高等代数(北大版)第10章习题参考答案

1、 设V是数域P上的一个三维线性空间，1，一个线性函数，已知 f (1+ 求f (X132，3是它的一组基，f是V上的

)=1,f (22-233)=-1,f (1+2)=-3

1+X2+X3).

解 因为f是V上线性函数，所以有

f (1)＋ f ( f (23)=1

3)-2 f (2)=-1

f (1)+f (解此方程组可得

)=-3

f (1)＝4，f (于是 f (X12)＝－7，f (3)＝－3

1+X22+X33).＝X1 f (1)＋X2 f (2)＋X3 f (3)

＝4 X1－7 X2－3 X3 2、 设V及1， f (1+32，3同上题，试找出一个线性函数f ,使

)=0, f (1+)=1

)＝f (2-232解 设f为所求V上的线性函数，则由题设有

f (1)＋ f ( f (23)=0 )=0

)-2 f (23 f (1)+f (解此方程组可得

)=1

f (1)＝－1，f (2)＝2，f (3)＝1

2 于是aV,当a在V的给定基1， a= X1，3下的坐标表示为

1+X22+X33时，就有

f (a)=f (X11+X22+X33)

= X1 f (1)＋X2 f ( =-X1+2 X2+ X3 3、 设1，22)＋X3 f (3)

，3是线性空间V的一组基，f1,f2,f3是它的对偶基，令

－，3＝＋

1＝1－3，2＝1＋2323 试证：1，2，3是V的一组基，并求它的对偶基。 证： 设

（1，2，3）＝（1， 由已知，得

2，3）A

110 A＝011 111 因为A≠0，所以1，2，3是V的一组基。 设g1,g2,g3是1，2，3得对偶基，则 （g1,g2,g3）＝（f1,f2,f3）（Aˊ）1

011 ＝（f1,f2,f3）112 111 因此

g1=f2-f3 g2=f1-f2+f3 g3=-f1+2f2-f3

4.设V是一个线性空间，f1,f2,…fs是V*中非零向量，试证：∈V，使 fi()≠0 (i=1,2…,s) 证：对s采用数学归纳法。

当s＝1时，f1≠0,所以∈V，使fi()≠0，即当s＝1时命题成立。 假设当s=k时命题成立，即∈V，使fi()=i≠0 (i=1,2…,k) 下面证明s=k+1时命题成立。

若fk1()≠0,则命题成立，若fk1()＝0，则由fk1≠0知，一定∈V 使fk1()＝b,设fi()=di(i=1,2…,k),于是总可取数c≠0，使 ai+cdi≠0(i=1,2…,k) 令c，则∈V，且

fi()=ai+cdi≠0(i=1,2…,k)

fk1()＝cb≠0

即证。

5．设1，2，…s是线性空间V中得非零向量，试证： fi(i)≠0 (i=1,2…,s)

证：因为V是数域P上得一个线性空间，V*是其对偶空间，若取定V中得一个非零向量，则可定义V*的一个线性函数 且******如下：

(f)=f() (f∈V*)

是V*的对偶空间（V*)*中的一个元素，于是，V到其对偶空间的对偶空间（V*)*的

映射

→**

2，2**，是一个同构映射，又因为1，…s是V中的非零向量，所以1**，…s**

对偶空间V*的对偶空间（V*)*中的非零向量，从而由上题知，f∈V*使

f(i)＝i(f) ≠0 (i=1,2…,s)

即证.

6.设V＝P[x]3,对P(x)=C0+C1x+C2x∈V,定义 f1(p(x))=

2**10p(x)dx p(x)dx p(x)dx

f2(p(x))= f3(p(x))=

2010试证f1， f2， f3都是V上线性函数，并找出V的一组基p1(x),p2(x),p3(x),使 f1， f2， f3是它的对偶基。

证：先证是V上线性函数，即f1∈V，对g(x),h(x) ∈V, k∈P,由定义有 f1（g(x)＋h(x)）＝ ＝

*(g(x)h(x))dx

0110g(x)dx＋h(x)dx

01 ＝f1(g(x))+ f1(h(x))

f1(kg(x))=

kg(x)dx=k0110g(x)dx=k f1(g(x))

