学 习 任 务 核 心 素 养 1．通过学习复数乘法的运算律，培养逻辑推理的素养． 2．借助复数的乘除运算，提升数学运算的素养． 1．掌握复数的乘法和除法运算．(重点、难点) 2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．(易混点)
两个实数的积、商是一个实数，那么两个复数的积、商是怎样的？怎样规定两个复数的乘除运算， 才能使在复数集中的乘法、除法与原实数集中的有关规定相容？复数的加减运算把i看作一个字母，相当于多项式的合并同类项，那么复数乘法是否可以像多项式乘法那样进行呢？ 问题：(1)多项式(a＋b)(c＋d)的运算结果是什么？ (2)复数(a＋bi)(c＋di)的运算结果是什么？ 知识点1 复数的乘法 1．复数代数形式的乘法法则
已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i．
2．复数乘法的运算律 对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律 结合律 乘法对加法的分配律 z1·z2＝z2·z1 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) z1(z2＋z3)＝z1·z2＋- 1 - / 12
z1·z3 (1)复数的乘法与多项式的乘法有何不同？ (2)|z|2＝z2，正确吗？
[提示] (1)复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．
(2)不正确．例如，|i|2＝1，而i2＝－1．
1．复数(3＋2i)i等于( )
A．－2－3i B．－2＋3i C．2－3i D．2＋3i
B[(3＋2i)i＝3i＋2i·i＝－2＋3i，选B．]
2．已知复数(a＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是________．
2[∵(a＋2i)(1＋i)＝a＋ai＋2i＋2i2＝a－2＋(a＋2)i，其实部为0，∴a－2＝0，∴a＝2．] 知识点2 复数的除法法则 (a＋bi)÷(c＋di)＝
ac＋bdbc－adc2＋d2
＋
c2＋d2
i(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)．
3＋i
3．已知i是虚数单位，则1－i＝( )
A．1－2i B．2－i C．2＋i D．1＋2i 3＋i3＋iD[＝1－i1－i
1＋i
2＋4i
＝＝1＋2i．] 1＋i2
类型1 复数代数形式的乘法运算
【例1】 (1)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
- 2 - / 12
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞) (2)计算：①(2＋3i)(2－3i)； ②(1＋i)2；
③(－2－i)(3－2i)(－1＋3i)．
(1)B[z＝(1－i)(a＋i)＝(a＋1)＋(1－a)i，
a＋1<0，
因为对应的点在第二象限，所以
1－a>0，
解得a<－1 ，故选B．]
(2)[解] ①(2＋3i)(2－3i)＝22－(3i)2＝22－(－9)＝13． ②(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝1＋2i－1＝2i． ③原式＝(－6＋4i－3i＋2i2)(－1＋3i) ＝(－8＋i)(－1＋3i) ＝8－24i－i＋3i2 ＝5－25i．
1．两个复数代数形式乘法的一般方法
复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等．
2．常用公式
(1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)； (2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)； (3)(1±i)2＝±2i．
[跟进训练]
1．(1)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )
- 3 - / 12
A．i(1＋i)2B．i2(1－i) C．(1＋i)2D．i(1＋i)
(2)复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则z的实部是________． (1)C (2)5[(1)A项，i(1＋i)2＝i(1＋2i＋i2)＝i×2i＝－2，不是纯虚数． B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数． C项，(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，是纯虚数． D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数． 故选C．
(2)(1＋2i)(3－i)＝3－i＋6i－2i2＝5＋5i， 所以z的实部是5．]
类型2 复数代数形式的除法运算 3＋i
【例2】 (对接教材P79例5)(1)＝( )
1＋iA．1＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－i
(2)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i是虚数单位)，则z为( ) A．3＋5i B．3－5i C．－3＋5i D．－3－5i 3＋i3＋i
(1)D(2)A[(1)＝
1＋i1＋i(2)∵z(2－i)＝11＋7i， 11＋7i11＋7i
∴z＝＝
2－i2－i
2＋i2＋i
15＋25i
＝＝3＋5i．]
5
1．两个复数代数形式的除法运算步骤 (1)首先将除式写为分式；
(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；
