高数下册试题库

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一、填空题 1. 平面

xykz10与直线

xyz平行的直线方程是___________ 2112. 过点3. 设

M(4,1,0)且与向量a(1,2,1)平行的直线方程是________________

aij4k,b2ik，且ab，则__________

4. 设平面

AxByzD0通过原点，且与平面6x2z50平行，则

A______B_,_______D_,________ __5. 设直线

x1y2(z1)与平面3x6y3z250垂直，则m2 _m________,__________6.

x1直线，绕z轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程是_______________

y07. 过点8. 曲面

M(2,0,1)且平行于向量a(2,1,1)及b(3,0,4)的平面方程是__________

z2x2y2与平面z5的交线在xoy面上的投影方程为__________

nnx的收敛半径是____________ nn12x1 z3x1 y1 z3 y2且平行于直线的平面方程是220239. 幂级数

10. 过直线

_________________

11. 设

f(x,y)ln(xy),则fy'(1,0)__________ 2xzz__________,____________ xy12. 设

zarctan(xy),则

13. 设

f(xy,xy)x2y2,则fx'(x,y)____________________

zx,则dz_____________ y1

14. 设

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15. 设

f(x,y)x2y3,则dz|(1,2)______________

xcost,ysint,zsintcost，在对应的

16. 曲线

t0处的切线与平面

xByz0平行，则B__________

17. 曲面

zx2y2在点

(1,1,2)处的法线与平面AxByz10垂直，则

A_______B_,______________

18. 设a{1,0,2}，b{3,1,1}，则ab=________， ab=____________

19. 求通过点M0(2,1,4)和z轴的平面方程为________________ 20. 求过点M0(0,1,0)且垂直于平面3x21. 向量d垂直于向量ay20的直线方程为_______________

[2,3,1]和b[1,2,3]，且与c[2,1,1]的数量积为6，则向量

d=___________________ 22. 向量7a5b_______________ 23. 球面x2分别与7a2b垂直于向量

a3b与

a4b，则向量

a与b的夹角为

y2z29与平面xz1的交线在xOy面上投影的方程为______________

是_________________

x2yz1024. 点M0(2,1,`的距离d1)到直线l：x2yz3025. 一直线

l过点

M0(1,2,0)且平行于平面

：

x2yz40，又与直线

l：

x2y1x2 相交，则直线l的方程是__________________ 121π26. 设a5,b2,ab,则2a3b____________ 327. 设知量a,b满足ab3,28. 已知两直线方程L1ab1,1,1，则__ a,b__________:x1y2z3x2y1z，L2:，则过L1且平行L2的平面

101211方程是__________________ 29. 若

ab2，(a,b)π，则ab 22 ，ab ____________

2

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30.

zxy,则zz______________. xy=_________________

31. 设 32. 设

zy11x2sinx,yx3,则zx2,1____________

____________ ux,yxlnyylnx1 则 du__________x2y2z22确定z33. 由方程xyzzx,y在点1,0,1全微分dz______

34.

zy2fx2y2zz___________  ，其中fu可微，则 yxyz2x2y2,35. 曲线在xOy平面上的投影曲线方程为 _________________

z136. 过原点且垂直于平面2yz20的直线为__________________

37. 过点(3,1,2)和(3,0,5)且平行于x轴的平面方程为 _________________ 38. 与平面xy2z60垂直的单位向量为______________

39. zx(zzx2y____________ ,可微，则 (u)) xyy2，则在点(2,1)处的全微分dz40. 已知zlnx2y2z_________________

41. 曲面ze2xy3在点(1,2,0)处的切平面方程为___________________xy42. 设

zzx.y 由方程ez2ze0，求=________________

xz43. 设

zf2xygx,xy，其中ft二阶可导，gu,v具有二阶连续偏导数 有

2z=___________________ xyxzln 44. 已知方程zy45. 设

2z定义了zzx.y，求=_____________

2xufx.y.z，x2.ey.z0，ysinx，其中f，都具有一阶连续偏导数，

dz且0，求=______________________

dxz3

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2y2y46. 交换积分次序

dy01f(x,y)dx _______________________________

22y1047. 交换积分次序48. 0dy0xy1yf(x,y)dxdyf(x,y)dx=___________________

Ixedxdy_________其中D{(x,y)0x1,0y1}

D49.

I(3x2y)dxdy________，其中D是由两坐标轴及直线xy2所围

D50.

I1dxdy________xy4所确定的圆域 D1x2y，其中D是由22251. Ia2x2y2dxdy___________，其中D：x2y2a2

D52.

I(x6y)dxdy________，其中D是由yx,y5x,x1所围成的区域D53. 22y20dxxedy＝ _____________________

54.

