青海省西宁市五中、四中、十四中2016届高三数学下学期联考试题 理

西宁市2015--2016学年度三校联考数学试题

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题－24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 注意事项：

1． 答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码

区域内.

2． 选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字

体工整、笔迹清楚.

3． 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿

纸、试题卷上答题无效.

4． 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一．．．项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. ．

1. 已知集合A{x1≤x≤1}，B{xx22x≤0}，则AB

A. [1,0] B. [1,2]

C. [0,1]

D. (,1][2,)

2．已知复数z满足z(1＋i)2＝1－i，则复数z对应的点在________上( )

1111

A．直线y＝－x B．直线y＝x C.直线y＝－ D．直线x＝－ 22223.已知a1,b2 ，且a(ab)，则向量a与向量b的夹角为

2 A. B. C. D.

3643a－b4．已知实数a，b，c满足不等式0＜a＜b＜c＜1，且M＝2，N＝5，P＝ln c，则M，N，P的大小关系为( )

A． P＜N＜M B．P＜M＜N C．M＜P＜N D．N＜P＜M

5.在递增的等比数列{an}中，已知a1＋an＝34，a3·an－2＝64，且前n项和为Sn＝42，则n＝( )

A.6 B．5 C．4 D．3

c6.已知ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若abcb的面积为

A.

222，bc4，则ABC1 22

B. 1

2

C. 3 D. 2

7．把函数f(x)=sinx-2sinxcosx+3cosx的图像沿x轴向左平移m(m>0)个单位，所得函数g(x)

的图像关于直线x= 对称，则m的最小值为 （ ）

8Ａ．

3 Ｂ． Ｃ． Ｄ． 4324exax08. 已知函数fx(aR)，若函数fx在R上有两个零点，则a的取值

2x1x0 1

范围是（ ）

A．,1 B．,0 C．1,0 D．1,0 xy

9.已知双曲线2  2=1(a>0,b>0)，过其右焦点且垂直于实轴的直线

ab与双曲线交于M,N两点，O是坐标原点，若OMON则双曲线的离心率( )

A．错误！未找到引用源。 B．错误！未找到引用源。 C．

2

2

15 D．错误！未找到引用源。 210．已知实数x∈[1，10]，执行如图所示的流程图，则输出的x不小于63的概率为( )

1A. 3

4 B. 9

23C. D. 510

10题图 2 2 正视2 2 俯视11题图 2 侧视1 1 11．已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是

23231110A．3 B．6 C．3 D．3

12.已知函数fx是R上的偶函数，在3,2上为减函数且对

xR都有f2xfx，若A,B是钝角三角形ABC的两个锐

角，则（ ）

A.fsinAfcosB B.fsinAfcosB 与fcosB的大小关系不确定 C.fsinAfcosB D.fsinA 第II卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）

xy1013．若实数x，y满足xy0，则zx2y的最大值是__________。

x014.已知tan1,则cos2 ______ 26a15．设a2sinxdx，则2x展开式的常数项为______．

0x16．已知三棱锥P-ABC，若PA，PB，PC两两垂直，且PA = 2，PB = PC = 1，则三棱锥P-ABC 2

的内切球半径为__________。

三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，点（a，b）在直线4xcosB－ycosC＝ccosB上． （Ⅰ）求cosB的值；

（Ⅱ）若BABC3，b＝32，求a和c．

18．(本小题满分12分)如图，平面ABEF平面ABC，四边形ABEF为矩形，ACBC．O为AB的中点，OFEC． （1）求证：OEFC； （2）若AC3时，求二面角FCEB的余AB2弦值．

19．(本小题满分12分)为了普及环保知识增强环保意识，某校从理工类专业甲班抽取60人，从文史类乙班抽取50人参加环保知识测试

⑴ 根据题目条件完成下面2×2列联表，并据此判断你是否有99%的把握认为环保知识与专业有关

甲班 乙班 总计 优秀 60 非优秀 30 总计 ⑵为参加上级举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，预选赛答卷满分100分，优秀的同学得60分以上通过预选，非优秀的同学得80分以上通过预选，若每位同学得60分以上的概11