- 4 - / 12 4－2i＝＝2－i． 1－i21－i
(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． 2．常用公式
(1)1i＝－i；(2)1＋i1－i＝i；(3)1－i1＋i
＝－i． [跟进训练]
2．已知i为虚数单位，则i
1＋i的实部与虚部之积是( A．14 B．－1114 C．4i D．－4i
A[因为i
i1－i
1＋i＝1＋i
1－i＝12＋1
2i， 所以i1＋i的实部与虚部之积是1
4
．]
3．计算：1＋i8
1－i
＝________． 1[法一：1＋i81＋i242i4
1－i＝1－i＝－2i
＝(－1)4＝1． 1＋i1＋i2法二：因为2i
1－i＝1－i1＋i＝2
＝i，
所以1＋i8
1－i
＝i8＝1．] 类型3 在复数范围内解方程 【例3】 在复数范围内解下列方程． (1)x2＋5＝0； (2)x2＋4x＋6＝0．
[解](1)因为x2＋5＝0，所以x2＝－5， 又因为(5i)2＝(－5i)2＝－5，
- 5 - / 12
)
所以x＝±5i，
5i．
所以方程x2＋5＝0的根为±
(2)法一：因为x2＋4x＋6＝0， 所以(x＋2)2＝－2， 因为(
2i)2＝(－
2i)2＝－2，
2i， 2i，
2i．
所以x＋2＝即x＝－2＋
2i或x＋2＝－2i或x＝－2－
所以方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±
法二：由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8＜0， 所以方程x2＋4x＋6＝0无实数根．
在复数范围内，设方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)， 则(a＋bi)2＋4(a＋bi)＋6＝0， 所以a2＋2abi－b2＋4a＋4bi＋6＝0， 整理得(a2－b2＋4a＋6)＋(2ab＋4b)i＝0，
a2－b2＋4a＋6＝0，所以
2ab＋4b＝0，
又因为b≠0，
a2－b2＋4a＋6＝0，所以
2a＋4＝0，
解得a＝－2，b＝±所以x＝－2±
2i，
2i．
在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0
- 6 - / 12
2．
即方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±
a≠0的求解方法
1求根公式法
2
利用复数相等的定义求解,设方程的根为x＝m＋ni
m，n∈R，将此代入方
程ax2＋bx＋c＝0a≠0，化简后利用复数相等的定义求解.
[跟进训练]
4．在复数范围内解方程2x2＋3x＋4＝0．
[解]因为b2－4ac＝32－4×2×4＝9－32＝－23＜0， 所以方程
2x2＋3x＋4＝0
－3±
的根为x＝
－2×2
－23i
－3±23i＝．
4
类型4 复数运算的综合问题 【例4】 (1)已知复数z＝
3＋i1－
3i
2
，z是z的共轭复数，则z·z 等于( )
11
A． B． C．1 D．2
42(2)已知复数z满足|z|＝
5，且(1－2i)z是实数，求 z．
1．若z＝z，则z是什么数？这个性质有什么作用？ [提示]z＝z⇔z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数． 2．若z≠0且z＋z＝0，则z 是什么数？这个性质有什么作用？
[提示]z≠0且z＋z＝0，则z为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数． 3．三个实数|z|，|z|，z·z具有怎样的关系？
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[提示] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi， 所以|z|＝
a2＋b2，|z|＝a2＋－b2＝a2＋b2，
z·z＝(a＋bi)(a－bi)＝a2－(bi)2＝a2＋b2，
所以|z|2＝|z|2＝z·z．
(1)A[∵z＝3i＋， 44
3i1
∴z＝－－，∴z·z＝．]
444
(2)[解] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(1－2i)z＝(1－2i)(a＋bi)＝(a＋2b)＋(b－2a)i．又因
3＋i1－
3i
2
＝
－1－
3i2＋i3i
2
＝
i1－1－
3i3i
2
＝
i1－
3i
＝
i1＋
4
3i
＝－
为(1－2i)z是实数，所以b－2a＝0，即b＝2a，又|z|＝5，所以a2＋b2＝5．解得
a＝1，
b＝2
a＝－1，
或所以z＝1＋2i或z＝－1－2i，所以z＝1－2i或z＝－1＋2i．
b＝－2.
1．在题设(1)条件不变的情况下，求
zz． [解]由例题(1)的解析可知z＝－34＋，z＝－－，z·z＝，∴＝＝4444zz·zi3i1zz223i－＋441143＝－i． 22- 8 - / 12
2．把题设(2)的条件“(1－2i)z是实数”换成“(1－2i)z是纯虚数”，求 z． [解]设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，(1－2i)z＝(1－2i)(a＋bi)＝(a＋2b)＋(b－2a)i．又因为(1－2i)z是纯虚数，所以a＝－2b，b－2a≠0，由|z|＝a2＋b2＝5b2＝5，得b＝1，a＝－2；或 b＝－1，a＝2．所以z＝－2－i，或z＝2＋i．
1．由比较复杂的复数运算给出的复数，求其共轭复数，可先按复数的四则运算法则进行运算，将复数写成代数形式，再写出其共轭复数．
2．注意共轭复数的简单性质的运用．
[跟进训练]
5．已知z1，z2
zz，|z|≤|z|，
是复数，定义复数的一种运算“⊗”：z⊗z＝
z－z，|z|＞|z|.