1x220dxx2(xy)12dy___________

55. 曲线y2x在z3x2y21,2,7点处切线方程为______________________ 56. 曲面zx22y2在（2，1，3）处的法线方程为_____________________ 57.

1，当p满足条件 时收敛

n1np58. 级数

1nn1n2n2的敛散性是__________

59.

annx在x=-3时收敛，则

3时

n1anxn在xn160. 若

lnan收敛，则a的取值范围是_________

n161. 级数

(1n(n1)1n12n)的和为

162. 求出级数的和

n12n12n1=___________

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(ln3)n63. 级数2nn0的和为 _____

64. 已知级数

unn1的前n项和snn，则该级数为____________ n1n265. 幂级数xn的收敛区间为 n1n2n1x66. 的收敛区间为 ，和函数s(x)为 2n1n1xn67. 幂级数p(0p1)的收敛区间为

n0n68. 级数

1nn01a当a满足条件 时收敛

69. 级数

n1x2n4n2n的收敛域为 ______

70. 设幂级数

axnn0n的收敛半径为3，则幂级数

na(x1)nn1n1的收敛区间为 _____

71. f(x)1展开成x+4的幂级数为 ，收敛域为 2x3x272. 设函数

f(x)ln(1x2x2)关于x的幂级数展开式为 __________，该幂级数的收敛区间

为 ________

zxy ______ 73. 已知 xlnyylnzzlnx1，则

xyz74. 设

D是由xy2及xy3所围成的闭区域，则dxdy_______________

D二、选择题

1. 在空间直角坐标系中，方程z1x22y2所表示的曲面是( )；

(A) 椭球面； (B) 椭圆抛物面； (C) 椭圆柱面； (D) 单叶双曲面

x1yz1与平面xyz1的位置关系是( )． 211ππ(A) 垂直； (B) 平行； (C) 夹角为； (D) 夹角为．

442. 直线

3. 若直线(2a+5)x+(a -2)

y+4=0与直线(2-a)x+(a+3) y-1=0互相垂直，则（ ）：

5

CH

(A). 4.

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a=2 (B). a=-2 (C). a=2或a=-2 (D). a=±2或a=0

zx2y22,空间曲线在xOy面上的投影方程为( )

z522x2y27(A)xy7； (B)z55. 设z； (C)

x2y27z0zx2y22；(D)

z0z(x,y)由方程F(xaz,ybz)0所确定，其中F(u,v)可微，a,b为常数，则必有

（ ） (A)

azxbzy1 (B) bzzxay1 (C) azzxby1 (D) bzxazy1 6. 设zarctanzxy4，则x

(A)

xy (B)

x11(xy)1(xy

)244xysec2(xy(C)

4) (D)

y1(xy21(xy

4)4)27. 设

fx,y= xsinxy ，则

f(x,y)

xx2y2x

= ( ) (A).sinxyx2y2+xcosxyyy2x2x2y2yx2y22 (B)．xsin1y2

(C).siny1y2 (D).xcosy1y2

8. 设

zlnxyx,则 2zyxy = ( )

(A).0 (B)．1 (C).

1yx (D).

y21 9. 设 xzyfx2z2则 zz

x + yz

y = ( )

6

CH

(A).x (B)．10. 若函数(A).

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y

(C).z (D).

yfx2z2

fx,y在点x0,y0处取极大值，则 ( )

fxx0,y00,fyx0,y00

(B)．若(C).

x0,y0是D内唯一极值点，则必为最大值点

200fx,yxyx0,y0fyyx0,y00,且fxxx0,y00 fxxD、以上结论都不正确 11. 设

fx,y,zyz2ex，其中zgx,y是由方程xyzxyz0确定的隐函数，则

fx0,1,112. 已知I(A).113. 设



(A).0 (B)．-1 (C).1 (D).-2

cosy2sinx2d，其中D是正方形域：0x1,0y1，则( )

DI2 B．1I2 (C).0I2 (D).0I2

fx,y4xy2yfu,vdudv，其中D

D是由

yx,x0,以及y1围成在，则

x,yfxy

(A).4x (B)．4y (C).8x (D).8y 14. 函数

fx,y4xyx2y2的极值为（ ）

xy在附加条件xy1下的极大值为（ ）

(A).极大值为8 (B)．极小值为0 (C).极小值为8 (D).极大值为0 15. 函数z(A).16.

12 (B)．xyedD111 (C). D．1

42，其中D由xy1所确定的闭区域。

1(A).ee17.

(B)．ee (C).ee2 (D).0

其中D：I1(xy)3dxdy与I2(xy)2dxdy，(x2)2(y1)22的大小关系

DD为:（ ）。 (A).