即证f1。同理可证f2， f3∈V*。

再设p1(x),p2(x),p3(x) 为V的一组基，且f1， f2， f3是它的对偶基。若记 P1(x)= C0+C1x+C2x2 则由定义可得

11p(x)dx＝C0+C1+C2=1 02328 f2(p(x))=p(x)dx=2C0+2C1+ C2=0

03111 f3(p(x))=p(x)dx=-C0+C1-C2=0

023 f1(p(x))=

1 解此方程组得

C0=C1=1,C2=- 故

P1(x)=1+x- 同理可得

3 232 x 2112+ x 62112 p3(x)= -+x- x

32 p2(x)=-

7.设V是个n维线性空间，它得内积为（，），对V中确定得向量，定义V上的 一个函数*：

* 1） 证明*（）=（，）

是V上的线性函数

**2） 证明V到V的映射是V到V的一个同构映射（在这个同构下，欧氏空间可看成

自身的对偶空间。） 3） 证：1）先证明*是V上的线性函数，即*∈V，对1，2∈V，

*k∈P，由定义有：

*（1＋2）＝（，1＋2）

＝（，1）＋（，2）

＝  故***（1）＋*（2）

*（k1）=（，k1）=k（，1）=k（1）

是V上的线性函数。

22）设1， 知

*i…n是V的一组标准正交基，且对∈V由定义

（）＝（i）(i=1,2…,n)

*i（j）＝（i，j）＝*1,ij

0,ij2于是1，*2…*n是1，…n的对偶基，从而V到V的映射是V与V

**中两基间的一个双射因此它也是V到V*的一个同构映射 8．设A是数域P上N维线性空间V得一个线性变换。

1）证明，对V上现行函数f，fA仍是V上的线性函数； 2）定义V*到自身的映射为f→fA证明A3）设1，2*是V*上的线性变换；

2…n是V的一组基，f1， f2， fn是它的对偶基，并设A在1，*…

n的矩阵为A。证明：A在f1， f2，… fn下的矩阵为A′。

证：1）对∈V，由定义知（fA）（）＝f（A（））是数域P中唯一确定的元，所以fA是V到P的一个映射。

又因为，∈V，k∈P,有（fA）（＋）＝f（A（＋）） ＝f（A（）＋A（）） ＝（fA）（）＋（fA）（） （fA）（k）＝f（A（k））= f（k A（）） =k f（A（））=k（fA）（） 所以fA是V上线性函数。 2）对f∈V，有A3）由题设知

A（1，设A*2**（f）= fA∈V,故A**是V上的线性变换。

*…n）＝（1，2…n）A

（f1， f2，… fn）＝（f1， f2，… fn）B

其中A=(aij)nn,B=(bij)nn,且f1， f2，… fn是1， fjA＝A*2…*n的对偶基，于是

（fj），所以aji= bij(i,j=1,2, …n),即证A在f1， f2，… fn

下的矩阵为B=A′.

9.设V是数域P上的一个线性空间，f1， f2，… fn是V上的n个线性函数。 1）证明：下列集合

W＝{∈V︱fi()=0(1≤i≤n)}

是V的一个子空间，W成为线性函数f1， f2，… fn的零化子空间； 2）证明：V的任一子空间皆为某些线性函数的零化子空间。

证：1）因为f1， f2，… fn是V上的n个线性函数，所以f∈V(1≤i≤n)，且fi(0)=0(i=1,2, …n)，因而0∈W，即证W非空。 又因为，∈V，*∈P，有

fi(＋)＝fi()＋fi()＝0 (i=1,2, …n) fi()＝ fi()＝0

所以＋∈W，∈W，即证W是V的一个子空间。

2）设W1是V的任一子空间，且dim（W1）＝m,则当m＝n时，只要取f为V的零函数 ，就有

W1＝V＝{∈V ︱f ()=0} 所以W1是f的零化子空间。

当m2…

，m1，…

n，并取这组基的对偶基f1， f2，… fn的后n-m个线性函数

fm1,fm2,…,fn,则

W1=V={∈V︱fi()=0(m+1≤i≤n)} 即W1是fm1,fm2,…,fn的零化子空间，事实上，若令 U1＝{∈V︱fi()=0(m+1≤i≤n)}

则对＝a11+a22+…+amm∈W1,有

fm1()= fm2()=… =fn()=0 因而∈U1，即W1 U1。 反之，＝b11+b22+…+bmm+bm1m1+…bnn∈U1，

由fm1()= fm2()=… =fn()=0，可得bm1＝bm2=…=bn=0,因而＝b11+b22+…+bmm+bm1m1+…bnn∈W1，即U1W1，故U1＝W1。

