中考数学专题复习(六)(有答案)图形变换综合题

(2020青岛)如图，在四边形ABCD和Rt△EBF中，AB∥CD，CD＞AB，点C在EB上，∠ABC＝∠EBF＝90°，AB＝BE＝8 cm，BC＝BF＝6 cm，延长DC交EF于点M.点P从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2 cm/s；同时，点Q从点M出发，沿MF方向匀速运动，速度为1 cm/s.过点P作GH⊥AB于点H，交CD于点G.设运动时间为t(s)(0＜t＜5)．

解答下列问题：

(1)当t为何值时，点M在线段CQ的垂直平分线上？

(2)连接PQ，作QN⊥AF于点N，当四边形PQNH为矩形时，求t的值； (3)连接QC，QH，设四边形QCGH的面积为S(cm2)，求S与t的函数关系式； (4)点P在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点P在∠AFE的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

CMCECM8－63

解：(1)∵AB∥CD，∴＝，即＝.∴CM＝.

BFBE682

33

∵点M在线段CQ的垂直平分线上，∴CM＝MQ，∴1×t＝.∴t＝.

22(2)如图1，∵∠ABC＝∠EBF＝90°，AB＝BE＝8 cm，BC＝BF＝6 cm， ∴AC＝

AB2＋BC2＝

64＋36＝10(cm)，EF＝

CE2＋CM2＝

BF2＋EB2＝954＋＝. 42

36＋64＝10(cm)．

3

∵CE＝2 cm，CM＝ cm，∴EM＝

2

PHBCPH664

∵sin∠PAH＝sin∠CAB，∴＝，即＝.∴PH＝t.同理可求QN＝6－t.

APAC2t105546

∵四边形PQNH是矩形，∴PH＝QN.∴6－t＝t.解得t＝3.

554

(3)如图2，过点Q作QN⊥AF于点N，由(2)可知QN＝6－t.

5AHABAH88

∵cos∠PAH＝cos∠CAB，∴＝，即＝.∴AH＝t.

APAC2t105∵四边形QCGH的面积＝S梯形GMFH－S△CMQ－S△HFQ.

8831344811

8－t＋6＋8－t＋－××6－6－t－×6－t8－t＋6＝－即S＝×6×5222525552

162157t＋t＋. 2552

(4)存在，理由如下：如图3，连接PF，延长AC交EF于点K. ∵AB＝BE，BC＝BF，AC＝EF，∴△ABC≌△EBF(SSS)．∴∠E＝∠CAB， 又∵∠ACB＝∠ECK，∴∠ABC＝∠EKC＝90°. 3

2×2611

∵S△CEM＝×EC×CM＝×EM×CK，∴CK＝＝.

2255

2

667

∵PF平分∠AFE，PH⊥AF，PK⊥EF，∴PH＝PK.∴t＝10－2t＋.解得t＝.

5527

∴当t＝时，点P在∠AFE的平分线上．

2

类型二 线动型综合题

(2020沈阳改编)如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O是坐标原点，点A的坐标为(4，4)，点B的坐标为(6，0)，动点P从O开始以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动，设运动的时间为t秒(0＜t＜4)，过点P作PN∥x轴，分别交AO，AB于点M，N.

(1)AO的长为 42 ，AB的长为 25 ； (2)当t＝1时，求点N的坐标； (3)用含t的代数式表示MN的长；

(4)点E是线段MN上一动点(点E不与点M，N重合)，△AOE和△ABE的面积分别表4

示为S1和S2，当t＝时，求S1·S2(即S1与S2的积)的最大值．

3

解：(2)设直线AB的解析式为y＝kx＋b，

4k＋b＝4，k＝－2，

将A(4，4)，B(6，0)代入，得解得

6k＋b＝0，b＝12，

∴直线AB的解析式为y＝－2x＋12，由题意，得点N的纵坐标为1， 1111

令y＝1，得1＝－2x＋12.∴x＝.∴N2，1. 2

12－t12－t(3)当0＜t＜4时，令y＝t，代入y＝－2x＋12中，得x＝.∴N. 22，t∵∠AOB＝∠AOP＝45°，∠OPM＝90°，

12－t12－3t∴OP＝PM＝t，∴MN＝PN－PM＝－t＝.

22

4

12－3×

34

(4)如图，当t＝时，MN＝＝4.设EM＝m，则EN＝4－m.

3211

由题意，S1·S2＝×m×4×(4－m)×4＝－4m2＋16m＝－4(m－2)2＋16.

22∵－4＜0，∴当m＝2时，S1·S2有最大值，最大值为16.

类型三 形动型综合题

(2020宁夏)如图1放置两个全等的含有30°角的直角三角板ABC与DEF(∠B＝∠E＝30°)，若将三角板ABC向右以每秒1个单位长度的速度移动(点C与点E重合时移动终止)，移动过程中始终保持点B，F，C，E在同一条直线上，如图2，AB与DF，DE分别交于点P，M，AC与DE交于点Q，其中AC＝DF＝3，设三角板ABC移动时间为x秒．

(1)在移动过程中，试用含x的代数式表示△AMQ的面积；

(2)计算x等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？

解：(1)∵Rt△ABC中∠B＝30°，∴∠BAC＝60°.

∵∠E＝30°，∴∠EQC＝∠AQM＝60°.∴△AMQ为等边三角形． 如图2，过点M作MN⊥AQ，垂足为点N.

在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝AC·tanA＝3，∴EF＝BC＝3， 根据题意可知CF＝x，∴CE＝EF－CF＝3－x，CQ＝CE·tanE＝∴AQ＝AC－CQ＝3－

333

(3－x)＝x，∴AM＝AQ＝x， 333

3

(3－x)， 3

111313

而MN＝AM·sinA＝x，∴S△MAQ＝AQ·MN＝×x·x＝x2.

2223212(2)由(1)知BF＝CE＝3－x，PF＝BF·tanB＝∴Sx)×

重叠＝S△ABC－S△AMQ－S△BPF＝

3

(3－x)， 3

111131AC·BC－AQ·MN－BF·PF＝×3×3－x2－(3－2222122

333

(3－x)＝－x2＋3x＝－(x－2)2＋3， 344∴当x＝2时，重叠部分面积有最大值，最大值是3.