I1I2 (B). I1I2 (C). I1I2 (D). 无法判断

f(x,y)连续,且f(x,y)xyf(u,v)dudv,其中

D18. 设

D由

y0,yx2,x1所围成,则

7

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f(x,y)((A).

)

1 8xy (B). 2xy (C). xy1 (D). xy19.

x2y215x2y2d的值是( )

(A)

53 (B) 是

56 (C)

107 (D)

1011

轴所围成的区域，则

20. 设

D

xy1所围成区域, D1是由直线xy1和x轴, y1xydxdy

(A)

41xydxdyD1D (B) 0 (C)21xydxdy (D) 2

D121. 下列级数中收敛的是（ ）

nnnn242n4n8448（A） （B） （C） (D) nnnn8888n1n1n1n1nn22. 下列级数中不收敛的是（ ）

113n(1)n （A）ln(11) （B） （C） （D）

nn4nn13n1n1n(n2)n123. 下列级数中收敛的是（ ）

n13n（A） （B） （C）nnn1n(n2)n1nnn1n21 （D）

4n1(n1)(n3)

24.

un1n为正项级数，下列命题中错误的是（ ）

un1(A)如果lim1，则unnun1nun1(C) 如果1，则ununn1收敛。 (B)

un1lim1，则unnun1n发散

un1收敛。 (D)如果1，则ununn1发散

25. 下列级数中条件收敛的是（ ） （A）

(1)n1n111 （B）(1)n2nn1nn1n (C）(1) （D）(1)

n1n(n1)n1n1n26. 下列级数中绝对收敛的是（ ）

1(1)n1（A）(1) （B）nlnnn1n2n （C）

n1(1)n1(1)n1 （D）nnn2nlnn

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27. 当

(anbn)收敛时，n（ ）

n1an与

n1bn1（A）必同时收敛 （B）必同时发散 （C）可能不同时收敛 (D)不可能同时收敛 28. 级数

a24n收敛是级数

收敛的（ ）

n1ann1（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件 29.

an为任意项级数，若

anan1且limn1nan0，则该级数（ ）

（A）条件收敛 （B）绝对收敛 （C）发散 （D）敛散性不确定 30. 下列结论中，正确的为（ ）

（A）若u1n发散，则发散(un0)； （B）若n1n1unun收敛，则

1(un0) n1n1u发散n（C）若

u1n收敛，则

n1(unn110100)收敛； （D）若

un与

vn)发散

n1vn发散，则

n1(unn131. 函数f(x)11x的麦克劳林展开式前三项的和为（ ）

（A）1x234x2； （B）1x234x2； （C）1x238x2； （D）1x328x2 32. 设

, 则（ ）

(A) 与 都收敛. (B) 与 都发散.

(C) 收敛, 而 发散. (D) 发散, 收敛

33. 75、 若 在 处收敛, 则此级数在 处（ ）

(A) 条件收敛, (B) 绝对收敛, (C) 发散, (D) 收敛性不确定

34. 设幂级数 的收敛半径为3, 则幂级数 的必定收敛的区间为 （ ）

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(A) (－2, 4) (B) [－2, 4] (C) (－3, 3) (D) (－4, 2) 35. 若幂级数

anxn的收敛半径为

R，则幂级数

ax2nn的收敛开区间为（ ）（A）

n1n1R,R （B）1R,1R （C）, （D）2R,2R

36. 级数

(x5)n的收敛区间（ ）

n1n（A）（4，6） （B）4,6 （C）4,6 （D）[4，6]

37. 若级数

(2xa)n的收敛域为3,4，则常数a=（ n12n1 ）

（A）3 （B）4 （C）5 （D）以上都不对 38. 若幂级数

ax1nn在x1处收敛，则该级数在x2处（ ）

n1（A）条件收敛 （B）绝对收敛 （C）发散 （D）敛散性不能确定 39. 函数

f(x)ex2展开成x的幂级数为（ ）

A）x2n（ （B） （D）n0(1)nx2nn! （C）xn(1)nxn n0n!n0n!n!

