高等代数西北工业大学2004年试题

一.(20分)证明:实反对称矩阵的特征值的实部为零.

二.(20分)设A和B都是n阶正交矩阵,且|A|+|B|=0,试证A+B不可逆. 三.(20分)证明:线性方程组

a11x1a12x2a1nxnb1axa22x2a2nxnb2211

am1x1am2x2amnxnbnm有解的充要条件为对任意m个数y1,y2,,ym,只要yiaij0,j0,1,2,.....n,便有,i1mi1yibi0.

四.(15分)设A是n阶复方阵,证明:若A2A2I,则A可对角化,这里I为n阶单位矩阵. 五.(15分)设A,B分别是数域K上的pn,nm矩阵,令

V{x|xK,ABx0},W{y|yBx,xV}

m证明:W是向量空间Kn的子空间,且

dimWrank(B)rank(AB).

六.(20分)设为线性空间V上的线性变换,f(x),g(x)为普通的多项式,

(1)证明:ker(f())ker(g())ker(f(),g()),这里(f1(x),f2(x))表示

f1(x),f2(x)的首项系数为1的最大公因式;

(2)证明:若(f(x),g(x))1则ker(f())ker(g())ker(f(),g())

七.(15分)给定不全为零的多项式f1(x),f2(x),f3(x),证明:存在六个多项式

g1(x),g2(x),g3(x),h1(x),h2(x),h3(x)使

f1(x)g1(x)h1(x)f2(x)g2(x)h2(x)f3(x)g3(x)(f1(x),f2(x),f3(x)) h3(x)八.(10分)写出你所知道的齐次线性方程组的基础解系的等价条件,并对他们的正确性予以证明.

九.(15分)定义了向量空间内积的实线性空间即为欧氏空间.请说明引入向量内积以及构造标准正交基的目的与意义,并简述标准正交基在理论研究与实际应用中的作用.