2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷（74）
一、选择题（本大题共9小题，共36.0分）
1. “割圆术”是求圆周率的一种算法．公元263年左右，我国一位著名的数学家发现
当圆的内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆面积，即所谓“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”请问上述著名数学家为 A. 刘徽 B. 祖冲之 C. 杨辉 D. 秦九昭
5元、6元三种价格的饭菜供学生们选择每人限购一份三月份2. 某校食堂有4元、
销售该三种价格饭菜的学生比例分别为、、，则该校三月份学生每餐购买饭菜的平均费用是
元 元 元 A. B. C. 5元 D.
3. 在初中已学过的一次函数、反比例函数和二次函数等函数中，它们的图象与任意一
条直线是任意实数交点的个数为 A. 必有一个 B. 一个或两个 C. 至少一个 D. 至多一个 4. 同时掷两个骰子，其中向上的点数之和是5的概率是
A. B. C. D.
5. 给你一列数：1，l，2，6，24，请你仔细观察这列数的排列规则，然后从四个
供选择单选项中选出一个你认为最合理的一项，来填补其中的空缺项，使之符合原数列的排列规律． A. 48 B. 96 C. 120 D. 144 6. 已知．二次函数是实数，当自变量任取，时，分别与之
对应的函数值，满足，则，应满足的关系式是 7. 在8个银元中混进了一个大小形状颜色完全一样的假银元，已知7个真银元的重量
完全相同，而假银元比真银元稍轻点儿，你用一台天平最少次就能找出这枚假银元． A. l B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，P是圆D的直径AB的延长线上的一点，PC与
圆D相切于点C，的平分线交AC于点Q，则
A. C.
B. D.
A. B. C. D.
9. 电子计算机中使用二进制，它与十进制的换算关系如下表所示： 十进制 二进制 1 1 2 10 3 11 4 100 5 101 6 110 7 111 8 1000 观察二进制为1位数、2位数、3位数时，对应的十进制的数，当二进制为6位数时，能表示十进制中的最大数是 A. 61 B. 62 C. 63 D. 64 二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）
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10. 某校去年投资2万元购买实验器材，预计今明2年的投资总额为8万元．若该校这
两年购买的实验器材的投资年平均增长率为x，则可列方程为______． 11. 如图，在平行四边形ABCD中，于E，
于F，，且，
则平行四边形ABCD的周长是______ ．
12. 在一个木制的棱长为3的正方体的表面涂上颜色，将它
的棱三等分，然后从等分点把正方体锯开，得到27个
棱长为l的小正方体，将这些小正方体充分混合后，装入口袋，从这个口袋中任意取出一个小正方体，则这个小正方体的表面恰好涂有两面颜色的概率 是______．
13. 已知关于x的一元二次方程与有一个公共实数根，
______． 则
14. 一个样本为1、3、2、2、a，b，已知这个样本的众数为3，平均数为2，那么这
个样本的方差为______． 15. 如图，在梯形ABCD中，，，
______．，，则该梯形的面积
16. 某计算机用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60
70元的A类软件和B类软件，元、根据需要A类软件至少买
3片，B类软件至少买2片，则不同的选购方式共有______种． 三、计算题（本大题共1小题，共10.0分） 17. 已知
，求
的值．
四、解答题（本大题共5小题，共53.0分） 18. 在凸四边形ABCD中，，且四个内角中有
一个角为，求其余各角的度数．
19. 某商店若将进价为100元的某种商品按120元出售，一天就能卖出300个．若该商
品在120元的基础上每涨价l元，一天就要少卖出10个，而每减价l完，一天赢可多卖出30个．问：为使一天内获得最大利润，商店应将该商品定价为多少？
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20. 如图，
在函数
，是等边三角形，点
的图象上，点
，
，
，
在x轴的的面积．
正半轴上，分别求
21. 如图，在中，O是内心，点E，F都在大边BC
上，已知，．
求证：O是的外心； 若，，求的大小．
22. 如图，正三角形ABC的边长为l，点M，N，P分别在边BC，
AB上，设，，，且．
试用x，y，z表示的面积 求面积的最大值．
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答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：上述著名数学家是刘徽． 故选：A．
根据数学史的了解进行选择．
此题考查了数学常识的知识，要多读书，了解一些有关数学的故事等． 2.【答案】B
【解析】解：平均费用为元． 故选：B．
用加权平均数的计算方法计算即可．
此题考查了加权平均数的知识，属于简单题目．把所有数据相加后再除以数据的个数即得平均数． 3.【答案】D
