2011届高考数学难点突破难点40 探索性问题

难点40 探索性问题

高考中的探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，要求考生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题.

●难点磁场

1.（★★★★）已知三个向量a、b、c，其中每两个之间的夹角为120°，若｜a｜=3, ｜b｜=2,｜c｜=1，则a用b、c表示为 .

2.（★★★★★）假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为1–p，且各引擎是否有故障是独立的，如有至少50%的引擎能正常运行，飞机就可成功飞行，则对于多大的p而言，4引擎飞机比2引擎飞机更为安全？

●案例探究

［例1］已知函数f(x)bxc(a,c∈R,a＞0,b是自然数）是奇函数，f(x)有最大值

ax2112，且f(1)＞. 25（1）求函数f(x)的解析式；

（2）是否存在直线l与y=f(x)的图象交于P、Q两点，并且使得P、Q两点关于点（1，0）对称，若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由.

命题意图：本题考查待定系数法求函数解析式、最值问题、直线方程及综合分析问题的能力，属★★★★★级题目.

知识依托：函数的奇偶性、重要不等式求最值、方程与不等式的解法、对称问题. 错解分析：不能把a与b间的等量关系与不等关系联立求b；忽视b为自然数而导致求不出b的具体值；P、Q两点的坐标关系列不出解.

技巧与方法：充分利用题设条件是解题关键.本题是存在型探索题目，注意在假设存在的条件下推理创新，若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定的结论，并加以论证.

解：（1）∵f(x)是奇函数 ∴f(–x)=–f(x)，即

bxcbxc∴–bx+c=–bx–c 22ax1ax1∴c=0 ∴f(x)=

bx 2ax1由a＞0，b是自然数得当x≤0时，f(x)≤0， 当x＞0时，f(x)＞0

∴f(x)的最大值在x＞0时取得. ∴x＞0时，f(x)1a1xbbx1a22b

当且仅当

a1 xbbx用心 爱心 专心 1

即x1时，f(x)有最大值a12ab21 2∴

a2

=1,∴a=b① 2b2b2，∴＞,∴5b＞2a+2 ② 5a1512

把①代入②得2b–5b+2＜0解得＜b＜2

2x又b∈N,∴b=1,a=1,∴f(x)=2

x1又f(1)＞

（2）设存在直线l与y=f(x)的图象交于P、Q两点，且P、Q关于点（1，0）对称，

x0x21y002

P(x0,y0)则Q（2–x0,–y0)，∴,消去y0，得x0–2x0–1=0

2x0y02(2x)10解之，得x0=1±2,

∴P点坐标为(12,222)或(12,)进而相应Q点坐标为Q（12,） 444或Q(12,2). 4过P、Q的直线l的方程：x–4y–1=0即为所求. ［例2］如图，三条直线a、b、c两两平行，直线a、

b间的距离为p，直线b、c间的距离为

p，A、B为直线a2上两定点，且｜AB｜=2p，MN是在直线b上滑动的长度为2p的线段.

（1）建立适当的平面直角坐标系，求△AMN的外心C的轨迹E；

（2）接上问，当△AMN的外心C在E上什么位置时，d+｜BC｜最小，最小值是多少？（其中d是外心C到直线c的距离）.

命题意图：本题考查轨迹方程的求法、抛物线的性质、数形结合思想及分析、探索问题、综合解题的能力.属★★★★★级题目.

知识依托：求曲线的方程、抛物线及其性质、直线的方程.

错解分析：①建立恰当的直角坐标系是解决本题的关键，如何建系是难点，②第二问中确定C点位置需要一番分析.

技巧与方法：本题主要运用抛物线的性质，寻求点C所在位置，然后加以论证和计算，得出正确结论，是条件探索型题目.

解：（1）以直线b为x轴，以过A点且与b直线垂直的直线为y轴建立直角坐标系.

用心 爱心 专心

2

设△AMN的外心为C(x,y)，则有A(0,p)、M（x–p,0)，N(x+p,0)， 由题意，有｜CA｜=｜CM｜

22∴x(yp)(xxp)2y2,化简，得

x2=2py

它是以原点为顶点，y轴为对称轴，开口向上的抛物线. （2）由（1）得，直线C恰为轨迹E的准线. 由抛物线的定义知d=｜CF｜，其中F（0,

p）是抛物线的焦点. 2∴d+｜BC｜=｜CF｜+｜BC｜

由两点间直线段最短知，线段BF与轨迹E的交点即为所求的点 直线BF的方程为y11xp联立方程组 421xp(117)11yxp4. 42得y917p.x22py16即C点坐标为(

117917p,p). 416此时d+｜BC｜的最小值为｜BF｜=

17p. 2●锦囊妙计

如果把一个数学问题看作是由条件、依据、方法和结论四个要素组成的一个系统，那么把这四个要素中有两个是未知的数学问题称之为探索性问题.条件不完备和结论不确定是探索性问题的基本特征.

