机械优化设计复习题及答案

一.单项选择题

械优化设计复习题

1．一个多元函数FX在X* 附近偏导数连续，则该点位极小值点的充要条件为（ ）

A．FX*0 B. FX*0,HX*为正定 C．HX*0 D. FX*0,HX*为负定

2.为克服复合形法容易产生退化的缺点，对于n维问题来说，复合形的顶点数K应（ ）

A． Kn1 B. K2n C. n1K2n D. nK2n1 3．目标函数F（x）=4x12+5x2具有等式约束，其等式约束条件为h(x)=2x1+3x2-6=0,2，

则目标函数的极小值为（ ）

A．1 B． 19.05

C．0.25

D．0.1

4.对于目标函数F(X)=ax+b受约束于g(X)=c+x0的最优化设计问题，用外点罚函数法求解时，其惩罚函数表达式Φ(X,M(k))为( )。 A. ax+b+M(k){min［0,c+x］}2，M(k)为递增正数序列 B. ax+b+M(k){min［0,c+x］}2，M(k)为递减正数序列 C. ax+b+M(k){max［c+x,0］}2，M(k)为递增正数序列hn D. ax+b+M(k){max［c+x,0］}2，M(k)为递减正数序列

1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.B 7.D 8.B 9.A 10C.11.B 12.C 13A 14.B 15.B 16 D 17.D 18.A 0.186 C

6.F(X)在区间［x1,x3］上为单峰函数，x2为区间中一点，x4为利用二次插值法公

式求得的近似极值点。如x4-x2>0,且F(x4)>F(x2)，那么为求F(X)的极小值，x4点在下一次搜索区间内将作为( )。 A.x1 B.x3 C.x2

D.x4

12

，则该二次型是( )的。24

7.已知二元二次型函数F(X)=1XTAX，其中A=

2 A.正定 B.负定 C.不定 D.半正定 8.内点罚函数法的罚因子为（ ）。

A.递增负数序列 B.递减正数序列 C.递增正数序列 D.递减负数序列

9.多元函数F(X)在点X*附近的偏导数连续，F(X*)=0且H(X*)正定，则该点为

F(X)的（ ）。 A.极小值点 B.极大值点 C.鞍点 D.不连续点

10.F(X)为定义在n维欧氏空间中凸集D上的具有连续二阶偏导数的函数，若H(X)正定，则称F(X)为定义在凸集D上的（ ）。

A.凸函数 B.凹函数 C.严格凸函数 D.严格凹函数

1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.B 7.D 8.B 9.A 10C.11.B 12.C 13A 14.B 15.B 16 D 17.D 18.A

11.在单峰搜索区间[x1 x3] (x1x4,并且其函数值F（x4）A. n次 B. 2n次 C. n+1次 D. 2次 13.在下列特性中，梯度法不具有的是（ ）。 A.二次收剑性 B.要计算一阶偏导数

C.对初始点的要求不高 D.只利用目标函数的一阶偏导数值构成搜索方向

14.外点罚函数法的罚因子为（ ）。

A.递增负数序列 B.递减正数序列 C.递增正数序列 D.递减负数序列

15.内点惩罚函数法的特点是（ ）。

A．能处理等式约束问题 B.初始点必须在可行域中

C.初始点可以在可行域外 D.后面产生的迭代点序列可以在可行域

外

16.约束极值点的库恩—塔克条件为F(X)=igi(X)，当约束条件gi(X)≤

i1q0(i=1,2,…,m)和λi≥0时，则q应为 ( )。

A.等式约束数目； B.不等式约束数目； C.起作用的等式约束数目 D.起作用的不等式约束数目

217 已知函数F(X)=-2x12x1x2x222x1，判断其驻点(1，1)是( )。

A.最小点 B.极小点 C.极大点 D.不可确定

18．对于极小化F(X)，而受限于约束gμ(X)≤0(μ=1,2,…,m)的优化问题，其

内点罚函数表达式为（ ）

A. Ф(X, r)=F(X)-r

(k)(k)

1/gu1mmu(X) B. Ф(X, r)=F(X)+r

(k)(k)

1/gu1mu(X)

C. Ф(X, r)=F(X)-r

(k)(k)

max[0,gu1u(X)] D. Ф(X, r)=F(X)-r

(k)(k)

min[0,gu1mu(X)]

19. 在无约束优化方法中，只利用目标函数值构成的搜索方法是( )

A. 梯度法 B. Powell法 C. 共轭梯度法 D. 变尺度法 1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.B 7.D 8.B 9.A 10C.11.B 12.C 13A 14.B 15.B 16 D 17.D 18.A

20. 利用0.618法在搜索区间［a,b］内确定两点a1=0.382,b1=0.618，由此可知

区间［a,b］的值是( )