【解析】解：任意一条直线是任意实数是平行于y轴的一条直线， 在初中已学过的一次函数、反比例函数和二次函数等函数中， 只有反比例函数与时，没有交点，其他只有一个交点． 它们的图象与任意一条直线交点的个数至多有一个． 故选：D． 根据直线是任意实数的性质，得出一次函数、反比例函数和二次函数等函数中与它的关系，直接得出答案． 此题主要考查了函数图象与直线是任意实数的性质，根据已知得出任意一条直线是任意实数是平行于y轴的一条直线是解决问题的关键． 4.【答案】C
【解析】解：列表得： ．
共有36种等可能的结果，向上的点数之和是5的情况有4种， 两个骰子向上的一面的点数和为5的概率为
故选：C．
列举出所有情况，看点数之和为5的情况占总情况的多少即可． 此题考查了树状图法与列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．树状图法适用于两步或两步以上完成的事件．解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 5.【答案】C
【解析】解：观察所给数字可知，第二个数， 第三个数，
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第四个数， 第五个数， 故可知第六个数． 故选：C．
观察所给数字可知，第二个数，第三个数，第四个数五个数，故可知第六个数，继而即可得出答案． 本题考查规律型中的数字变化问题，仔细观察题中所给数字，可知第n个数个数． 6.【答案】D
【解析】解：
，
，第第
抛物线对称轴为，开口向上，离对称轴越远，函数值越大， 又，满足， 可得， 故选：D．
在利用二次函数的增减性解题时，对称轴是非常重要的．根据、、，与对称轴的大小关系，判断、、的大小关系．
本题主要考查了函数的对称轴求法和函数的单调性，难度一般，解答本题的关键是正确寻找出对称轴，这是解答本题的突破口． 7.【答案】B
【解析】解：8个银元分成4组，将其中的两组放在天平的两边进行第一次测量，天平平衡的一组没有假银元，
天平不平衡，那么假银元就在较轻的那组，
再一次把较轻的一组分开放在天平的两边进行第二次测量， 则较轻的是假银元，
所以用一台天平最少2次就能找出这枚假银元． 故选：B．
可以把8个银元分成4组，将其中的两组放在天平的两边进行第一次测量，天平平衡的一组没有假银元，天平不平衡，那么假银元就在较轻的那组；再把这组分开用天平测，可找出假银元．
此题考查的知识点是推理与论证，关键是首先分成4组，先找出较轻的一组，再测即得． 8.【答案】B
【解析】解：连接BC交PQ于E，
与圆D相切于点C，
，
为直径，
，
平分，
，
，，
．
故选：B．
首先连接BC交PQ于E，由PC与圆D相切于点C，根据弦切角定理，即可得
，又由AB为直径，即可得，然后由PQ平分与三角
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形外角的性质，即可证得
，则可求得的度数．
此题考查了圆的切线的性质，圆周角的性质，弦切角定理，等腰直角三角形的性质，以及三角形外角的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 9.【答案】C
【解析】解：表示十进制中表示的数最大时，则二进制数是111111，能表示十进制是：
．
故选：C．
根据表可以得到二进制的数转化十进制的数，，，
，；表示十进制中表示的数最大时，则二进制数是
111111，根据规律即可求得十进制表示的数．
本题考查了有理数的计算，关键是正确观察图表，理解二进制的数写成十进制的数的方法．
10.【答案】
【解析】解：设该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为x， 今年的投资金额为：； 明年的投资金额为：所以根据题意可得出的方程：故答案为：
． ；
．
本题为增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率，如果该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为x，根据题意可得出的方程． 增长率问题，一般形式为
，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有
关数量． 11.【答案】8
【解析】【分析】
要求平行四边形的周长就要先求出AB、AD的长，利用平行四边形的性质和勾股定理即可求出．
解题关键是利用平行四边形的性质结合等角对等边、勾股定理来解决有关的计算和证明． 【解答】 解：，
，
，
则，， 设，则， 在中， 根据勾股定理可得， 同理可得
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则平行四边形ABCD的周长是故答案为8．
12.【答案】
【解析】解：在27个小正方体中，恰好有三个面都涂色有颜色的共有8个，恰好有两个都涂有颜色的共12个，恰好有一个面都涂有颜色的共6个，表面没涂颜色的1个． 由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是从27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果， 满足条件的事件是选出的是恰好涂有两面颜色的正方体，有12种结果， 故概率为故答案为．
本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，满足条件的事件是选出的是表面恰好涂有两面颜色的正方体，有12种结果，根据等可能事件的概率得到结果． 本题考查等可能事件的概率，考查计数原理，考查正方体的结构特征，是一个综合题目，在解题时注意分割后的小正方体一定要数清楚，本题是一个易错题．
．
13.【答案】
【解析】解：
