数学教案－切线长定理

数学教案－切线长定理

1、教材分析

（1）知识结构

（2）重点、难点分析

重点：切线长定理及其应用.因切线长定理再次体现了圆的轴对称性，它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据，它属于工具知识，经常应用，因此它是本节的重点.

难点：与切线长定理有关的证明和计算问题.如120页练习题中第3题，它不仅应用切线长定理，还用到解方程组的知识，是代数与几何的综合题，学生往往不能很好的把知识连贯起来.

2、教法建议

本节内容需要一个课时.

（1）在教学中，组织学生自主观察、猜想、证明，并深刻剖析切线长定理的基本图形；对重要的结论及时总结；

（2）在教学中，以“观察——猜想——证明——剖析——应用——归纳”为主线，开展在教师组织下，以学生为主体，活动式教学.

教学目标 

1.理解切线长的概念，掌握切线长定理；

2.通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想.

3.通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度.

教学重点:

切线长定理是教学重点

教学难点 :

切线长定理的灵活运用是教学难点 

教学过程 设计:

（一）观察、猜想、证明，形成定理

1、切线长的概念.

如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P到⊙O的切线长.

引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.

2、观察

利用电脑变动点P 的位置，观察图形的特征和各量之间的关系.

3、猜想

引导学生直观判断，猜想图中PA是否等于PB. PA＝PB.

4、证明猜想，形成定理.

猜想是否正确。需要证明.

组织学生分析证明方法.关键是作出辅助线OA，OB，要证明PA＝PB.

想一想：根据图形，你还可以得到什么结论？

∠OPA＝∠OPB(如图)等.

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.

5、归纳：

把前面所学的切线的5条性质与切线长定理一起归纳切线的性质

6、切线长定理的基本图形研究

如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点.直线OP交⊙O于点D，E，交AP于C

(1)写出图中所有的垂直关系；

(2)写出图中所有的全等三角形；

(3)写出图中所有的相似三角形；

(4)写出图中所有的等腰三角形.

说明：对基本图形的深刻研究和认识是在学习几何中关键，它是灵活应用知识的基础.

（二）应用、归纳、反思

例1、已知：如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，

A和B是切点，BC是直径.

求证：AC∥OP.

分析：从条件想，由P是⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A，B是切点可得PA＝PB，∠APO＝∠BPO，又由条件BC是直径，可得OB＝OC，由此联想到与直径有关的定理“垂径定理”和“直径所对的圆周角是直角”等.于是想到可能作辅助线AB.

从结论想，要证AC∥OP，如果连结AB交OP于O，转化为证CA⊥AB，OP ⊥AB，或从OD为△ABC的中位线来考虑.也可考虑通过平行线的判定定理来证，可获得多种证法.

证法一.如图.连结AB.

PA，PB分别切⊙O于A，B

∴PA＝PB∠APO＝∠BPO

∴ OP ⊥AB

又∵BC为⊙O直径

∴AC⊥AB

∴AC∥OP (学生板书)

证法二.连结AB，交OP于D

PA，PB分别切⊙O于A、B

∴PA＝PB∠APO＝∠BPO  

∴AD＝BD

又∵BO=DO

∴OD是△ABC的中位线

∴AC∥OP

证法三.连结AB，设OP与AB弧交于点E

PA，PB分别切⊙O于A、B

∴PA＝PB

∴ OP ⊥AB

∴ =

∴∠C＝∠POB

∴AC∥OP

反思：教师引导学生比较以上证法，激发学生的学习兴趣，培养学生灵活应用知识的能力.
例2、 圆的外切四边形的两组对边的和相等.

（分析和解题略）

反思：（1）例3事实上是圆外切四边形的一个重要性质，请学生记住结论.（2）圆内接四边形的性质：对角互补.

P120练习：

练习1 填空

如图,已知⊙O的半径为3厘米，PO＝6厘米，PA，PB分别切⊙O于A，B，则PA＝_______，∠APB＝________

练习2 已知：在△ABC中，BC＝14厘米，AC＝9厘米，AB＝13厘米，它的内切圆分别和BC，AC，AB切于点D，E，F，求AF，AD和CE的长.

分析：设各切线长AF，BD和CE分别为x厘米，y厘米，z厘米.后列出关于x , y，z的方程组，解方程组便可求出结果.

（解略）

反思：解这个题时，除了要用三角形内切圆的概念和切线长定理之外，还要用到解方程组的知识，是一道综合性较强的计算题.通过对本题的研究培养学生的综合应用知识的能力.

（三）小结

1、提出问题学生归纳

（1）这节课学习的具体内容；

（2）学习用的数学思想方法；

（3）应注意哪些概念之间的区别?

2、归纳基本图形的结论

3、学习了用代数方法解决几何问题的思想方法.

（四）作业 

教材P131习题7.4A组1.(1)，2，3，4.B组1题.

探究活动

图中找错

你能找出（图1）与（图2）的错误所在吗？

在图2中，P₁A为⊙O₁和⊙O₃的切线、P₁B为⊙O₁和⊙O₂的切线、P₂C为⊙O₂和⊙O₃的切线.

提示：在图1中，连结PC、PD，则PC、PD都是圆的直径，从圆上一点只能作一条直径，所以此图是一张错图，点O应在圆上.

在图2中，设P₁A=P₁B=a，P₂B=P₂C=b，P₃A＝P₃C＝c，则有

a=P₁A=P₁P₃+P₃A=P₁P₃+ c ①

c=P₃C=P₂P₃+P₃A=P₂P₃+ b ②

a=P₁B=P₁P₂+P₂B=P₁P₂+ b ③

将②代人①式得

a =P₁P₃+（P₂P₃+ b）=P₁P₃+P₂P₃+ b，

∴a-b=P₁P₃+P₂P₃

由③得a-b=P₁P₂得

∴P₁P₂=P₂P₃+ P₁P₃

∴P₁、P ₂ 、P₃应重合，故图2是错误的.