A. ［0,0.382］ B. ［0.382,1］ C. ［0.618,1］ D. ［0,1］ 21. 已知函数F(X)=x12+x22-3x1x2+x1-2x2+1，则其Hessian矩阵是( ) A. 23232132 B. C. D. 321223 3222. 对于求minF(X)受约束于gi(x)≤0(i=1,2,…,m)的约束优化设计问题，当取λi≥0时，则约束极值点的库恩—塔克条件为( ) A. F(X)=igi(X),其中λi为拉格朗日乘子

i1mB. F (X)= igi(X),其中λi为拉格朗日乘子

i1mC. F(X)= igi(X),其中λi为拉格朗日乘子，q为该设计点X处的约束面数

i1qD. F(X)= igi(X),其中λi为拉格朗日乘子，q为该设计点X处的约束面数

i1q23. 在共轭梯度法中，新构造的共轭方向S(k+1)为( ) A. S(k+1)= F(X(k+1))+β

(k)

S(K)，其中β

(k)

为共轭系数

B. SC. SD. S

(k+1)

=F(X

(k+1)

)－β)+β

(k)

S，其中βS，其中β

(K)

(K)(k)

为共轭系数 为共轭系数 为共轭系数

(k+1)

=-F(X=-F(X

(k+1)(k)(k)

(k+1)(k+1)

)－β

(k)(K)

S，其中β

(k)

24. 用内点罚函数法求目标函数F(X)=ax+b受约束于g(X)=c-x≥0的约束优化设计问题，其惩罚函数表达式为( ) A. ax+b-r(k)B. ax+b-r(k)

1c-x1c-x，r(k)为递增正数序列 ，r(k)为递减正数序列 ，r(k)为递增正数序列

C. ax+b+ r(k)D. ax+b+r(k)

1c-x1c-x，r(k)为递减正数序列

1的最大变化率为( ) 125. 已知F(X)=x1x2+2x22+4,则F(X)在点X(0)=A. 10 B. 4 C. 2 D.

10

26.在复合形法中，若映射系数α已被减缩到小于一个预先给定的正数δ仍不能使映射点可行或优于坏点，则可用（ ） A.好点代替坏点 B.次坏点代替坏点 C.映射点代替坏点 D.形心点代替坏点

1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.B 7.D 8.B 9.A 10C.11.B 12.C 13A 14.B 15.B 16 D 17.D 18.A

27. 优化设计的维数是指( )

A. 设计变量的个数 B. 可选优化方法数 C. 所提目标函数数 D. 所提约束条件数

28.在matlab软件使用中，如已知x=0:10，则x有______个元素。

A. 10

B. 11

C. 9

D. 12

29.如果目标函数的导数求解困难时，适宜选择的优化方法是（ ）。

A. 梯度法 B. Powell法 C. 共轭梯度法 D. 变尺度法 30.在0.618法迭代运算的过程中，迭代区间不断缩小，其区间缩小率在迭代的过程中（ ）。

A．逐步变小 B 不变 C 逐步变大 D 不确定

二 填空

1.在一般的非线性规划问题中，kuhn-tucker点虽是约束的极值点，但 是全域的最优点。

2.判断是否终止迭代的准则通常有 . 和 三种形式。 3.当有两个设计变量时，目标函数与设计变量关系是 中一个曲面。 4.函数在不同的点的最大变化率是 。

125.函数fxx12x24x14，在点X32处的梯度为 。

T6.优化计算所采用的基本的迭代公式为 。 7．多元函数F（x）在点x*处的梯度▽F（x*）＝0是极值存在的 条件。

8．函数F（x）=3x12+x22-2x1x2+2在点（1，0）处的梯度为 。 9．阻尼牛顿法的构造的迭代格式为 。 10．用二次插值法缩小区间时，如果x2xp，f2fp，则新的区间（a,b）应取

作 ， 用以判断是否达到计算精度的准则是 。 11.外点惩罚函数法的极小点是从可行域之 向最优点逼近，内点惩罚函数法的极小点是从可行域之 向最优点逼近。 12．罚函数法中能处理等式约束和不等式约束的方法是 罚函数

法。

13.Powell法是以 方向作为搜索方向。

14.当有n个设计变量时，目标函数与n个设计变量间呈 维空间超曲面关系。

1．不 2。距离.目标函数改变量.梯度 3。三维空间 4。不同的 5。24T 6．xk1xkkdk 7。必要条件 8。62T 9。xkk2fxk1fxk

10．x2b ,ba 11.外.内 12.。混合 13.。逐次构造共轭 14.。n+1

三 问答题

1. 变尺度法的基本思想是什么？ 2. 梯度法的基本原理和特点是什么？

3．什么是库恩－塔克条件？其几何意义是什么？

4. 在内点罚函数法中，初始罚因子的大小对优化计算过程有何影响 5. 选择优化方法一般需要考虑哪些因素

6. 满足什么条件的方向是可行方向？满足什么条件的方向是下降方向？作图表示。

7. 简述传统的设计方法与优化设计方法的关系。 8. 简述对优化设计数学模型进行尺度变换有何作用。 9. 分析比较牛顿法.阻尼牛顿法和共轭梯度法的特点

10．为什么选择共轭方向作为搜索方向可以取得良好的效果？

11．多目标问题的解与单目标问题的解有何不同？如何将多目标问题转化为单

目标问题求解？

12.黄金分割法缩小区间时的选点原则是什么？为何要这样选点？

四.计算题

1.用外点法求解此数学模型

22 将fx2x126x22x1x22x13x23写成标准二次函数矩阵的形式。

minfXx1x23 用外点法求解此数学模型 ：s..tg1Xx12x20

g2Xx1024 求出fx2x126x12x24x220的极值及极值点。

13x11x23tg1Xx1105 用外点法求解此数学模型 ：s..

