第一章 一元二次方程 单元检测试题 考试总分： 120 分 考试时间： 120 分钟
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：
__________
一、选择题（共 10 小题 ，每小题 3 分 ，共 30 分 ） 1.下列方程中是一元二次方程的是（ ） A.2𝑥+1=0 C.𝑥2+1=0
B.𝑥2+𝑥=1 2
D.+𝑥2+1=0
𝑥
2.已知方程𝑥2−5𝑥=2−√𝑥2−5𝑥，用换元法解此方程时，可设𝑥=√𝑥2−5𝑥，则原方程化为（ ） A.𝑥2−𝑥+2=0 C.𝑥2+𝑥−2=0
B.𝑥2−𝑥−2=0 D.𝑥2+𝑥+2=0
3.一元二次方程2𝑥2−𝑥−3=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A.2，1，3 C.2，−1，3
B.2，1，−3 D.2，−1，−3
4.若关于𝑥的一元二次方程(𝑥−1)𝑥2+𝑥−𝑥2=0的一个根为1，则𝑥的值为（ ） A.−1
B.0或1
C.1
D.0
5.设𝑥，𝑥是方程𝑥2+𝑥−2015=0的两个不相等的实数根，𝑥2+6𝑥+5𝑥−2000的值为（ ） A.9
B.10
C.11
1
D.10或11
6.若𝑥2−3𝑥+1=0，则𝑥4+4的个位数字是（ ）
𝑥
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A.7 A.±√2 B.8 B.±2
C.9 C.+√3 D.10
D.±4
7.方程√2𝑥2=√8的解为（ ）
8.在实数范围内定义运算“⊕”，其法则为：𝑥⊕𝑥=𝑥2−𝑥2，则方程(4⊕3)⊕𝑥=24的解为（ ） A.𝑥=5
C.𝑥=5或𝑥=−5 A.(𝑥+1)2=6 C.(𝑥−1)2=6 A.(𝑥+1)2=100 C.(𝑥+2)2=100
B.𝑥=−5
D.𝑥=3或𝑥=7 B.(𝑥+2)2=9 D.(𝑥−2)2=9 B.(𝑥−1)2=100 D.(𝑥−2)2=100
9.将方程𝑥2−2𝑥−5=0变形为(𝑥+𝑥)2=𝑥的形式正确的是（ ）
10.一元二次方程𝑥2+2𝑥−99=0变形正确的是（ ）
二、填空题（共 10 小题 ，每小题 3 分 ，共 30 分 ）
11.𝑥𝑥2+𝑥𝑥+𝑥=0(𝑥≠0)叫做________的一般形式．设𝑥1，𝑥2分别为𝑥𝑥2+𝑥𝑥+𝑥=0(𝑥≠0)的两个根，则：𝑥1=________，𝑥2=________．
12.若𝑥2−5𝑥𝑥−6𝑥2=0，且𝑥≠0，则=________．
𝑥
13.己知𝑥，𝑥为一元二次方程𝑥2+3𝑥−2014=0的两个根，那么𝑥2+2𝑥−𝑥的值为________．
14.关于𝑥的一元二次方程𝑥𝑥2+(2𝑥−1)𝑥−2=0的根的判别式的值等于4，则𝑥=________．
15.设(𝑥2+𝑥2)(𝑥2+𝑥2+2)−15=0，则𝑥2+𝑥2的值为________． 16.已知方程𝑥2−4𝑥+1=0的两个根分别为𝑥1，𝑥2，则𝑥1⋅𝑥2=________．
17.关于𝑥的一元二次方程𝑥𝑥2+(𝑥−2)𝑥+𝑥−2=0有两个不相
41𝑥
等的实数根，则𝑥的取值范围是________．
18.小明到商场购买某个牌子的铅笔𝑥支，用了𝑥元（𝑥为整数）．后来他又去商场时，发现这种牌子的铅笔降阶20%，于是他比上一次多买了10支铅笔，用了4元钱，那么小明两次共买了铅笔________支． 19.若关于𝑥的一元二次方程𝑥2+(𝑥+3)𝑥+𝑥=0的一个根是−2，则另一个根是________．
20.某商品成本价为300元，两次降价后现价为160元，若每次降价的百分率相同，设为𝑥，则方程为________．
三、解答题（共 6 小题 ，每小题 10 分 ，共 60 分 ） 21.用配方法求：
(1)3𝑥2−4𝑥+8的最小值； (2)−2𝑥2+4𝑥−1的最大值．
22.判断下列方程后面的数字是否是一元二次方程的根． (1)𝑥2−8𝑥=0．(8)
(2)2𝑥2+1=3𝑥．(2)
(3)𝑥2−4𝑥−7=0．(−2) (4)3𝑥2+7𝑥−9=0．(3) 23.用适当的方法解方程： (1)𝑥2−4𝑥+3=0； (2)(3−𝑥)2+𝑥2=9．