解决探索性问题，对观察、联想、类比、猜测、抽象、概括诸方面有较高要求，高考题中一般对这类问题有如下方法：（1）直接求解；（2）观察——猜测——证明；（3）赋值推断；（4）数形结合；（5）联想类比；（6）特殊——一般——特殊.

●歼灭难点训练 一、选择题

1.（★★★★）已知直线l⊥平面α，直线m平面β，有下面四个命题，其中正确命题是( )

①α∥βl⊥m ②α⊥βl∥m ③l∥mα⊥β ④l⊥mα∥β A.①与② B.①与③ C.②与④ D.③与④

2.（★★★★）某邮局只有0.60元，0.80元，1.10元的三种邮票.现有邮资为7.50元的邮件一件，为使粘贴邮票的张数最少，且资费恰为7.50元，则最少要购买邮票( )

A.7张 B.8张 C.9张 D.10张 二、填空题

3.(★★★★)观察sin20°+cos50°+sin20°cos50°=+sin15°

用心 爱心 专心

3

2

2

322

,sin15°+cos45°4

²cos45°=

3，写出一个与以上两式规律相同的一个等式 . 4三、解答题

4.（★★★★）在四棱锥P—ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，问底面的边BC上是否存在点E.（1）使 ∠PED=90°；（2）使∠PED为锐角.证明你的结论.

5.（★★★★★）已知非零复数z1,z2满足｜z1｜=a,｜z2｜=b,｜z1+z2｜=c（a、b、c均大于零），问是否根据上述条件求出

z2？请说明理由. z16.（★★★★★）是否存在都大于2的一对实数a、b(a＞b)使得ab,

b ,a–b,a+b可a以按照某一次序排成一个等比数列，若存在，求出a、b的值，若不存在，说明理由.

2

7.（★★★★★）直线l过抛物线y=2px(p＞0）的焦点且与抛物线有两个交点，对于抛物线上另外两点A、B直线l能否平分线段AB？试证明你的结论.

8.（★★★★★）三个元件T1、T2、T3正常工作的概率分别为0.7、0.8、0.9，将它们的某两个并联再和第三个串联接入电路，如图甲、乙、丙所示，问哪一种接法使电路不发生故障的概率最大？

参 考 答 案

●难点磁场

1.解析：如图–a与b，c的夹角为60°,且|a|=|–a|=3. 由平行四边形关系可得–a=3c+答案：a=–3c–

33b,∴a=–3c–b. 223b 22.解析：飞机成功飞行的概率分别为：4引擎飞机为：

223342224C24P(1P)C4P(1P)C4P6P(1P)4P(1P)P

2引擎飞机为C2P(1P)C2P2P(1P)P. 要使4引擎飞机比2引擎飞机安全，则有： 6P（1–P）+4P（1–P）+P≥2P(1–P)+P,解得P≥即当引擎不出故障的概率不小于

2

2

2

4

2

12222. 32时，4引擎飞机比2引擎飞机安全. 34

用心 爱心 专心

●歼灭难点训练

一、1.解析：①l⊥α且α∥βl⊥β,mβl⊥m. ②α⊥β且l⊥αl∥β,但不能推出l∥m. ③l∥m,l⊥αm⊥α,由mβα⊥β. ④l⊥m,不能推出α∥β. 答案：B

2.解析：选1.1元5张，0.6元2张，0.8元1张.故8张. 答案：B

二、3.解析：由50°–20°=(45°–15°)=30°

3. 4322

答案：sinα+cos(α+30°)+sinαcos(α+30°)=

411三、4.解：(1)当AB≤AD时，边BC上存在点E，使∠PED=90°;当AB>AD时，使∠

22可得sinα+cos(α+30°)+sinαcos(α+30°)=

2

2

PED=90°的点E不存在.（只须以AD为直径作圆看该圆是否与BC边有无交点）（证略）

（2）边BC上总存在一点，使∠PED为锐角，点B就是其中一点.

连接BD，作AF⊥BD，垂足为F，连PF，∵PA⊥面ABCD，∴PF⊥BD，又△ABD为直角三角形，∴F点在BD上，∴∠PBF是锐角.