minfXg2Xx206．用内点法求下列问题的最优解：

（提示：可构造惩罚函数 (x,r)f(x)rlngu(x)，然后用解析法求解。）。

u127.设已知在二维空间中的点xx1g1x2T，并已知该点的适时约束的梯度

1T，试用简化方法确定一个

1T，目标函数的梯度f0.5适用的可行方向。

8. 用梯度法求下列无约束优化问题：Min F(X)=x12+4x22，设初始点取为X(0)=[2

2]T，以梯度模为终止迭代准则，其收敛精度为5。

9. 对边长为3m的正方形铁板，在四个角处剪去相等的正方形以制成方形无盖

水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？建立该问题的优化设计的数学模型。 10. 已知约束优化问题： 试以x10201T,x2401T,x333T为复合形的初始顶点，用复合形法

进行一次迭代计算。

机械优化设计综合复习题参考答案

一.单项选择题

1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.B 7.D 8.B 9.A 10C.11.B 12.C 13A 14.B 15.B 16 D 17.D 18.A 二 填空

1．不 2。距离.目标函数改变量.梯度 3。三维空间 4。不同的 5。24T 6．xk1xkkdk 7。必要条件 8。62T 9。xkk2fxk1fxk

10．x2b ,ba 11.外.内 12.。混合 13.。逐次构造共轭 14.。n+1 三 问答题

1.变尺度法的基本思想是：通过变量的尺度变换把函数的偏心程度降低到最低限度，显着地改进极小化方法的收敛性质。

2．梯度法的基本原理是搜索沿负梯度方向进行，其特点是搜索路线呈“之”字型的锯齿路线，从全局寻优过程看速度并不快。

3．库恩-塔克条件是判断具有不等式约束多元函数的极值条件。

库恩—塔克条件的几何意义是: 在约束极小值点X处，函数Fx的负梯度一定能表示成所有起使用约束在该点梯度（法向量）的非负线性组合。

4．初始罚因子r0，一般来说r0太大将增加迭代次数，r0太小会使惩罚函数的性态变坏，甚至难以收敛到极值点。

5．选择优化方法一般要考虑数学模型的特点，例如优化问题规模的大小，目标函数和约束函数的性态以及计算精度等。在比较各种可供选用的优化方法时，需要考虑的一个重要因素是计算效率。 6．可行条件应满足第二式： 7.下降条件应满足第一式：

搜索方向应与起作用的约束函数在xk点的梯度及目标函数的梯度夹角大于或等

于900。

8．数学模型的尺度变换是一种改善数学模型性态，使之易于求解的技巧。一般可以加速优化设计的收敛，提高计算过程的稳定性。 9．牛顿法的迭代关系式为：

阻尼牛顿法的迭代关系式为：xk1xk[2f(x 共轭梯度法的迭代关系式为：

牛顿法适合二次型问题，阻尼牛顿法有防止目标函数值上升的阻尼因子，适合非二次型问题，两者均需计算海森矩阵及其逆矩阵，计算量大。共轭梯度法用梯度构造共轭方向，仅需梯度计算且具有共轭性质，收敛速度快，不必计算海森矩阵，使用更加方便。

10．根据共轭方向的性质：从任意初始点出发顺次沿n个G的共轭方向进行一维搜索，最多经过n次迭代就可找到二次函数的极小点，具有二次收敛性。 11．单目标问题的解一般是唯一理想解，多目标的解一般是相对理想解。多目标问题转成单目标问题的常用方法有：主要目标法.线性加权法.理想点法.平方和加权法.分目标乘除法.功率系数法和极大极小法。

12．选点原则是插入点应按0.618分割区间。因为这样选点可以保持两次迭代区间的相同比例分布，具有相同的缩短率。 四.计算题

1．提示：先转化为惩罚函数形式 答案x1 2．二次函数的矩阵标准形式为

1TxGxBTxC 答案为2k1)]fx(k)k(0,1,2,)41Tx222x+23x+3 123．参考第六章复习题提示 结果为x004. 用梯度计算极值点 答案为1.55. 先构造外点罚函数 答案为106. 先构造内点罚函数 答案为131T

T

T

T

7. 用图解法，先画出约束函数梯度及目标函数梯度，做两者的垂线，与两梯度夹角均大于900的任意方向均可。

8. 以负梯度为搜索方向进行迭代计算 答案为009. 设剪掉的正方形边长为x1 数学模型为 MinF(x)(32x)T

2x1

10. 提示 先算三点的目标函数值并排序，将最差点沿其余点中心进行反射，计算反射点函数值并判断可行性。 答案为13.5T