与
有一个实数根，
有一个公共实数根，
，
把代入得：
．
故答案为：． 本题需先根据与有一个公共实数根，求出x的值，再把x的值代入原方程即可求出m的值． 本题主要考查了一元二次方程的解的概念，在解题时要能够灵活应用解的概念求出结果是本题的关键．
14.【答案】
【解析】解：因为众数为3，可设平均数根据方差公式
，
，c未知
，解得
故填．
因为众数为3，表示3的个数最多，因为2出现的次数为二，所以3的个数最少为三个，则可设a，b，c中有两个数值为另一个未知利用平均数定义求得，从而根据方差公式求方差．
本题考查了众数、平均数和方差的定义．
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15.【答案】18
【解析】解：取CD的中点E，连接BE，
，
是菱形， ，
， ，， ，
，
．
四边形ABCD的面积是18． 故答案为18．
取CD的中点E，连接BE，从而得到菱形，得到，从而得到
．
本题考查了梯形的性质，解题的关键是正确地作出辅助线，熟记梯形中常用辅助线的作法对解决此类题目有很大的帮助． 16.【答案】7
【解析】解：设购买A、B类软件分别为x，y片， 根据题意得：
，
进而判定四边形ABED是然后得到：
，，
， ， ， ， ， 舍去， 舍去舍去， 舍去舍去
当，时，当，时，当，时，当，时，当，时，当，时，当，时，当，时，当，时，当，时，当，时，当，时，
不同的选购方式共有7种． 故答案为：7．
， ， ， ， ，
B类软件分别为x，y片，首先设购买A、根据题意即可得不等式组：，
解此不等式组，然后根据分类讨论的思想求解即可求得答案．
此题考查了不等数组的实际应用问题．此题难度较大，解题的关键是注意理解题意，根据题意求得方程组，然后根据其性质解题，注意分类讨论思想的应用．
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17.【答案】解：
，
原式
，
．
【解析】先化简，再代入求值即可．
本题考查了二次根式的化简与求值，将二次根式的化简是解此题的关键．
， 18.【答案】解：设
则，，，
，
．
1、
，
2、3、4、
时，，
时，，，，
时，
，，，
； ，． ，， ，．
，
， ，
，
【解析】可设，根据四边形内角和等于，分四种情况进行讨论，从而求解．
本题考查了多边形内角与外角，四边形内角和等于，由于四个内角中有一个角为
，不确定，故应该分类讨论．
按120元出售，一天就能卖出300个， 19.【答案】解：
可获得利润：元；
设涨价为x元，则可卖出个，设利润为y元，则
；
若设降价x元，则可以卖出
个，设利润为y元，则：
；
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，
所以当售价定为115元获得最大为6750元．
综上所述，当定价为115元时，商店可获得最大利润6750元．
【解析】分别以120元为基础，当涨价时，大于120元，当降价时，小于120元，利用每个商品的利润卖出数量总利润分别写出函数关系式；利用配方法求得两个函数解析式的最大值，比较得出答案．
此题主要考查了二次函数在实际问题中的运用，根据利润售价进价卖的件数，列出函数解析式，求最值是解题关键．
20.【答案】解：分别过、作x轴的垂线，垂足分别为D、E，如图， 设，．
，是等边三角形，
， ，，
，
的坐标为又点
在函数
，解得
，
点
在函数
的图象上， ，解得，
，
的面积的面积
【解析】分别过到为
，
，
．
，
舍去，
．
，
的坐标为
，
的图象上，
舍去，
、
作x轴的垂线，垂足分别为D、E，设，
根据等边三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系得，，，得到的坐标
，然后先把
的坐标代入反比例解析式求
的坐标为
得m的值，再把的坐标代入反比例解析式得到n的值，这样就确定两等边三角形的
倍计算即可．
边长，然后根据等边三角形的面积等于其边长的平方的
本题考查了点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足其解析式．也考查了含30度
的直角三角形三边的关系以及等边三角形的性质．
21.【答案】解：证明：连接OA、OB、OC、OE、OF，
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是在
和的内心，
， 中
≌
同理
是
是
在等腰三角形
的外心， ，
，
，
同理
，
，
， ， ， 的外心．
，
答：
【解析】
的度数是
．
≌
，推出
，
连接OA、OB、OC、OE、OF，证即可；
根据三角形的内角和定理求出，，再根
据三角形的内角和定理求出即可．
本题主要考查对三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．
正三角形ABC的边长为l， 22.【答案】解：
，
，，，
，，，
；
，
，
，
当
时，等号成立，
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．
【解析】由正三角形ABC的边长为l，MC，NA，PB的值，又由即可求得
由
，即可求得
的面积；
与
的最大值，继而求得
面
，，
与
，即可求得
，
积的最大值．
此题考查了三角形的面积问题，几何不等式的应用问题，以及正三角形的性质．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意几何不等式的应用．
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