10．设A是数域P上的一个m极矩阵，定义Pmn上的一个二元函数 f(X,Y)=tr(X′AY) (X,Y∈Pmn) 1) 证明f(X,Y)是Pmn上的双线性函数；

2) 求f(X,Y)在基E11,E12,…,E1n,E21,…,E2n,…,Em1,Em2,…,Emn下的度量矩阵。

证：1）先证f(X,Y)是P由定义有

f (X, k1Y+ k2,Z)=tr(X′A(k1Y+ k2Z)) = k1tr(X′AY)+ k2tr(X′AZ) = k1 f(X,Y) + k2 f(Y,Z) 因而f(X,Y)是P

'mnmn上的双线性函数，对X,Y,Z∈P

mn,k1,k2∈P

上的双线性函数。

2）由EijAEks＝aikEjs知

f (Eij, Eks)=tr(EijAEks)=tr(aikEjs) ='aik,js

0,js以下设f(X,Y)在基E11,E12,…,E1n,E21,…,E2n,…,Em1,Em2,…,Emn下的度量矩阵为B，则

a11Ea12Ea21Ea22E B=MMam1Eam2E其中，E为n阶单位矩阵。

11．在P4中定义一个双线性函数f(X,Y),对

LLOLa1mEa2mE MammE X＝（x1,x2,x3,x4）,Y=(y1,y2,y3,y4)∈P4有 f (X,Y)=3x1y2-5x2y1+x3x4-4x4y3

