AP的长度；
（3）求证：CP是⊙O的切线．
解：（1）BD＝DC．理由如下： 如图1，连接AD，
∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°， ∴AD⊥BC．
（2）如图1，连接AP．
∵AD是等腰△ABC底边上的中线， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴
＝
，
∴BD＝DE． ∴BD＝DE＝DC， ∴∠DEC＝∠DCE，
△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠DCE＝∠ABC＝（180°﹣30°）＝75°， ∴∠DEC＝75°，
∴∠EDC＝180°﹣75°﹣75°＝30°， ∵BP∥DE，
∴∠PBC＝∠EDC＝30°，
∴∠ABP＝∠ABC﹣∠PBC＝75°﹣30°＝45°， ∵OB＝OP，
∴∠OBP＝∠OPB＝45°， ∴∠BOP＝90°．
∴△AOP是等腰直角三角形． ∵AO＝AB＝5． ∴AP＝
（3）解法一：设OP交AC于点G，如图1，则∠AOG＝∠BOP＝90°， 在Rt△AOG中，∠OAG＝30°， ∴又∵∴∴
＝， ＝＝＝
＝， ， ．
AO＝5；
又∵∠AGO＝∠CGP， ∴△AOG∽△CPG， ∴∠GPC＝∠AOG＝90°， ∴OP⊥PC， ∴CP是⊙O的切线；
解法二：如图2，作CM⊥AB于M， ∵∠BOP＝90°， ∴CM∥OP， ∵OP＝AB， 在Rt△AME中， ∵∠BAC＝30°，可 ∴CM＝AC，
∴CM＝AB， ∴CM＝OP，
∴四边形OPCM是矩形， ∴∠CPO＝90°， ∴CP是圆O的切线．
14．如图，⊙O的半径为，AB是⊙O的直径，F是⊙O上一点，连接FO、FB．C为劣弧
的中点，过点C作CD⊥AB，垂足为D，CD交FB于点E，CG∥FB，交AB的延长线于点G．
（1）求证：CG是⊙O的切线； （2）连接BC，若BC∥OF，如图2． ①求CE的长；
②图中阴影部分的面积等于 2π ． （1）证明：如图1，连接CO． ∵C是
的中点，
∴∠BOC＝∠FOC． 又∵OF＝OB， ∴OC⊥BF． ∵CG∥FB， ∴OC⊥CG． ∴CG是⊙O的切线．
（2）①∵OF∥CB，
∴∠AOF＝∠OBC，∠COF＝∠OCB． ∵OC＝OB， ∴∠OCB＝∠OBC．
∴∠AOF＝∠COF＝∠BOC＝60°． ∴△OBC是等边三角形． ∵CD⊥OB，OC⊥BF， ∴点E是△OBC的重心． ∴CE＝2ED＝CD． 又∵⊙O的半径为
，
×
＝3，DE＝1，
∴可求得：CD＝OC•sin60°＝2∴CE＝2； ②
故答案是：2π．
．
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