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71
24.某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件．若商场要求该服装部每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
25.已知关于𝑥的方程𝑥𝑥2−(3𝑥+2)𝑥+2𝑥+2=0 (1)求证：无论𝑥取任何实数时，方程恒有实数根；
(2)若关于𝑥的方程𝑥𝑥2−(3𝑥+2)𝑥+2𝑥+2=0的两个不等实数根均为正整数，且𝑥为整数，求𝑥的值．
26.如图，在△𝑥𝑥𝑥中，𝑥𝑥=90∘，𝑥𝑥=12𝑥𝑥，𝑥𝑥=24𝑥𝑥，动点𝑥从点𝑥开始沿着边𝑥𝑥向点𝑥以2𝑥𝑥/𝑥的速度移动（不与点𝑥重合），动点𝑥从点𝑥开始沿着边𝑥𝑥向点𝑥以4𝑥𝑥/𝑥的速度移动（不与点𝑥重合）．若𝑥、𝑥两点同时移动𝑥(𝑥)； (1)当移动几秒时，△𝑥𝑥𝑥的面积为32𝑥𝑥2．
(2)设四边形𝑥𝑥𝑥𝑥的面积为𝑥(𝑥𝑥2)，当移动几秒时，四边形𝑥𝑥𝑥𝑥的面积为108𝑥𝑥2？ 答案 1.C 2.C 3.D 4.D 5.B 6.A
7.A 8.C 9.C 10.A
11.一元二次方程12.−1或6 13.2017 14.或− 2215.3 16.1
17.𝑥>−1且𝑥≠0 18.40或90 19.1
20.300(1−𝑥)2=160 21.解：(1)3𝑥2−4𝑥+8 444=3(𝑥−𝑥+)+8−
393
21
3
−𝑥+√𝑥2−4𝑥𝑥−𝑥−√𝑥2−4𝑥𝑥
2𝑥
2𝑥
2220
=3(𝑥−)+ 33
所以3𝑥2−4𝑥+8的最小值是3．(2)−2𝑥2+4𝑥−1 =−2(𝑥2−2𝑥+1)+2−1 =−2(𝑥−1)2+1
所以−2𝑥2+4𝑥−1的最大值是1．
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22.解：(1)把𝑥=8代入方程𝑥2−8𝑥=0的左边， 得左边=82−8×8=0=右边，
所以𝑥=8是一元二次方程𝑥2−8𝑥=0的根； (2)把𝑥=2分别代入方程2𝑥2+1=3𝑥的左右两边， 得左边=2×(2)2+1=2，右边=3×2=2， 左边=右边，
所以𝑥=2是一元二次方程2𝑥2+1=3𝑥的根； (3)把𝑥=−2代入方程𝑥2−4𝑥−7=0的左边， 得左边=(−2)2−4×(−2)−7=5，右边=0， 左边≠右边，
所以𝑥=−2不是一元二次方程𝑥2−4𝑥−7=0的根； (4)把𝑥=3代入方程3𝑥2+7𝑥−9=0的左边， 得左边=3×(3)2+7×3−9=3，右边=0， 左边≠右边，
所以𝑥=3不是一元二次方程3𝑥2+7𝑥−9=0的根． 23.解：(1)(𝑥−1)(𝑥−3)=0， 𝑥−1=0或𝑥−3=0，
所以𝑥1=1，𝑥2=−3；(2)𝑥2−3𝑥=0， 𝑥(𝑥−3)=0， 𝑥=0或𝑥−3=0， 所以𝑥1=0，𝑥2=3． 24.每件衬衫应降价25元；
7
7
7
71
71
1
3
1
3
1
25.解：(1)①当𝑥=0时，方程为−2𝑥+2=0，𝑥=1，此一元一次方程有实根，
①当𝑥≠0时，方程为一元二次方程𝑥𝑥2−(3𝑥+2)𝑥+2𝑥+2=0， ①𝑥=𝑥，𝑥=−(3𝑥+2)，𝑥=2𝑥+2，
①△=𝑥2−4𝑥𝑥=[−(3𝑥+2)]2−4𝑥×(2𝑥+2)=𝑥2+4𝑥+4=(𝑥+2)2， ①(𝑥+2)2≥0，
①无论𝑥取任何实数时，方程恒有实数根；(2)根据(1)可得： 𝑥1=𝑥2=
3𝑥+2+(𝑥+2)
2𝑥3𝑥+2−(𝑥+2)
2𝑥
=
2𝑥+2𝑥
=2+，
𝑥
2
=1，
①𝑥为整数，𝑥为整数， ①𝑥=1，−1，2，−2， ①𝑥1=4，0，3，1， ①𝑥1≠𝑥2，且𝑥为正整数， ①𝑥=1或𝑥=2．
26.当移动2秒或4秒时，△𝑥𝑥𝑥的面积为32𝑥𝑥2．(2)𝑥=𝑥△𝑥𝑥𝑥−𝑥△𝑥𝑥𝑥=𝑥𝑥⋅𝑥𝑥−(24𝑥−4𝑥2)=4𝑥2−24𝑥+144=108，
21
解得：𝑥=3．
答：当移动3秒时，四边形𝑥𝑥𝑥𝑥的面积为108𝑥𝑥2．
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