1)给定P4的一组基

，1＝（1，－2，－1，0）， 3＝（－1，2，1，1）

2＝（1，－1，1，0） ＝（－1，－1，0，1）

4求f (X,Y)在这组基下的度量矩阵； 2）另取一组基1，2，3，4，且

（1，2，3，4）＝（1，其中

2，3，4）T

11111111 T＝11111111求f (X,Y)在这组基下的度量矩阵。 解 1）设f (X,Y)在给定基1，2，3，4下的度量矩阵为A=(aij)44,则

751441227 A＝011114154152 其中aij＝f (i,j).

3) 设f (X,Y)在给定基1，2，3，4下的度量矩阵为B,则由 （1，2，3，4）＝（1， 可得

2，3，4）T

64682418261672 B=T′AT=238004001512.设V是复数域上的线性空间，其维数n>=2,f (,)是V上的一个对称双线性函数。 1）证明V中有非零向量使f (，)＝0

2）如果f (,)是非退化的，则必有线性无关的向量，满足 f (，)＝1

f (，)＝f (，)＝0 证1）设1，2…n为复数域上N维线性空间V的一组基，f (,)是V上的对称双

2线性函数，则f (,)关于基1，化的矩阵T，使

T′AT=若令 （1，则1，2…n的度量矩阵A为对称矩阵，于是，存在非退

Er00=B 0n2，3，…n）＝（1，2…n）T

，3，…，3，…也是V的一组基，且f (,)关于基1，2n的度量矩阵为B，因此

＝X11+ X22+…Xnn,= Y11+ Y22+…Ynn∈V,有

f(,)=X1 Y1+ X2 Y2+ …+Xr Yr

f(,)=X1+X2+…+Xr (0≤r≤n) 故而

当r=0时，对V中任一非零向量，恒有f(,)=0； 当r=1时，只要取＝2222≠0，就有f(,)=0；

2当r≥2时，只要取＝i1+≠0，就有f(,)=0；

2)如果f (,)是非退化的，则f(,)=X1 Y1+ X2 Y2+ …+Xn Yn 因而只要取

＝就有

121+i22，=121－i22

f(,)=（1ii）2＋（）（－）＝1 2221i）2＋（）2＝0 221i）2＋（－）2＝0 22 f(,)=（ f(,)=（即证。

13．试证：线性空间V上双线性函数f (,)是反对称的充要条件是：对任意的∈V，都有

f(,)=0

证：必要性。因为f (,)是反对称的，所以∈V，恒有 f(,)=－f(,) 故f(,)=0

充分性。因为f (,)是双线性函数，所以,∈V，有 f (+,+)=f(,)=f(,)=0 故 f (,)＝－f(,) 即 f (,)是反对称的。

14．设f (,)是V上对称或反对称的双线性函数，,是V中的两个向量，若 f (,)＝0，则称,正交，再设K是V的一个真自空间，证明：对K 必有 0

∈K+L() 使f(,)＝0对所有∈K都成立

证明 ：1）先证f (,)是对称的双线性函数的情形。

因为K是V的子空间，所以f (,)是K上的对称双线性函数，设dim（K）＝r 则f (,)关于K的任意一组基的度量矩阵皆为对称矩阵，于是，必存在K的一组基1，

2…r，使f (,)在这组基下的度量矩阵为对角矩阵

D＝diag(d1,d2, …d) 只要令 ＝

f(,1)f(,2)1＋d1d22＋…

f(,r)r－ dr 且当di=0(1≤i≤r)时，就删除di相应的项，则0 f(,)＝0 2）再证f (,)是反对称双线性函数的情形，

∈K+L()，于是对任意∈K,恒有

首先，若对给定K，若存在∈K，使f(,)=0,则可令1＝，f(i，i1＝，使得

)=1.又因为K+L()是V的子空间，所以f (,)也是K+L()上的反对称双线

i性函数，于是可将i，扩充为K+L()的一组基：

1 1，使

，2，2，…r，r，1，2…s

f(i,i)1(i1,2,...r)f(i,j)0(ij0) 

f(,)0(kL(),k1,2,...r)k故而

当s≠0时，只要取＝1，则对∈K，恒有f(,)=0; 当s=0时，只要取＝1，则由＝1，K=L(1，对∈K，也有f(,)=0。

其次，若对给定的K，，及任意∈K，使f(,)=0,则只要取＝即可。 15．设V与f (,)同上题，K是V的一个子空间，令 =V|f(,)0,K 1)试证K是 V的子空间（K称为K的正交补）； 2）试证：如果K∩K＝{0},则V＝K＋K

证：1）因为∈K，恒有f(0, )=0,所以0∈K，即K非空。 另一方面，1，21，2，2，…r，r),

∈K，k∈P, ∈K，有

 f(1+2,)=f(1,)+f(2,)=0

f(k1,)=k f(1,)=0 故1+2， k1∈K，从而K是V的子空间。

2）由于K和K都是V的子空间，知 K+ KV

不妨设K是V的一个真子空间，∈V,若∈K，则证毕，若K，则存在 0使

f(,)=0 （∈K） 于是∈K。又因为

＝＋k (∈K,k∈P) 显然K 0,否则

＝＝K∩ K＝{0} 从而＝＝0，这是不可能的。因此有 ＝－故V K+ K。即证。

16．设V，，K同上题，并设f(,)限制，试证： V＝K+ K 的充要条件是f(,)在V上是非退化的.

证：必要性。设V＝K+ K，且f(,) ＝0 （∈K） 下证＝0，设＝1+2∈K+L()，

11＋∈K+ K ，1∈K，22∈K，则∈K，有

2 0＝f(,)＝f(1+ ＝f(1,)

,)＝f(1,)＋f(,)

由于f(,)在K上是非退化的，故1＝0，从而＝2∈K

同理，∈K，由f(,)＝0可得∈（K），但K∩ K＝{0} 因而得知＝0。

充分性：设1∈K∩ K，若≠0，则只要将1扩充为一组基1，由于1∈K，因而必有

f(i,j)0(j1,2L,m)

于是，∈K，皆有f(,)＝0，这与f(,)限制在K上非退化矛盾，所以

2，…m

1＝0，也就是K∩ K＝{0}

由此即证V= K+ K.

17.设f(,)是N维线性空间V上的非退化对称双线性函数，对V中的一个元素 定义V*中的一个元素 试证：

1）V到V*的映射 → 2）对V的每组基1，2*：

（）＝f(,)（∈V）

**是一个同构映射。

n…，有V的唯一的一组基1，''2，

'n，使f(i,'j)＝ij

4） 如果V是复数域上的N维线性空间，则有一组基1，2，…，n，使 i＝i (i=1,2…n)