率为，得80分以上的概率为，现已知甲班有3人参加预选赛，其中1人为优秀学生，若随

23机变量X表示甲班通过预选的人数，求X的分布列及期望E（X）. n(ad-bc)附: k= , n=a+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

2

P(K>k0) k0

20.100 0.050 0.025 0.010 0.005 7.879 2.706 3.84 5.02 6.635

3

x2y2620. (本小题满分12分)已知椭圆221（a＞b＞0）的离心率e，过点A（0，

3ab-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为

3． 2（1）求椭圆的方程．

（2） 已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在

k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由．

21．(本小题满分12分)已知函数f(x)x2axlnx，aR. （1） 若函数f(x)在1,2上是减函数，求实数a的取值范围；

（2） 令g(x)f(x)x2，是否存在实数a，当x0,e（e是自然常数）时，函数g(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.

22.(本小题满分10分) 选修4－1：几何证明选讲

如图所示，AB为圆O的直径，CB，CD为圆O的切线，B，D为切点. ⑴ 求证：AD//OC；

⑵ 若圆O的半径为2，求ADOC的值.

23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 2x=2t已知直线l的参数方程是2

y=2t+4（1）求圆心C的直角坐标；

（2）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．

24(本小题满分10分) 选修4－5：不等式选讲

3322⑴ 已知a,b都是正数，且ab，求证：ababab；



(t是参数)，圆C的极坐标方程为ρ=2cos(θ+)．

4

2

a2b2b2c2c2a2≥abc. ⑵ 已知a,b,c都是正数，求证：

abc 4

西宁市2015--2016学年度三校联考数学试题答案

一. 选择题: CCBAD CADCA DA 二. 填空题：13. 2 14.

31 15.160 16. 54三．解答题

17题答案（12分）：

（Ⅰ）由题意得 4acosBbcosCccosB，……………………………（1分） 由正弦定理得a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，

所以4sinAcosBsinBcosCsinCcosB，………………………………………（3分） 即4sinAcosBsinCcosBsinBcosC，

所以4sinAcosBsin(CB)sinA，…………………………………………………（5分） 又sinA0，

1.………………………………………………………………………………（6分） 41(Ⅱ）由BABC3得accosB3，又cosB，所以ac12.………………（9分）

4由b2a2c22accosB，b32可得a2c224，

所以cosB所以ac0，即ac，……………………………………………………………（11分） 所以ac23.…………………………………………………………………………（12分） 18题答案（12分）

（1）证明：连结OC，因ACBC，O是AB的中点，故OCAB．

又因平面ABC平面ABEF，故OC平面ABEF， 于是OCOF．又OFEC，所以OF平面OEC，所以OFOE，又因OCOE，故OE平面OFC，所以OEFC． 5分 （2）由（1），得AB2AF，不妨设AF1，AB2，取EF的中点D，以O为原点，

2OC,OB,OD所在的直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设OCk，则F(0,1,1)E,(0,1,B1),(0C,1,k0),，从而(

EFn0CEn0CE(2,1,1),EF(0,2,0),设平面FCE的法向量n(x,y,z)，由， 得n(1,0,2)，

nm1同理可求得平面CEB的法向量m(1,2,0)，设n,m的夹角为，则cos，

nm3由于二面角FCEB为钝二面角，则余弦值为

1. 7分 3 5

19．答案(12分)．解（1）2×2列联表如下

甲班 乙班 总计 2优秀 40 20 60 非优秀 20 30 50 总计 60 50 110 nadbc2由K算得，

abcdacbd211040302020K27.86.635，所以有99%的把握认为环保知识与专业有关

60506050（4分）

（2）不妨设3名同学为小王，小张，小李且小王为优秀，记事件M,N,R分别表示小王，小张，11

小李通过预选，则P（M）=， P（N）=P（R）= （5分）

23∴随机变量X的取值为0，1，2，3 （6分）

12221221211214

所以P(x=0)=P(M¯N¯R¯)=×× = , P(x=1)=P(MN¯R¯+M¯NR¯+M¯N¯R)= ××+××+××= , 23392332332339