同理，点C也是其中一点.

5.解：∵|z1+z2|=(z1+z2)(z1+z2)=|z1|+|z2|+(z1z2+z1z2) ∴c=a+b+(z1z2+z1z2) 即：z1z2+z1z2=c–a–b ∵z1≠0,z2≠0，∴z1z2+z1²z2=

2

2

2

2

2

2

2

2

2

z1z2z2z1z1z2zz22

 =|z2|(1)+|z1|(2) z2z1z2z1即有：b(

2

z1z2

)+a(2)=z1z2+z1z2 z2z1∴b(

2

z1z2222)+a(2)=c–a–b z2z1z22222z22

)+(a+b–c)()+b=0 z1z1z2z的一元二次方程，解此方程即得2的值. z1z1∴a(

2

这是关于

6.解：∵a>b,a>2,b>2,∴ab,

bb,a–b,a+b均为正数，且有ab>a+b>,ab>a+b>a–b. aa用心 爱心 专心 5

假设存在一对实数a,b使ab,

b,a+b,a–b按某一次序排成一个等比数列，则此数列必a是单调数列.不妨设该数列为单调减数列，则存在的等比数列只能有两种情形，即①ab,a+b,

a–b,

bbb2

,或②ab,a+b,,a–b由（a+b）≠ab²所以②不可能是等比数列，若①为等比aaa数列，则有：

a752(ab)2ab(ab)b 解得1072 (ab)(ab)abba2经检验知这是使ab,a+b,a–b,

b成等比数列的惟一的一组值.因此当aa=7+52,b=

1072b时，ab,a+b,a–b,成等比数列. 2ap，0）∈l.∴|FA|=|FB|,设 2ppA（x1,y1）,B(x2,y2),显然x1>0,x2>0,y1≠y2,于是有（x1–）2+y12=(x2–)2+y22,整理得：

227.解：如果直线l垂直平分线段AB，连AF、BF，∵F（

（x1+x2–p)(x1–x2)=y2–y1=–2p(x1–x2).显然x1≠x2(否则AB⊥x轴，l与x轴重合，与题

设矛盾）得：x1+x2–p=–2p即x1+x2=–p<0,这与x1+x2>0矛盾，故直线l不能垂直平分线段AB.

8.解：设元件T1、T2、T3能正常工作的事件为A1、A2、A3，电路不发生故障的事件为A，则P（A1）=0.7，P（A2）=0.8，P（A3）=0.9.

（1）按图甲的接法求P（A）：A=（A1+A2）²A3，由A1+A2与A3相互独立，则P（A）=P（A1+A2）²P（A3）

又P（A1+A2）=1–P（A1A2）=1–P（A1²A2）由A1与A2相互独立知A1与A2相互独立，得：P（A1²A2）=P（A1）²P（A2）=［1–P（A1）］²［1–P（A2）］=（1–0.7）³(1–0.8)=0.06，∴P(A1+A2)=0.1–P(A1²A2)=1–0.06=0.94，

∴P(A)=0.94³0.9=0.846.

(2)按图乙的接法求P（A）：A=（A1+A3）²A2且A1+A3与A2相互独立，则P（A）=P（A1+A3）² P（A2），用另一种算法求P（A1+A3）.∵A1与A3彼此不互斥，根据容斥原理P（A1+A3）= P（A1）+P（A3）–P（A1A3），∵A1与A3相互独立，则P（A1²A3）=P（A1）²P（A3）=0.7³0.9=0.63,P(A1+A3)=0.7+0.9–0.63=0.97.∴P(A)=P(A1+A3)²P(A2)=0.97³0.8=0.776.

(3)按图丙的接法求P（A），用第三种算法.

A=（A2+A3）A1=A2A1+A3A1,∵A2A1与A3A1彼此不互斥，据容斥原理，则P（A）=P（A1A2）+P（A1A3）–P（A1A2A3），又由A1、A2、A3相互独立，得P（A1²A2）=P（A1）P（A2）=0.8³0.7=0.56,

P(A3A1)=P(A3)²P(A1)=0.9³0.7=0.63,

P(A1A2A3)=P(A1)²P(A2)²P(A3)=0.7³0.8³0.9=0.504, ∴P(A)=0.56+0.63–0.504=0.686. 综合（1）、（2）、（3）得，图甲、乙、丙三种接法电路不发生故障的概率值分别为

用心 爱心 专心

6

2

2

故图甲的接法电路不发生故障的概率最大.

用心 爱心 专心7

0.846,0.776,0.686.

用心 爱心 专心8