证：1）因为f(,)是N维线性空间V上的非退化对称双线性函数，所以存在V的一组基1，2'…n，使

f (再由V的定义作*i,

*di,ij j)=0,ij*21，+k2…**n∈V，设有线性关系

* k1*12+…+kn*n=0

*则

0＝0*（i）＝（k1 ＝k1*1+k2*2*2+…+kn*n）（i）

*n*1（i）＋k2（i）+…+knn（i）

＝k1f (1,i)+k2 f (=kidi (i=1,2…n) 但di≠0(i=1,2…n)，故

2,i)+…+kn f (,i)

ki=0(i=1,2…n) 这意味着*1，*2…*n线性无关，因而*1，*2…*n为V的一组

基，故V到V*的映射→*是一个双映射。

另一方面，，，∈V，k∈P,有

（＋）*（）＝f (＋,)＝f (,)＋f (,) ＝**（）＋*（）

* (k)（）= f (k,)=k f (,)=k故V到V*的映射→**（）

是一个同构映射。

2 2）设V中的线性函数f1,f2,…fn是V的基1，的唯一一个向量组1，  且 *i2…n的对偶基，于是存在V

,…n，使

*i（）＝f(i,）= fi (） (∈V,i=1,2,…n)

（j）＝f(i,j）=fi（

j）=1,ijij

0,ij另一方面，设有线性关系 k11+ k 则

0＝f (k11+ k

222+…knn=0

2+…kn f(2n)(i)

n = k1f(1,i)+k

2,i)+…kn f(,i)

=ki (i=1,2,…n) 故ki=0(i=1,2,…n)。这意味着1，一组基。只要令1＝1，''22,…n线性无关，因而1，'n2,…n为V的

＝2…，＝n即证。

3）因为V是复数域上·1的N维线性空间，f(,)是N维线性空间V上的非退化对称双线性函数，所以存在V的一组基1，2，…，n，使f(,)在这组基下的度量矩阵为单位矩阵。再由2即可知i＝i (i=1,2…n)

18．设V是对于非退化对称双线性函数f(,)N维准欧氏空间，V的一组基1，2'…

n如果满足

f (i,i)=1 (i=1,2…p)

f (i,i)=-1 (i=p+1,p+2, …,n) f (i,j)=0 (i≠j)

则称为V的一组正交基。如果V上的线性变幻A满足 f(A(),A())=f(,) (,∈V) 则A为V的一个准正交变换。试证：

1） 准正交变换是可逆的，且逆变换也是准正交变换； 2） 准正交变换的乘积也是准正交变换 3） 准正交变换的特征值等于1或－1； 4） 准正交变换在正交积上的矩阵A满足

1O A11O1O A′＝111O 12证： 1）因为f(,)是非退化的对称双线性函数，所以存在V的一组基1，n…

，使f(,)在该基下的度量矩阵为对角矩阵，设其为

A＝diag{d1,d2,…dn} 其中di≠0(i=1,2, …n).

若A为V的一个准正交变换，则由定义有

A（V）＝L(A（1）, A（2）, …A（于是对于线性关系

k1A（1）+k2 A（2）+…+knA（有

0＝f (0, A（i）)=f (k1A（1）+k2 A（2）

nn）)

）=0

= k1 f (A（1）, A（i）)+ k2 f (A（2）, A（i）) +…+knf(A（n）,

A（i）)

= k1 f (1,i)+k2 f (2,i)+…+kn f ( =n,i)

kidi,i1,2,...,p

kidi,ip1,...,nn但di≠0 (i=1,2, …,n),故ki=0(i=1,2, …,n).这意味着A（1），，…A（A（2）线性无关，因而，A（1），A（2），…A（n）

）为A（V）的一组基，且

dim(A（V）)=n,有因为V是有限维的，所以A是可逆变换。

设A的逆变换为A f (A故A111，则A11仍为线性变换，且任意,∈V，有

1(),A())=f (AA(),AA1())=f(,)

也是准正交变换。

12）设AV，有

则A2A1也是V的一个线性变换，且任意,∈A2为V的两个准正交变换，

f (A2A1(),A2A1())=f (A1(),A1())=f(,)

A2A1也是准正交变换.

3)因为f(,)非退化的对称双线性函数，所以存在V的一组基1， f (i2…n，使

di,ij j)=0,ij设为准正交变换A的任一特征值，为其相应的一个特征向量，且

＝k11+k22+…+knn

则

f (,)=f (A (),A ())=f (,)=但f (,)＝k1d1+k2d2+…kndn≠0 所以22222222f (,)

＝1，即证＝1。

25） 设1，…，n为N维准欧氏空间V的一组正交基，则

f (i,i)＝1 （i=1,2, …p） f (i,i)＝-1 （i= p+1,p+2, …n） f (i,j)＝0(i≠j)

若准正交变换A在基1，2,…n下的矩阵为A，则 A（1，2,…n）＝（1，2,…n）A

且有AA′=EPE,从而有 P1O A11O A′＝111O1O1