12112111151111

P(x=2)=P(MNR¯+M¯NR+MN¯R)= ××+××+×× = , P(x=3)=P(MNR)= ×× = 2332332331823318（10分）

所以随机变量X的分布列为： X P 0 2 91 4 92 5 183 1 1824517

E(X) =0×+1×+2×+3× = （12分）

991818620答案．解析：（1）直线AB方程为：bx-ay-ab＝0．

c6，a3，a3 依题意 解得 

3b1ab222abx2y21．…………………4分 ∴ 椭圆方程为 3（2）假若存在这样的k值，由22ykx2，22x3y3022得(13k)x12kx90．

∴ (12k)36(13k)0． ①

6

12kxx，21213k 设C(x1，y1)、D(x2，y2)，则 ②

9xx1213k2 …………………………………………8分

而y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)4． 要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时，则

y1y21，即x11x21y1y2(x11)(x21)0．…………………………………………10分

∴ (k21)x1x22(k1)(x1x2)50． ③ 将②式代入③整理解得k 综上可知，存在k77．经验证，k，使①成立． 667，使得以CD为直径的圆过点E．………………………12分 612x2ax10在1,2上恒成立， 21答案（12分）试题解析：（1）f'(x)2xaxxa1h(1)07a令h(x)2x2ax1，有得，得. 5分 72h(2)0a2（2）假设存在实数a，使g(x)axlnx(x0,e)有最小值3，g'(x)a①当a0时，g(x)在0,e上单调递减，g(x)ming(e)ae13，a②当01ax1 xx4（舍去）， e111e时，g(x)在(0,)上单调递减，在,e上单调递增 aaa1a2∴g(x)ming()1lna3，ae，满足条件.

③当14e时，g(x)在0,e上单调递减，g(x)ming(e)ae13，a（舍去）， ae2综上，存在实数ae，使得当x0,e时g(x)有最小值3. 7分

22答案（10分）解：

7

(1) 连接BD,OD,CB,CD是圆O的两条切线，BDOC， 又AB为直径，ADDB，AD//OC. 5分 (2)由AD//OC，DABCOB，RtBAD∽RtCOB，

ADAB，ADOCABOB8. OBOC23.答案（10分）解： 

(1)∵ρ=2cos(θ+)

4

10分

∴ρ=2 cosθ-2sinθ,∴ρ=2ρcosθ-2ρsinθ …………(2分) ∴圆C的直角坐标方程为x+y-2x+2y=0 …………(3分) ∴圆心C的直角坐标为(22

,- ) …………(5分) 22

2

2

2

(2)法一： 由直线l上的点向圆C引切线长为

22222222

t-)+(t+ +42)-1=t+8t+40=(t+4)+24≥26, 2222

(

∴直线l上的点向圆C引切线长的最小值为26 …………（10分） 法二：直线l的普通方程为x-y+42=0, …………(6分)

|圆心C到直线l距离是

2242|225， …………(8分)

2∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是521226 …………（10分） 24.（10分）答案

解：（1）证明：(a3b3)(a2bab2)(ab)(ab)2.

因为a,b都是正数，所以ab0. 又因为ab，所以(ab)20.

于是(ab)(ab)20,即(a3b3)(a2bab2)0 所以a3b3a2bab2；

5分

（2）证明：因为b2c22bc,a20，所以a2(b2c2)2a2bc. ① 同理b2(a2c2)2ab2c. ② c2(a2b2)2abc2. ③ ①②③相加得2(abbcca)2abc2abc2abc 从而abbccaabc(abc).

222222222222222a2b2b2c2c2a2abc. 由a,b,c都是正数，得abc0，因此

abc

10分

8