n040. 函数

fxx41x2展开成x的幂级数是（ ）

（A）

x2n （B）

2n （C）

（D）

n1(1)nxn1x2n n2(1)nx2n n264．下列各组角中，可以作为向量的方向角的是（ ）

（A）3，4，23 （B）3，4，3

（C）6，，6 （D）23，3，3

65．向量aax,ay,az与x轴垂直，则（ ）

（A）ax0 （B） ay0 （C）az0 （D） ayax0

66．设a1,1,1,b1,1,1，则有（ ）

（A）a//b （B）ab （C）2

a,b3 （D）a,b3

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67．直线x2y1xy1z1与直线关系是( )．

1012yz12(A) 垂直； (B) 平行； (C) 重合； (D) 既不平行也不垂直． 68．柱面x（A）

z0的母线平行于（ ）

y轴 （B）x轴 （C） z轴 （D）zox面

69．设ab（A）

ac,a,b,c均为非零向量，则（ ）

bc （B）a//(bc) （C） a(bc) （D）bc

71．

fx,yxyx2y2，则

yf,1x

xx2

（D）2x11x4

xy（A）2xy2x2y2 （B）

xy （C）

72．下列各点中，是二元函数（A） 73．

1fx,yx3y33x23y9x的极值点的是（ ）

3,1 （B） 3,1 （C）1,1． （D）1,1

1x20dx01x2y2dy（ ）

23 （C）

（A）

32 （B）

43 （D）

6

74．设D是由

x2，y1所围成的闭区域，则xy2dxdy（ ）

D（A）

43 （B）

75．设D是由0x1,0y所确定的闭区域，则ycosxydxdy（ ）

2D816 （C） （D）0 33（A） 2 （B） 三、计算题

1、下列函数的偏导数

（C）

1 （D）0

x2xyyzarctan（1）ztan；（2）； （3）；（4） zln(xlny)z(1xy)y1xy2．设

f(x,y)xyx2y2x，求

fx(3,4)及fy(3,4)。

3．设zey2，验证2xzzy0。 xy11

4．求下列函数在指定点的全微分：

CH

（1） （2）（3）

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f(x,y)3x2yxy2，在点(1,2)；

f(x,y)ln(1x2y2)，在点(2,4)；

sinxf(x,y)2，在点(0,1)和,2。

y4

5．求下列函数的全微分：

yx；

xy （3）z；

xy （1）z （5）uxyexy；

y （4）zx2y2

（2）z （6）u；

x2y2z2；

ln(x2y2z2)。

6. 计算下列重积分:

（1） ,其中是矩形闭区域: ,

（2） ,其中是矩形闭区域: ,

（3） ,其中是顶点分别为 (0,0), 和 的三角形闭区域.

（4） ,其中是由两条抛物线 ,所围成的闭区域.

（5）,其中是由 所确定的闭区域.

（6） 改换下列二次积分的积分次序

①

②

③

（9） ,其中是由圆周 所围成的区域.

（10）,其中是由圆周 及坐标轴所围成的在第一象限的闭区域.

12

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是由直线

,

及曲线

所围成的闭区域

（11）,其中

（12） ,其中 是由圆周 及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.

（13） 的闭区域.

,其中 是由直线, , , 所围成

（14）,其中 是圆环形闭区域:

（15）

和

.

,其中 是平行四边形闭区域,它的四个顶点是 , ,

（16） ,其中 是由两条双曲线 和 ,直线 和 所围成的

在第一象限内的闭区域.

（17） ,其中 是由 轴, 轴和直线 所围成的闭区域

（18） ,其中 为椭圆形闭区域

（20）计算 的四面体.

,其中 为平面 , , , 所围成

（21）计算 闭区域.

,其中 是由平面 , , ,以及抛物柱面 所围成的

（22）计算 的闭区域.

,其中 是由锥面 与平面所围成

（23）利用柱面坐标计算下列三重积分

(1) ,其中 是由曲面 及所围成的闭区域

13

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,其中

是由曲面

及平面

所围成的闭区域

(2)

25.选用适当的坐标计算下列三重积分

(1)

卦限内的闭区域

,其中 为柱面 及平面

, , 所围成的在第一

(3) ,其中 是由曲面及平面 所围成的闭区域.

26.利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积 (1) (2)

第三部分 级数

1. 判别下列级数的收敛性

及

及

(含有

轴的部分).

(1)

(4)

(2) (3)

2. 用比较审敛法或极限审敛法判别下列级数的收敛性

(1) (2)

(3) (4)

3. 用比值审敛法判别下列级数的收敛性

（1） （2） （3）

5.判别下列级数的收敛性

(1) (2)

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CH 期末考试复习 CH

(3)

(4)

6.判别下列级数是否收敛?如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛?

(1) (2)

(3) (4)

7.求下列幂级数的收敛区间

(1) (2)

(3) (4) (

(5) 6)

8.利用逐项求导或逐项积分,求下列级数的和函数.

(1) (2) (3)

9.将下列函数展开成 的幂级数,并求展开式成立的区间.

(1) (2) (3)

10.将 展开成 的幂级数,并求展开式成立的区间.

11.将函数 展开成 的幂级数.

12.将函数 展开成 的幂级数.

13.将函数 展开成 的幂级数.

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