12
1
2
1
2
1
2
1
2
当
z1＝3－i，z2＝－2－3i时，z1⊗z2＝( )
11
A．－＋i B．5＋2i
131311
C．－i D．5－2i
1313A[由|z1|＝
32＋－13－i
2＝
3
3
10，|z2|＝－2＋3i
－22＋－32＝13，知|z1|＜|z2|，
故z1⊗z2＝＝＝
z2－2－3i
z13－i－2－3i－3＋11i311＝＝－＋i，故选A．]
－2＋3i131313
2
1．复数的虚部是( )
1＋i
- 9 - / 12
A．1 B．－i C．i D．－1
221－i21－i
D[∵复数＝＝＝1－i，
1＋i1＋i1－i2∴复数的虚部是－1．] 1＋i
2．m∈R，i为虚数单位，若(m＋i)(2－3i)＝5－i，则m的值为( ) A．1 B．－1 C．2 D．－2
A[由(m＋i)(2－3i)＝(2m＋3)＋(2－3m)i＝5－i，
2
2m＋3＝5，得解得m＝1．] 2－3m＝－1，
3．已知复数z＝2－i，则z·z的值为( ) A．5 B．
5 C．3 D．
3
A[z·z＝(2－i)(2＋i)＝22－i2 ＝4＋1＝5．]
4．若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝( ) A．1 B．2 C．
2 D．
2i
3
12＋12＝
2．]
2i1－iC[因为z(1＋i)＝2i，所以z＝＝＝1＋i，故|z|＝
1＋i25．已知复数z1＝(－1＋i)(1＋bi)，z2＝则a＝________，b＝________．
a＋2i
1－i
，其中a，b∈R．若z1与z2互为共轭复数，
－21[z1＝(－1＋i)(1＋bi)＝－1－bi＋i－b＝(－b－1)＋(1－b)i, z2＝
a＋2i
1－i
＝
a＋2i
1－i
1＋i1＋i
＝a＋ai＋2i－2a－2a＋2
2
＝
2＋
2
i．
由于z1和z2互为共轭复数，所以有
- 10 - / 12
2＝－b－1，a＋22＝－1－ba－2
，
a＝－2，
解得]
b＝1.
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)复数代数形式的乘法法则和运算律各是什么？ (2)复数的除法法则是什么？ (3)如何在复数范围内解方程？
利用复数产生分形图
以前我们学过的函数，定义域都是实数集的子集．但函数概念还可以推广：定义域是复数集的子集的函数称为复变函数．类似地，我们还可以得到多项式复变函数的概念．例如，f(z)＝z2就是一个多项式复变函数，此时
f(i)＝i2＝－1，f(1＋i)＝(1＋i)2＝2i．
给定多项式复变函数f(z)之后，对任意一个复数z0，通过计算公式zn＋1＝f(zn)，n∈N可以得到一列值
z0，z1，z2，…，zn，…．
如果存在一个正数M，使得|zn|＜M对任意n∈N都成立，则称z0为f(z)的收敛点；否则，称z0为f(z)的发散点．f(z)的所有收敛点组成的集合称为f(z)的充满茹利亚集．
例如，当f(z)＝z2时，如果z0＝i，则得到的一列值是 i，－1,1,1，…，1，…；
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如果z0＝1＋i，则算出的一列值是 1＋i,2i，－4，…，22n－1，…．
显然，对于f(z)＝z2来说，i为收敛点，1＋i为发散点．事实上，利用|z2|＝|z|2可以证明，
f(z)＝z2的充满茹利亚集是一个单位圆盘(即由满足|z|≤1的所有z组成的集合)．
让人惊讶的是，当f(z)＝z2＋c时，对于某些复数c来说，f(z)的充满茹利亚集是非常复杂的．如果利用计算机对不同形态的收敛点和发散点进行不同的着色，就可以得到与本章导语所示类似的分形图．而且，如果按照一定的规则对c进行分类，并进行着色，可以得到如图所示的芒德布罗分形图．
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